與球有關(guān)的高考試題

2016年高考數(shù)學(xué)微專題：與球體有關(guān)的問題一、高考趨勢分析：立體幾何章節(jié)在傳統(tǒng)的高考中分值占22分左右，以兩小一大的形式出現(xiàn)較多。與球相關(guān)的問題也時有考題出現(xiàn)，現(xiàn)針對近年高考考題形式總結(jié)如下，也是每年高考熱點(diǎn)，每年高考中主要考查選擇、填空題目、解答題。二、基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥：1．長方體、正方體的外接球其體對角線長為該球的直徑．2．正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑．3．正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線．4.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.方法主要是“補(bǔ)體”和“找球心”考試核心：性質(zhì)的應(yīng)用d2—OO2—R2—r2，構(gòu)造直角三角形建立三者之間的1關(guān)系。三、高考試題精練（2015高考新課標(biāo)2,理9）已知A,B是球。的球面上兩點(diǎn)，NAOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球。的表面積為（）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)二位于垂直于面后口片的直徑端點(diǎn)時，三棱雄的體積最大，設(shè)球。的半徑為五，此時匚n.二廠廠二二工/1在：工五二二五二二36,故況=6,則球。的表面積為m*■'afi'ta,-二I-?-y 65二工江】二口」下，故選匚【考點(diǎn)定位】外接球表面積和椎體的體積.（2015?遼寧高考）已知直三棱柱ABC”尸￡的6個頂點(diǎn)都在球O的

球面上，若人8=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,則球O的半徑為（ ）A.等B.2,；W13C球面上，若人8=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,則球O的半徑為（ ）A.等B.2,；W13C.2D.3產(chǎn)解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為8。的中點(diǎn)兇.15 1又AM=-BC=-,OM=kAA=6,所以球。的半徑R=OA=2 2 21「5112J一13

2+62--2.3.（2016?長春模擬）若一個正四面體的表面積為S1其內(nèi)切球的表面S積為S,則s1=2解析：設(shè)正四面體棱長為a,則正四面體表面積為S1=4?乎?a2=q31122,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的4，即r=[?*a,因此內(nèi)切球表na2面積為S2=4nr2=-6—則gonn2 ——a?6答案：空n4.四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2y2則該球的表面積為（ ）A.9nB.3nD.12nC.2\/2nD.12n解析：選D該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2、；2可知正方形ABCD對角線AC的長為2%：2可得2=2,在APAC中PC=、⑵+?2\；,2?2=2\/3,球的半徑區(qū)=、.二.S表=4nR2=4nX四、典型例題精析類型一：有公共底邊的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（兩題互換條件形成不同的題）1.15.如圖球。的半徑為2,圓o是一小圓，OO-2，A、B是圓o上兩1 1 1點(diǎn)，若A,B兩點(diǎn)間的球面距離為生，則/AOB= .（2015年理3 1 科）如圖球。的半徑為2,圓o是一小圓，OO=?2，A、B是圓o上兩1 1 1點(diǎn)，若/AOB=上，則A,B兩點(diǎn)間的球面距離為 （2014年文1 2 科）類型二：球內(nèi)接多面體,利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑,通常用到余弦定理求余弦值,通過余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑二=2丫，從而解決問題。sinC3.15.直三棱柱ABC-ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,/BAC=120。，則此球的表面積等于。（2014年理科）析：欲求球的表面積，歸根結(jié)底求球半徑R，與R相關(guān)的是重要性質(zhì)R2=r2+d2。,AA=2, ??d=OO=OO=—AA=1。1 1 221現(xiàn)將問題轉(zhuǎn)化到。O2的半徑之上。因?yàn)?ABC是。02的內(nèi)接三角形，又知AB=AC=2,NBAC=120°,三角形可解。由余弦定理有BC=ABB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC=<4+4+4=2、；3，由正弦定理有一BC一=2rnr=_BC一=2sinZBAC 2sinZBAC??R2=r2+d2=4+1=5.??S=4兀R2=20K。4.14.正三棱柱ABC-A1B1cl內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為兀，則正三棱柱的體積為」_.(2013年理科)已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB="3,zASC=zBSC=30。，則棱錐S—ABC的體積為—J(2014年理科)A.3<3 B.2<3 C.無 D.16.(11)已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，SA1平面ABC，AB±BC，SA=AB=1，BC=v2，則球O表面積等于A(2015年文科)(A)4K (B)3K (C)2K (D)K類型三：通過線線角、線面角、面面角之間的平面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造勾股定理處理問題。7.15.設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于生，則球O的表面積等4于.(2015年文科)析：問題的解決根本一一求球半徑R=OB。TOC\o"1-5"\h\z與R相關(guān)的重要性質(zhì)R2=r2+d2中，r2可求(:，『2.江:?3)r—4 r—4問題轉(zhuǎn)化到求d=OC上充分運(yùn)用題目中未用的條件，OM=R，/OMC=45°，.,?d=旦2 222于是R2=7+期求得R2=2，?7S=4兀R2=8兀4 8

.（11）已知平面。截一球面得圓M,過圓心M且與。成二面角的平面8截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4兀，則圓N的面積為“（2014年理科）（A）7兀（B）9兀 （C）11兀 （D）13冗.（5）如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯600緯線長和赤道長的比值為C（2015文科）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25類型四：球內(nèi)接多面體的相關(guān)元素之間的聯(lián)系。.13.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是4cm.（2010年理科）.16．長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)均在同一個球面上， AB=AA1=1，BC五，則a，b兩點(diǎn)間的球面距離為 2 .（2015年文科）312.14.體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于4丁務(wù)_.（2009年文科）13.16.已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的』，則這兩個圓錐中，體積較小者的16高與體積較大者的高的比值為___1/3 .（2015年文科）14.15.如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是—2兀R2.類型五：平面幾何性質(zhì)在球中的綜合應(yīng)用。15.(16)已知球O的半徑為4,圓M與圓N為該球的兩個小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB=4.若OM=ON=3，則兩圓圓心的距離MN=.(2015年理科)析：由OM=ON知，。M與。No為等圓，根據(jù)球中的重要性質(zhì)，r2=R2-d2=16-9=7又MHLAB得H為AB中點(diǎn)，???BH=AH=2，mh=NH=J2-BH2=吞VZOMH=ZONH=90°AZMON=n-ZMHN由余弦定理有MN2=OM2+ON2-2OM?ON?cosZMON /，一一聲、MN2=MH2+NH2—2MH?NH?cos(n—ZMON)/；?二O：-T，~~/解得cosZMON=1,即ZMON二上 / "M^D^/2 3 g -???三角形OMN為等邊三角形， ???MN=3.類型六：性質(zhì)的簡單應(yīng)用。.(15)已知oa為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M，若圓M的面積為3兀，則球O的表面積等于16n.(2009年文科).(15)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6,BC=2<3,則棱錐O-ABCD的體積為24。(2011年理科).(9)高為巨的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)S、A、4B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為C(2011年理科)(A)三 (B)三 (C)1 (D)①五、模擬4試題精練 2

1.（2015高考新課標(biāo)2,理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，NAOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（ ）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C2.（2015?遼寧高考）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,則球。的半徑為（ ）A.宇13C.~2~2答案：選C3.（2016?長春模擬）若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則答案：6?n4.四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E,F分別是棱AB,CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2、j2,則該球的表面積為（）A.9n B.3nC.2\/2n D.12n答案：選D.TOC\o"1-5"\h\z.如圖所示，已知E,F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1口 /的棱A1A,CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1-B1EDF的體積為. ;汗/二：答案⑴落 卜二'“J一二二二D A.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，4ABC是