上海中學自主招生數(shù)學試題帶答案

2014年上海中學“創(chuàng)新素養(yǎng)培育項目”數(shù)學測試卷、填空題(8X9=72)11—+11—+—=1.已矢口ab【變式】已知：【變式】已知： -+_=a+b，則ab4 ba_+_= -+_=ab a+b，貝Iab4 ba ——= - =aba+b，貝Iab1 1 4ba2——+—= ——+——=【變式】已知：a2ba2+b，貝Ua2b1 1 4baa—+—=———+【變式】已知：aabaa+b，則aab.有個實數(shù)工，可以使得'120一或為整數(shù).【變式】x為1,2,3,……，2014,使得J10。-6為有理數(shù)的x有個.【變式】x為1,2,3,……，2014,使得后為有理數(shù)的x有個.【變式】有個整數(shù)x，可以使得'120―2?為整數(shù)..如圖，在^ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含/A的式子表示/EDF，應(yīng)為/EDF= .DD【變式】如圖，在等腰直角AABC中，/A=900,AB=AC，CD=BF，BD=CE，則/EDF .

D【變式】如圖，在等腰直角^ABC中，/A=900AB=AC=1,D、E、F分別是邊BC、CA^AB上的點，且CD=BF，BD=CE，則SADEF面積最大值為.3y=x2+mx――m2(m>0).在在直角坐標系中，拋物線 4 與x軸交于A、B兩點，若A、B兩點112- =一到原點的距離分別為OA^OB，且滿足OBOA3，則m=.5.定圓A的半徑為72,動圓B的半徑為r,r<72且r是一個整數(shù)，動圓B保持內(nèi)切于圓A且沿著圓A的圓周滾動一周,若動圓B開始滾動時切點與結(jié)束時的切點是同一點，則r共有個可能的值.6.學生若干人租游船若干只，如果每船坐6.學生若干人租游船若干只，如果每船坐4人就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不滿，則學生共有人空也不滿，則學生共有人.(a，a，7.對于各數(shù)互不相等的正整數(shù)組Sin是不小于2的正整數(shù))，如果在i<j時有j，則稱a與aj是該數(shù)組的一個“逆序”，例如數(shù)組(2,3,1,4,中有逆序(a，a，7.對于各數(shù)互不相等的正整數(shù)組“3,1”，其逆序數(shù)為4,現(xiàn)若各數(shù)互不相同.的正整數(shù)組(al，a2,a3,a4,a5,a6)的逆序數(shù)為2,則

(%a5,a4a3,氣a1)的逆序數(shù)為11n10< <-.若n為正整數(shù)，則使得關(guān)于x的不等式21%+n19有唯一整數(shù)解的n的最大值為10<-1910<-19有唯一整數(shù)解的n的最小值為< 【變式】若n為正整數(shù)，則使得關(guān)于x的不等式21x+n二、選擇題(4X10=40).已知x2+ax-12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的積，則符合條件的整數(shù)a的個數(shù)為()A.3個 B.4個 C.6個 D.8個10.如圖，D10.如圖，D、E分別為^ABC的底邊所在直線上的兩點，DB=EC,過A作直線1，作DM//BA交1于M，作EN//CA交1于N,設(shè)AABM面積為S1,AACN面積為$2，則11.設(shè)PP2,q1，q2為實數(shù)，P1P2=2(q1+q2),若方程，甲:%2+P1X+q1=0,-x2-x2+px+q=0乙：2 2,則( )A.甲必有實根，乙也必有實根C甲、乙至少有一個有實根B.甲沒有實根,乙也沒有實根D.甲、乙是否總有一個有實根不能確定12223122232a——+ +—+12.設(shè) 135近a-b的整數(shù)為()10072+ 20131222——十3 532+—+710072+ 2015，則以下四個選項中最接A.252 B.504 ..C.1007D.2013三、解答題（38分，13題18分，14題20分）.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜邊AC（B、D位于AC的兩側(cè)），M、N分別是AC,BD的中點，且M、N不重合，⑴線段MN與BD是否垂直？證明你的結(jié)論.（2）若/BAC=300,ZCAD=450，AC=4，求MN的長.B.是否存在m個不全相等的正數(shù)01，a2，，Um^7）,使得它們能全部被擺放在一個圓周上，每個數(shù)都等于其相鄰兩數(shù)的乘積？若存在，求出所有這樣的m值，若不存在，說明理由.a+b1 G+Z?)2 = ,n =1,答案：1aba+babba〃2+枕—+—二 ababG+Z?)2ba〃2+枕—+—二 ababG+Z?)2-lab

abG+Z?)2 -2=l-2=-lab事實上，這道題是一道錯題:件就錯了，同樣結(jié)果也錯了,a+b

abba一十一ab1G+/?)2~a+b^ab二1,汪思J，2G+Z?)2>Aab已知條2.u,33=9。。4.2,5,11,6.44,7.13.8.220,9.CV6-V2y11 Xa=x,a=y,a=—■>a=—,a=:一,a=—,a=x,a=y,14.【解析】設(shè)12 3x4X 5y 6y7 8一個周期為6的數(shù)列，Xc 八%=y?一x>0\a=a-ayJ1 2m —S<n<y>0[a=a-ax 1m 1 m-1—=%?—xwy門^m=0(mod6)I J10.B,11C.12. B.13.⑴⑵ 2,顯然是(2)當m=l(mod6)a=a?a1 2ma=a-a'm 1 m-1n<xx=y=1x=x-- "、y 與不全相等矛盾;⑶當機三2(mod6)[a=a-a1 2m[a=a-am 1 m-1n^=y-y 1< n%=y=1y=x-x 、—人、…一一與不全相等矛盾;yx=y?一a=a?〃X .1 2m —S<'nx=y=]a=a-aJm 1 m-1—=X-J他、當機三3(mod6)〔X 與不全相等矛盾;[1rx=y?—a=a-aX -1 2mn<nx=y=1a=a'a1ym 1 m-1—=x"—^m=4(mod6)(JJ ,〔XX 與不全相等矛盾;word.(6)當m三5(mod6)a二a-aa-a?am1 m-1x-y?