（重慶市）2014年高考真題數(shù)學(xué)（理）試題

2014年重慶高考數(shù)學(xué)試題（理）一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（）第一象限第二象限第三象限第四象限2.對(duì)任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是（）成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列3.已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由觀測(cè)的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為（）4.已知向量，且，則實(shí)數(shù)=（）D.執(zhí)行如題（5）圖所示的程序框圖，學(xué)科網(wǎng)若輸出的值為6，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）B.C.D.6.已知命題對(duì)任意，總有；是的充分不必要條件則下列命題為真命題的是（）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.54B.60C.66D.72設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為（）B.C.D.3某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、學(xué)科網(wǎng)2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）A.72B.120C.144D.3已知的內(nèi)角，面積滿足所對(duì)的邊，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.二、填空題11.設(shè)全集______.12.函數(shù)的最小值為_________.已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，學(xué)科網(wǎng)則實(shí)數(shù)_________.考生注意：14、15、16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.過圓外一點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），再作割線，分別交圓于，，若，AC=8，BC=9，則AB=________.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，正半軸為極軸線與曲線的公共點(diǎn)的極經(jīng)________.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，學(xué)科網(wǎng)則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算過程.17.（本小題13分，（=1\*ROMANI）小問5分，（=2\*ROMANII）小問8分）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（=1\*ROMANI）求和的值；（=2\*ROMANII）若，求的值.18.（本小題滿分13分）一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3，學(xué)科網(wǎng)從盒中任取3張卡片.（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;（2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列（注：若三個(gè)數(shù)滿足，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）.19.（本小題滿分12分）如圖（19），四棱錐，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正弦值。（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問3分，（3）問5分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.確定的值；若，判斷的單調(diào)性；若有極值，求的取值范圍.21.如題（21）圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑..（本小題滿分12分，（1）問4分，（2）問8分）設(shè)若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論.數(shù)學(xué)（理）（重慶卷）參考答案選擇題（1）A（2）D（3）A（4）C（5）C（6）D（7）B（8）B（9）B（10）A填空題（11）（12）（13）（14）4（15）（16）三、解答題（17）解：（I）因的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的最小正周期，從而.又因的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以因得所以.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得所以.由得所以因此=（18）解：（Ⅰ）由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為（Ⅱ）的所有可能值為1，2，3，且,.故的分布列為123從而（19）解：（Ⅰ）如答（19）圖，連結(jié)，因?yàn)榱庑?，則，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因，故所以由知，從而，即設(shè)，則因?yàn)?，故即，所以（舍去），?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為由得故可取由得故可取從而法向量的夾角的余弦值為故所求二面角的正弦值為.（20）解：（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)得，由為偶函數(shù)，知，即，因，所以又，故.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，那么故在上為增函數(shù).（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.下面分三種情況進(jìn)行討論.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，令，注意到方程有兩根，即有兩個(gè)根或.當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，從而在處取得極小值.綜上，若有極值，則的取值范圍為.（21）解：（Ⅰ）設(shè)，其中，由得從而故.從而，由得，因此.所以，故因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（Ⅱ）如答（21）圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個(gè)交點(diǎn)，，,是圓的切線，且由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，由（Ⅰ）知，所以，再由得，由橢圓方程得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在.當(dāng)時(shí)，過分別與,垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心.由,是圓的切線，且，知，又故圓的半徑（22）解：（Ⅰ）解法一：再由題設(shè)條件知從而是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列，故=，即解法二：可寫為.因此猜想.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即.則這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.所以（Ⅱ）解法一：設(shè)，則.令，即，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命：當(dāng)時(shí)，，所以，結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即易知在上為減函數(shù)，從而即再由在上為減函數(shù)得.故，因此，這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.綜上，符合條件的存在，其中一個(gè)值為.解法二：設(shè)，則先證：…………①當(dāng)時(shí)，結(jié)論明顯成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立