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文檔簡介
(1)用計算機(jī)求解問題的步驟:1、問題分析2、數(shù)學(xué)模型建立3、算法設(shè)計與選擇4、算法指標(biāo)5、算法分析6、算法實(shí)現(xiàn)7、程序調(diào)試8、結(jié)果整理文檔編制(2)算法定義:算法是指在解決問題時,按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問題結(jié)果的處理過程(3)算法的三要素1、操作2、控制結(jié)構(gòu)3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下5個屬性:有窮性:一個算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束,且每一步都在有窮時間內(nèi)完成。確定性:算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個入口和一個出口可行性:一個算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有限次來實(shí)現(xiàn)的。輸入:一個算法有零個或多個輸入,這些輸入取自于某個特定對象的集合。輸出:一個算法有一個或多個輸出,這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計的質(zhì)量指標(biāo):正確性:算法應(yīng)滿足具體問題的需求;可讀性:算法應(yīng)該好讀,以有利于讀者對程序的理解;健壯性:算法應(yīng)具有容錯處理,當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時,算法應(yīng)對其作出反應(yīng),而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲量需求:效率指的是算法執(zhí)行的時間;存儲量需求指算法執(zhí)行過程中所需要的最大存儲空間。一般這兩者與問題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法迭代法也稱“輾轉(zhuǎn)法”,是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問題的方法。利用迭代算法解決問題,需要做好以下三個方面的工作:一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問題中, 至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量,這個變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式,指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式 (或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵,通??梢允褂眠f推或倒推的方法來完成。三、對迭代過程進(jìn)行控制。在什么時候結(jié)束迭代過程?這是編寫迭代程序必須考慮的問題。 不能讓迭代過程無休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過程的控制通??煞譃閮煞N情況:一種是所需的迭代次數(shù)是個確定的值,可以計算出來;另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。 對于前一種情況,可以構(gòu)建一個固定次數(shù)的循環(huán)來實(shí)現(xiàn)對迭代過程的控制; 對于后一種情況,需要進(jìn)一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件。編寫計算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib(n)。斐波那契數(shù)列為:0、1、1、2、3、……,即:fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當(dāng)n>1時)。寫成遞歸函數(shù)有:intfib(intn){if(n==0)return0;if(n==1)return1;if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);}一個飼養(yǎng)場引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子,這種兔子從出生的下一個月開始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去,問到第12個月時,該飼養(yǎng)場共有兔子多少只?分析:這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設(shè)第 1個月時兔子的只數(shù)為u1,第2個月時兔子的只數(shù)為u2,第3個月時兔子的只數(shù)為u3,……根據(jù)題意,“這種兔子從出生的下一個月開始,每月新生一只兔子”,則有u1=1,u2=u1+u1X1=2,u3=u2+u2X1=4,……TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)這個規(guī)律,可以歸納出下面的遞 x=1推公式: fo門=2to12un=un—1x2(n>2) y=x*2對應(yīng)un和un—1,定義兩 x=y個迭代變量y和x,可將上面的遞 nexti推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系: printyy=x*2 endx=y讓計算機(jī)對這個迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行11次,就可以算出第12個月時的兔子數(shù)。參考程序如下:cls分而治之法1、分治法的基本思想任何一個可以用計算機(jī)求解的問題所需的計算時間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小,越容易直接求解,解題所需的計算時間也越少。例如,對于n個元素的排序問題,當(dāng)n=1時,不需任何計算;n=2時,只要作一次比較即可排好序; n=3時只要作3次比較即可,…而當(dāng)n較大時,問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規(guī)模較大的問題,有時是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計思想是,將一個難以直接解決的大問題,分割成一些規(guī)模較小的相同問題,以便各個擊破,分而治之。分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征:(1)該問題的規(guī)??s小到一定的程度就可以容易地解決;(2)該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題,即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì);(3)利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解;(4)該問題所分解出的各個子問題是相互獨(dú)立的,即子問題之間不包含公共的子子問題。3 、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個步驟:(1)分解:將原問題分解為若干個規(guī)模較小,相互獨(dú)立,與原問題形式相同的子問題;(2)解決:若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解,否則遞歸地解各個子問題;(3)合并:將各個子問題的解合并為原問題的解。快速排序在這種方法中,n個元素被分成三段(組):左段left,右段right和中段middle。中段僅包含一個元素。左段中各元素都小于等于中段元素,右段中各元素都大于等于中段元素。因此left和right中的元素可以獨(dú)立排序,并且不必對 left和right的排序結(jié)果進(jìn)行合并。middle 中的元素被稱為支點(diǎn)(pivot)。圖14-9中給出了快速排序的偽代碼。//使用快速排序方法對a[0:n-1]排序從a[0:n-1]中選擇一個元素作為middle,該元素為支點(diǎn)把余下的元素分割為兩段 left和right,使得left中的元素都小于等于支點(diǎn),而right中的元素都大于等于支點(diǎn)遞歸地使用快速排序方法對left進(jìn)行排序遞歸地使用快速排序方法對right進(jìn)行排序所得結(jié)果為left+middle+right考察元素序列[4,8,3,7,1,5,6,2] 。假設(shè)選擇元素6作為支點(diǎn),則6位于middle;4,3,1,5,2位于left;8,7位于right。當(dāng)left排好序后,所得結(jié)果為1,2,3,4,5;當(dāng)right排好序后,所得結(jié)果為7,8。把right中的元素放在支點(diǎn)元素之后,left 中的元素放在支點(diǎn)元素之前,即可得到最終的結(jié)果 [1,2,3,4,5,6,7,8] 。把元素序列劃分為left、middle和right可以就地進(jìn)行(見程序14-6)。在程序14-6中,支點(diǎn)總是取位置1中的元素。也可以采用其他選擇方式來提高排序性能,本章稍后部分將給出這樣一種選擇程序14-6快速排序template<classT>voidQuickSort(T*a,intn){//對a[0:n-1]進(jìn)行快速排序{//要求a[n]必需有最大關(guān)鍵值quickSort(a,0,n-1);template<classT>voidquickSort(T a口,intl,intr){//排序a[l:r],a[r+1]有大值if(l>=r)return;inti=l,// 從左至右的游標(biāo)j=r+1;// 從右到左的游標(biāo)Tpivot=a[l];//把左側(cè)>=pivot 的元素與右側(cè)<=pivot 的元素進(jìn)行交換
while(true){do{// 在左側(cè)尋找>=pivot的元素i=i+1;}while(a<pivot);do{// 在右側(cè)尋找<=pivot的元素j=j-1;}while(a[j]>pivot);if(i>=j)break;// 未發(fā)現(xiàn)交換對象Swap(a,a[j]);}//設(shè)置pivota[l]=a[j];a[j]=pivot;quickSort(a,l,j-1); //對左段排序quickSort(a,j+1, r);//對右段排序scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);pl[i]=p[i];s=s+w[i];)if(s<=m)(printf("wholechoose\n");貪婪法它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想,在問題求解的每一個階段,都作出一個在一定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策;決策一旦作出,就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。貪婪法是一種不追求最優(yōu)解,只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解,因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇,而不考慮各種可能的整體情況,所以貪婪法不要回溯?!締栴}】 背包問題問題描述:有不同價值、不同重量的物品 n件,求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案,使選中物品的總重量不超過指定的限制重量,但選中物品的價值之和最大。#include<stdio.h> 和價值P:");voidmain()(intm,n,i,j,w[50],p[50],pl[50],b[50],s=0,max;printf("輸入背包容量m,物品種類n:");scanf("%d%d",&m,&n);for(i=1;i<=n;i=i+1)//return;printf(" 輸入物品的重量 W
for(i=1;i<=n;i=i+1)(max=1;for(i=1;i<=n;i=i+1)(max=1;for(j=2;j<=n;j=j+1)if(pl[j]/w[j]>pl[max]/w[max])max=j;pl[max]=0;b[i]=max;}動態(tài)規(guī)劃的基本思想i<=n;i=i+1)s=s+w[b[i]];if(s!=m)w[b[i-1]]=m-w[b[i-1]];for(j=1;j<=i-1;j=j+1)printf("chooseweight%d\n",w[b[j]]);前文主要介紹了動態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù),我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃,這種標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時推導(dǎo)出來的,具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式,適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中,許多問題的階段劃分并不明顯,這時如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說,只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題,并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解(即滿足最優(yōu)子化原理),則可以考慮用動態(tài)規(guī)劃解決。動態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余,因此,動態(tài)規(guī)劃是一種將問題實(shí)例分解為更小的、相似的子問題,并存儲子問題的解而避免計算重復(fù)的子問題,以解決最優(yōu)化問題的算法策略。由此可知,動態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似,它們都是將問題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問題,并通過求解子問題產(chǎn)生一個全局最優(yōu)解。貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇,但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下,一步一步地作出貪心選擇;而分治法中的各個子問題是獨(dú)立的(即不包含公共的子問題) ,因此一旦遞歸地求出各子問題的解后,便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。不足之處:如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時,則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解;如果各子問題是不獨(dú)立的,則分治法要做許多不必要的工作,重復(fù)地解公共的子問題。解決上述問題的辦法是利用動態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題,這類問題會有多種可能的解,每個解都有一個值,而動態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)(最大或最小)值的解。若存在若干個取最優(yōu)值的解的話,它只取其中的一個。在求解過程中,該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解,但與分治法和貪心法不同的是,動態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨(dú)立,(亦即各子問題可包含公共的子問題)也允許其通過自身子問題的解作出選擇,該方法對每一個子問題只解一次,并將結(jié)果保存起來,避免每次碰到時都要重復(fù)計算。因此,動態(tài)規(guī)劃法所針對的問題有一個顯著的特征,即它所對應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于,對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題,只在第一次遇到時加以求解,并把答案保存起來,讓以后再遇到時直接引用,不必重新求解。3、動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟設(shè)計一個標(biāo)準(zhǔn)的動態(tài)規(guī)劃算法,通常可按以下幾個步驟進(jìn)行:(1)劃分階段:按照問題的時間或空間特征,把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的(即無后向性) ,否則問題就無法用動態(tài)規(guī)劃求解。(2)選擇狀態(tài):將問題發(fā)展到各個階段時所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然,狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。(3)確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:之所以把這兩步放在一起,是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系,狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以,如果我們確定了決策,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實(shí)上,我們常常是反過來做,根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。(4)寫出規(guī)劃方程(包括邊界條件):動態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說來,只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了,這一步還是比較簡單的。動態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計,一旦設(shè)計完成,實(shí)現(xiàn)部分就會非常簡單。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計算最優(yōu)值,但是一般將其改為遞推計算,實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下:標(biāo)準(zhǔn)動態(tài)規(guī)劃的基本框架1. 對fn+1(Xn+1)初始化; {邊界條件}fork:=ndownto1dofor每一個XkGX<dofor每一個UkGUk(xk)dobeginfk(Xk):=一個極值; {oo或一oo}Xk+i:=Tk(Xk,uk); {狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程}t:=小(fk+i(Xk+i),vk(Xk,uk)); {基本方程⑼式}ift比fk(Xk)更優(yōu)thenfk(Xk):=t;{計算fk(Xk)的最優(yōu)值}end;t:= 一 個 極值;{OO或一OO}for每一個XiGXidOiff1(x1)比t更優(yōu)thent:=f1(x1); {按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)}輸出t;但是,實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計動態(tài)規(guī)劃,而是按以下幾個步驟進(jìn)行:(1)分析最優(yōu)解的性質(zhì),并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。(2)遞歸地定義最優(yōu)值。(3)以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法(備忘錄法)計算出最優(yōu)值。(4)根據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息,構(gòu)造一個最優(yōu)解。步驟(1)?(3)是動態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形,步驟(4)可以省略,若需要求出問題的一個最優(yōu)解,則必須執(zhí)行步驟(4)。此時,在步驟(3)中計算最優(yōu)值時,通常需記錄更多的信息,以便在步驟(4)中,根據(jù)所記錄的信息,快速地構(gòu)造出一個最優(yōu)解。總結(jié):動態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問題,是指將原問題的大實(shí)例等價于同一最優(yōu)化問題的較小實(shí)例,自底向上的求解最小實(shí)例,并將所求解存放起來,存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。與遞歸相比,遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解,是自頂向下的調(diào)用和求解?;厮莘ɑ厮莘ㄒ卜Q為試探法,該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制,并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時,就選擇下一個候選解;倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外,滿足所有其他要求時,繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模,并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時,該候選解就是問題的一個解。在回溯法中,放棄當(dāng)前候選解,尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模,以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P,通常要能表達(dá)為:對于已知的由n元組(xi,X2,…,Xn)組成的一個狀態(tài)空間 E={ (Xi, X2,…,Xn) I Xi GS,i=1,2,…,n},給定關(guān)于n元組中的一個分量的一個約束集D,要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中S是分量Xi的定義域,且|Si|有限,i=1,2,…,n0我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解解問題P的最樸素的方法就是枚舉法,即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束,若滿足,則為問題 P的一個解。但顯然,其計算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn),對于許多問題,所給定的約束集 D具有完備性,即i元組(xi,X2,…,Xi)滿足D中僅涉及到xi,X2,…,Xi的所有約束意味著j(j<i)元組(xi,X2,…,Xj)一定也滿足D中僅涉及到Xi,X2,…,Xj的所有約束,i=1,2,…,n。換句話說,只要存在0&j<n-1,使得(Xi,X2,…,為)違反D中僅涉及到Xi,X2,…,Xj的約束之一,則以(Xi,X2,…,Xj)為前綴的任何n元組(Xi,X2,…,Xj,Xj+i,…,Xn)一定也違反D中僅涉及到Xi,X2,…,Xi的一個約束,n>i>j0因此,對于約束集D具有完備性的問題P,一旦檢測斷定某個j元組(Xi,X2,…,Xj)違反D中僅涉及Xi, X2,…,Xj的一個約束,就可以肯定,以(Xi, X2,…,Xj)為前綴的任彳<n元組(Xi,X2,…,Xj,Xj+i,…,Xn)都不會是問題P的解,因而就不必去搜索它們、檢測它們?;厮莘ㄕ轻槍@類問題,利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?;厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T,把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹,它可以這樣構(gòu)造:設(shè)S中的元素可排成Xi⑴,Xi⑵,…,Xi(mi-i),|Si|=m,i=i,2,…,n0從根開始,讓T的第I層的每一個結(jié)點(diǎn)都有m個兒子。這m個兒子到它們的雙親的邊,按從左到右的次序,分別帶權(quán)Xi+i⑴,Xi+i⑵,…,Xi+i(mi),i=0,i,2,…,n-i。照這種構(gòu)造方式,E中的一個n元組(Xi,X2,…,Xn)對應(yīng)于T中的一個葉子結(jié)點(diǎn),T的根到這個葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為X1,X2,…,Xn,反之亦然。另外,對于任意的0<i<n-1,E中n元組(Xi,X2,…,Xn)的一個前綴I元組(Xi,X2,…,X)對應(yīng)于T中的一個非葉子結(jié)點(diǎn),T的根到這個非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為Xi,X2,…,Xi,反之亦然。特別,E中的任意一個n元組的空前綴(),對應(yīng)于T的根。因而,在E中尋找問題P的一個解等價于在T中搜索一個葉子結(jié)點(diǎn),要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的 n條邊相應(yīng)帶的n個權(quán)Xi,X2,…,Xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn),很自然的一種方式是從根出發(fā),按深度優(yōu)先的策略逐步深入,即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組(Xii)、前綴2元組(Xi,X2)、…,前綴I元組(Xi,X2,…,Xi),…,直至iji=n為止。在回溯法中,上述引入的樹被稱為問題P的狀態(tài)空間樹;樹T上任意一個結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn);樹T上的任意一個葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個解狀態(tài)結(jié)點(diǎn);樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P的一個回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn),它對應(yīng)于問題P的一個解?!締栴}】n皇后問題問題描述:求出在一個nxn的棋盤上,放置n個不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有布局。這是來源于國際象棋的一個問題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線 4個方向相互捕捉。如圖所示,一個皇后放在棋盤的第 4行第3列位置上,則棋盤上凡打“X”的位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。12345678從圖中可以得到以下啟示:一個合適的解應(yīng)是在每列、每行上只有一個皇后,且一條斜線上也只有一個皇后。求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理時,就找到了一個解。接著改變第n列配置,希望獲得下一個解。另外,在任一列上,可能有n種配置,開始時配置在第1行,以后改變時,順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個合理的配置時,就要回溯,去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的算法如下:( 輸入棋盤大小值n;m=0;good=1;do{if(good)if(m==n)( 輸出解;改變之,形成下一個候選解;)else 擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列;else 改變之,形成下一個候選解;good= 檢查當(dāng)前候選解的合理性;}while(m!=0);)在編寫程序之前,先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個二維數(shù)組,但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn),這種表示方法給調(diào)整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是盡可能直接表示那些常用的信息。對于本題來說,“常用信息”并不是皇后的具體位置,而是“一個皇后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好了” 。因在某一列上恰好放一個皇后,引入一個一維數(shù)組(col[]),值col[i]表示在棋盤第i歹hcol[i]行有一個皇后。例如:col[3]=4,就表示在棋盤的第3歹h第4行上有一個皇后。另外,為了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置, 設(shè)定col[0]的初值為0當(dāng)回溯到第0列時,說明程序已求得全部解,結(jié)束程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便,引入以下三個工作數(shù)組:數(shù)組a[],a[k]表示第k行上還沒有皇后;數(shù)組b[],b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后;數(shù)組c[],c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后;棋盤中同一右高左低斜線上的方格,他們的行號與列號之和相同;同一左高右低斜線上的方格,他們的行號與列號之差均相同。初始時,所有行和斜線上均沒有皇后,從第1列的第1行配置第一個皇后開始,在第m列col[m]行放置了一個合理的皇后后,準(zhǔn)備考察第m+1列時,在數(shù)組a[]、b[]和c[]中為第m列,col[m]行的位置設(shè)定有皇后標(biāo)志;當(dāng)從第m列回溯到第m-1歹并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時,清除在數(shù)組a[]、b[]和c[]中設(shè)置的關(guān)于第m-1歹col[m-1]行有皇后的標(biāo)志。一個皇后在m歹U,col[m]行方格內(nèi)配置是合理的,由數(shù)組a[]、b[]和c[]對應(yīng)位置的值都為1來確定。細(xì)節(jié)見以下程序:【程序】includeincludedefineMAXN20intn,m,good;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];voidmain()intj;charawn;printf("Entern: ");scanf( "%d,&n);for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;m=1;col[1]=1;good=1;col[0]=0;do{if(good)if(m==n){printf( “列\(zhòng)t行”);for(j=1;j<=n;j++)printf( “%3d n”,j,col[j]);forprintf("Enteracharacter(Q/qn);forscanf("%f,&awn);if(awn==,Q||awn==,q,)exit(0);while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;}col[m]++;}else{a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;col[++m]=1;else{while(col[m]==n){m--;a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;)col[m]++;)good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];}while(m!=0);)試探法找解算法也常常被編寫成遞歸函數(shù),下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個解。【程序】includeincludedefineMAXN20intn;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];voidmain(){intj;printf("Entern: ");scanf("%d,&n);for(j=0;j<=n;j++)a[j]=1;for(j=0;j<=2*n;j++)cb[j]=c[j]=1;queen_all(1,n);}voidqueen_all(intk,intn){inti,j;charawn;for(i=1;i<=n;i++)if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]){col[k]=i;a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;if(k==n){printf( “列\(zhòng)t行”);for(j=1;j<=n;j++)printf(“%3d n”,j,col[j]);printf(Enteracharacter(Q/qforn);scanf("%f,&awn);if(awn= =,Q'||awn==,q,)exit(0);}queen_all(k+1,n);a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];))采用遞歸方法找一個解與找全部解稍有不同,在找一個解的算法中,遞歸算法要對當(dāng)前候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最終解時,遞歸函數(shù)就不再遞歸試探,立即返回;若不能成為解,就得繼續(xù)試探。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解,返回0表示當(dāng)前候選解不能成為解。細(xì)節(jié)見以下函數(shù)?!境绦颉?defineMAXN20intn;intcol[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];intqueen_one(intk,intn){inti,found;i=found=0;While(!found&&i{i++;if(a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i]){col[k]=i;a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;if(k==n)return1;elsefound=queen_one(k+1,n);a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;))returnfound;)分支定界法:分支限界法:這是一種用于求解組合優(yōu)化問題的排除非解的搜索算法。類似于回溯法,分枝定界法在搜索解空間時,也經(jīng)常使用樹形結(jié)構(gòu)來組織解空間。然而與回溯法不同的是,回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索樹結(jié)構(gòu),而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來搜索這些樹。因此,可以很容易比較回溯法與分枝定界法的異同。相對而言,分枝定界算法的解空間比回溯法大得多,因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時,回溯法成功的可能性更大。算法思想:分枝定界(branchandbound)是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法,它與回溯法的主要區(qū)別在于對E-節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)充方式。每個活節(jié)點(diǎn)有且僅有一次機(jī)會變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個節(jié)點(diǎn)變?yōu)镋-節(jié)點(diǎn)時,則生成從該節(jié)點(diǎn)移動一步即可到達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中,拋棄那些不可能導(dǎo)出(最優(yōu))可行解的節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)加入活節(jié)點(diǎn)表,然后從表中選擇一個節(jié)點(diǎn)作為下一個E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行擴(kuò)充, 直到找到解或活動表為空,擴(kuò)充過程才結(jié)束。有兩種常用的方法可用來選擇下一個 E-節(jié)點(diǎn)(雖然也可能存在其他的方法):1)先進(jìn)先出(FIFO)即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié)點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同,因此活節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。2)最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中,每個節(jié)點(diǎn)都有一個對應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找一個具有最小耗費(fèi)的解,則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆來建立,下一個E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活節(jié)點(diǎn);如果希望搜索一個具有最大收益的解,則可用最大堆來構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表,下一個E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問題用一個隊(duì)列Q來存放活結(jié)點(diǎn)表,Q中weight表示每個活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)weight=—1時,表示隊(duì)列已達(dá)到解空間樹同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。算法首先檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后,當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn),由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個尾部標(biāo)記-1,故在取隊(duì)首元素時,活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時,再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空,則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列,算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)0/*該版本只算出最優(yōu)解*/#include<stdio.h>
q->next=NULL;q->weight=w;q->weight=w;if(Q->next==NULL){Q->next=q;fq=lq=Q->next;//一定要使元素放到鏈中}else{lq->next=q;lq=q;// lq=q->next;=}return0;}intIsEmpty(){if(Q->next==NULL)return1;return0;}#include<malloc.h>structQueue{intweight;struct
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