北京市2022屆高三高考(二模)數(shù)學【理】試題及答案

2022-2021學年(xuénián)高三年級第二次質量調研數(shù)學試卷（理）考生注意：本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．解答必須寫在答題紙上的規(guī)定區(qū)域，寫在試卷或草稿紙上的答案(dáàn)一律不予評分．一．填空題（本大題有14題，滿分56分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果(jiēguǒ)，每個空格填對得4分，否則一律得零分．1．已知集合(jíhé)2．拋物線，，則________．的焦點到準線(zhǔnxiàn)的距離是______________．3．若，其中、，是虛數(shù)單位，則_________．4．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是_______．5．設等差數(shù)列=__________．滿足，，（的前項和的最大值為，則6．若），且，則_______________．7.已知對任意，向量，若都是直線的方向向量，設數(shù)列的前項和為，則_____________．8．已知定義在上的單調函數(shù)的圖像經(jīng)過點、，若函數(shù)的反函數(shù)為，則不等式的解集為．9.已知方程在上有兩個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是____________．10.隨機變量的分布律如下表所示，其中，，成等差數(shù)列，若是___________．，則的值11．現(xiàn)有(xiànyǒu)張不同的卡片,其中(qízhōng)紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張,要求(yāoqiú)這張卡片不能是同一種(yīzhǒnɡ)顏色，且紅色卡片(kǎpiàn)至多張．則不同取法的種數(shù)為__________．12.在平面直角坐標系中，點和點滿足按此規(guī)則由點得到點，稱為直角坐標平面的一個“點變換”．在此變換下，若，向量與的夾角為，其中為坐標原點，則的值為____________．13.設定義域為的函數(shù)若關于的函數(shù)有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．14．把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________．二．選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15．在△中，“”是“”的……（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件16．已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量，，且平面內(nèi)的任一向量都可以(kěyǐ)唯一的表示成為實數(shù)(shìshù)），則實數(shù)的取值范圍(fànwéi)是（）A．B．C．D．17．極坐標方程(fāngchéng)（）表示(biǎoshì)的圖形是…………（）A．兩個圓B．兩條直線C．一個圓和一條射線D．一條直線和一條射線18．在四棱錐中，，分別為側棱，的中點，則四面體的體積與四棱錐的體積之比為……………（）A．B．C．D．三．解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19.（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．在△中，已知，外接圓半徑．（1）求角的大??；（2）若角，求△面積的大小.20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，四棱錐的底面；為菱形，平面，，，為的中點．（1）求證：（2）求平面平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值．21．（本題滿分(mǎnfēn)14分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分．某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染(huánjìngwūrǎn)情況進行調查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻(shíkè)（時）的關系(guānxì)為，，其中(qízhōng)是與氣象有關的參數(shù)，且．若用每天的最大值為當天的綜合污染指數(shù)，并記作．（1）令（2）求，，求的取值范圍；時為綜合污染指數(shù)不超標，求當在什么范圍內(nèi)時，該市的表達式，并規(guī)定當市中心的綜合污染指數(shù)不超標．22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．已知橢圓（）的左、右焦點分別為．、，點，過點且與垂直的直線交軸負半軸于點，且（1）求證：△是等邊三角形；（2）若過、、三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓的方程；（3）設過（2）中橢圓的右焦點且不與坐標軸垂直的直線與交于、兩點，是點關于軸的對稱點．在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．23.（本題滿分(mǎnfēn)18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知數(shù)列(shùliè)中，，，的前項和為，且滿足(mǎnzú)（）．（1）試求數(shù)列(shùliè)（2）令的通項公式(gōngshì)；，是數(shù)列的前項和，證明：；（3）證明：對任意給定的，均存在，使得當時，（2）中的恒成立．數(shù)學試卷（理）參考答案與評分標準一．填空題（本大題有14題，每題4分，滿分56分）1．或2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二．選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）15．B16．D17．C18．C三．解答題（本大題共有5題，滿分74分）19.（本題滿分12分）本題共