大一各種試題-自動(dòng)化院高數(shù)期末復(fù)習(xí)

一. yftdt，其中ft連續(xù)， f

1limsinxx1

102x

公式2lim1

e；lim1n

eu（2）y

1x

ftdt，其中1x，2x可導(dǎo)，f

1lim1vv12則dyfxxfx 4.用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代22 2

5.用泰勒公式（比用等價(jià)無窮小更深刻（ff設(shè)limfx0，limgx0，且

數(shù)學(xué)二

ex1 x2

nxnn

x0

0x3 （1）l0，稱fx是比gx高階的無窮小，記 x 2n3 sin 2n1!0fx0gx，稱gx是比fx低階的無

x2x4 x2n2nl0fxgx

cos 2n!0

x2x3

n1xn

nl1，稱fxgx是等價(jià)無窮小，記以

ln

0nfx~

arctanxx

x

2n當(dāng)x0 1x1x1x21n1xn0xnsinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~ 1cosx~1x221x1~

ex1~x，ln1x~x

00法則1．（ 型）設(shè)（1）limfx0，limgx0（2）x變化過程中，fxgxxn1xn（n為正整數(shù)）xnm（n

f（3）limgxA（或fn，則n

A存在，且A 則limgxA（或若 x（n為正整數(shù)）又

M（n為 （注：如果limf

不存在且不是無窮大量情形，

g整數(shù)，則limxAAn

f 不能得出 準(zhǔn)則2．（定理）設(shè)gxfxh g若limgxAlimhxA，則limfx

（x變化過程中，fxgxflimgxA（或f

值，如果對(duì)于區(qū)間ab上的任一x，總fxM則稱M為函數(shù)fx在a,b上的最大值樣可以定則

A（或

3．（介值定理）如果函數(shù)fx在閉區(qū)間abfxxfx

存在

0fx[

M之間的任何實(shí)數(shù)c，在ab上至少存在一個(gè)，使 f1 k 基本公式 f 0 [如果存在nnk

n 推論：如果函數(shù)fx在閉區(qū)間ab上連續(xù)，且f與fb異號(hào)，則在a,b內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使x0是函yfx的間斷點(diǎn)。如fx在間xxfx

f cc dcxx1（實(shí)常數(shù)）dxx1dx（實(shí)常數(shù)在閉區(qū)間ab上連續(xù)的函數(shù)fx，有以下幾個(gè)基本1．（有界定理）如果函數(shù)fx在閉區(qū)間ab

sinxcoscosxsintanxsec2cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot

dsinxcosdcosxsinxdxdtanxsec2xdxdcotxcsc2xdxdsecxsecxtandcscxcscxcot連續(xù)，則fx必在a,b上有界 log

x xln

a0,a定理2．（最大值和最小值定理）如果函數(shù)fx在 dlogax

a0,a區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M lnxx

dlnx1xfx0M是區(qū)間abx0

axaxlnaa0,adaxaxlnadxa0,aexexxdex t存在，且t0，arcsinx darcsinx t1x11x1x1xarccosx1x

darccosx

ddy

1xd1x d2y

ttt arctanx1x darctanx1x2

dx arccotx

darccotx lnx x

1xa ax2a

1x

5.yfx的反函數(shù)xgydlnx x2a2 x2alnx

fx則

f fx2adlnx xa

d 二階導(dǎo)數(shù)gy x2a

dg

f fxgx

fxg

fx f

fxgxfxgxfxg f fg g2g g2gx 6. yyx是由方Fx,y0所確定，求yyfu，ux，如果xx處可導(dǎo)，f

Fx,y0兩邊的各項(xiàng)x求導(dǎo)，把y看作中在對(duì)應(yīng)點(diǎn)uy

fxx處可

dydydufx du對(duì)應(yīng)地dyfudufx 7.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法由于公式dyfudu不管u是自變量或中間變 xt，yt確定函yyx，其中t3

指函yfxgx yegxlnfxfxx0處可微fxx0處可導(dǎo)。求n階導(dǎo)數(shù)（n2，正整數(shù)

在閉區(qū)間a,b上連在開區(qū)間ab內(nèi)可導(dǎo)；則存在a,b，使得 fbfab

或?qū)懗蒮bfafb a（1）y yn 有時(shí)也寫成fx0xfx0fx0x在閉區(qū)間a,b上連在開區(qū)間a,b

殊情形gxx時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定fafb （則存在a,b，使得f0 二．拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)fx滿足

fxx0nfx fx fnx fxfx 0xx 0xx 0xxR 4

（2）yaxa0,a 0ysin yn

sinx 2

ycos 2(5)yln vxvxCnn kk!nkn其 Ckk!nkn

設(shè)函數(shù)fxgx滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]

fbfbf

xx0的一個(gè)極小值，稱x0為函數(shù)x

x0x

n x

稱為皮亞諾 x

n

00 0xx0

設(shè)函fxx0處可導(dǎo)，且x0為fx的一個(gè)極同情形取適當(dāng)?shù)膎，所以對(duì)常用的初等函數(shù)如exsinxcosxln1x和1x（為實(shí)常數(shù)）定理2（拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式fx在包x0的區(qū)間abn1階導(dǎo)數(shù)abn階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)xab，有公

點(diǎn)fx00我們xfx00x0fx的駐點(diǎn)可導(dǎo)函 fnxfx0fx0 0n 設(shè)fx在x處連續(xù)，在0x fnxf f 1!x 2!x x Rn Rxfn1xxn1，（

fx0不存在fx00x n 間

1如果在x0x0x上面展開式稱為以x0為中心的n階泰勒公式。當(dāng)

fx0，而在x0x0內(nèi)的任x處fx0fx0為極大x0為極x2如果在x0x0x 0，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒fx0，而在x0x0內(nèi)的任一x處

fx0f

為極小值，x0為極小值設(shè)函數(shù)fx在ab內(nèi)有定義，x0是ab內(nèi)的某一

x0xxx0fxfx0fx0為函f的一個(gè)極大值，稱x0為函數(shù)fx的一個(gè)極大值點(diǎn)；x0xxx0fxfx0fx0為函f

3如果在x0x0內(nèi)與x0x0內(nèi)的任一點(diǎn)xfx的符號(hào)相同，那么fx0不是極x0不是fxx0fx00fx00，當(dāng)fx00時(shí)，fx0為極小值x0為極 ww

yfxab求函數(shù)fx在a,b上的最大值和最小值的方 求曲線yfx的拐點(diǎn)的方法步驟是首先，求出fx在a,b內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo) 第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f最后，比較fx1,,fxk,fa,fb，其中最大者就是fx在ab上的最M其中最小者就是fx在ab上的最小值m。

x1x2、…、xk；

fx

fx

xay

fx的一條垂直fx在區(qū)I上連任意不同的x

fxb

fx

xx xx

yby

fx的一條水平漸f 2 fxfxf 2 fxfx f2

a0，limfxaxf則稱fx在I上是凸（凹）的 或 a0，limfxaxf 在幾何上，曲線yfx上任意兩點(diǎn)的割線在曲線 則yaxb是曲線yfx的一條斜漸近線

fx是凸（凹）fx

設(shè)曲線yfx，它在點(diǎn)Mxy處的曲率線之上（下）y

fx是凸（凹）

2k1y22

1k1設(shè)函數(shù)fx在ab內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f如果在ab內(nèi)的每一x，恒有fx0，則

的曲率半徑，在M點(diǎn)的法線上，凹向這一邊取一點(diǎn)D，使MDRD為曲率中心D為圓心R為半yfx在ab內(nèi)是凹如果在ab內(nèi)的每一x，恒有fx0，則

1．xdx

1，實(shí)常數(shù)xdxlnx

axdx1axlnexdxex

a0,a

aaacosxdxsinx

（2）faxnbxn1dx

faxnbdaxnsinxdxcosx a0,nsec2xdx

cos2

dxtanx

flnxdx （3） csc2xdx（3）

dxcotx 1 11sin2 f f xx xxtanxsecxdxsecxcotxcscxdxcscx

fx

2fxdxx tanxdxlncosxC （6）faxaxdx1x

faxdaxcotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtanxcscxdxlncscxcotx arcsinx aa2x

a0,afexexdxfexdexfsinxcosxdxfsinxdsinfcosxsinxdxfcosxdcos2

1arctanx

a

ftan

xdxftanxdtan

a2x 1lnaxCa2x2 ax

a

fcotxcsc2xdxfcotxdcotfsecxsecxtanxdxfsecxdsec

lnxx2a

x2a2 a （12）fcscxcscxcotxdxfcscxdcsc 1x（13）farcsinxdxfarcsinxd1x11x設(shè)fuduFuC，又x可導(dǎo)

farccosxdxfarccosxdarccos令u

farctanxdx

farctanxdarctan1x fxxdxf f farccotxdxfarccotxd1x 1x FuCFxffarctan1AAl2xx0

用a2xxasina2用a2xxasina2xxatanx2axasec x2aflnxx2a2 x2a fln dlnx2aa n t，解出xt已經(jīng)不再有nxtAx2BxAx2Bx

（2）PnxlnxPnxarcsinxPnxarctanx情Pnxn次多項(xiàng)式Pnxvx，而lnxarcsinx，arctanx為ux，用分部積分法一次，被積函Ax2Bx t解出xAx2Bx

eaxsinbx，eaxcosbx0Axx2l2 A 時(shí)，先化08

x2axx2ax2ax2aaffff

dxlnfx 設(shè)xt 可導(dǎo)，且t ，則 令xtnaxaxnax

（1）Pe n

或x與n 或cx。aex由ex構(gòu)成的aexxxab稱為變上限積分的函 afxdxbf

定理（1若fx在ab上可積，則Fx在a,b

xftaafxdxa

（2）若fx在ab上連Fx

xftdta ab上可導(dǎo)Fxf bkfx

fxdxk

fxdxk

f

2x 1

a

a

Fx

x,

1x

ftdt 之外

xdxafxdxcfxdx（ca

（5）abfxgxaxb，bfxdxb

Fxf2x2xf1 設(shè)ab，mfxMaxb， 設(shè)fx在a,b上可積，F(xiàn)x為fx在a,b上任mbabfxdxMba

fxdxF

FbF設(shè)abafxdx

f a定積分中值定 設(shè)fx在a,b上連續(xù)，則存ab

（注：若fx在ab上連續(xù)，可以很容易地用上面變上限積分的方法來證明；若fx在a,b上可積，牛頓bfxdxa

fb 定義：我們稱1bfxdx為fx在a,b上的 ba

設(shè)fx在ab上連續(xù)，若變量xtaaaa

fxdx0（f奇函數(shù)fxdx2afxdx（f偶函數(shù)0

（1）t在,（或,）上連（2）abtfx以T為周期a為常數(shù)T

atb，則bfxdxftt aTfxdx

f

設(shè)ux,vx在a,b上連續(xù)

buxdvxuxvxbb定義：設(shè)fx在ab上可積Fx

ftdt a 定積的 課程

2by2

xy1y2xy1xxa

II

2dx2

yx1

2其中x2yx1y，yc,d 設(shè)光滑曲線yyx，axb[也即yx有2Sa

1yx而dS1yx2dx也稱模型 S1r2

設(shè)光滑曲rrr在上 21

2 S

模型IIS22r2r1 3.參數(shù)方程所表曲線的弧xxt

設(shè)光滑曲線C,上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)曲線CS

t[xtytxt2yt2設(shè)曲線 的參數(shù)方

設(shè)空間一個(gè)立體由一個(gè)曲面和垂直于z軸兩平面zczdzzczdtabt（,）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且t不變號(hào)，t0且連續(xù)，則曲邊梯形面積（曲線Cxaxbx軸所圍

z軸的立體截面的面積Sz為已知的連續(xù)函數(shù)，則立體體VdScSbydxtt 2. （1）yyx0xaxbx繞x軸旋轉(zhuǎn)一精彩Vd精彩Vd 2

x x2

yxyyV2bya

t y f 則S2ytxt2yt2 x yux ）

d f

Qy

cln|x| uuydy

fux

設(shè)平面曲線CxxVy

dx2 AByyxax2bS2b

通解dy dx

M1xN1ydxM2xN2ydyS2．設(shè)AB的參數(shù)方程為xxtyyt

dxN dyC212121觀d （2） faxbyca0,b 令axbycu abf

dyPxyQx令yCxePxdx dudxx 代入方程求出abf a1xb1y

yePxdxQxePxdxdx（3）

f a2xb2yc2

dyPxyQxya①當(dāng)

1

情形，先求出

zaxbyc 把原方程化 1Pxz1 的解 a2xb2yc20 令ux，vy a

v

dxQy aubv

f

fa1ub1v

u

dyPyxv 2 a v1a1②當(dāng)

b10

2u

令a2b2 PxydxQxydy0Q令a1xb1y通解ux,yC f

axbyc 2令ua1xb1y

其中ux,yduxyPx,ydxQx,求ux,y的常用 法 uc1dxa1b1

a1b1f uc2

Px,ydxQx,ydydux,

x2y2dyPxy

xdxydyd 它也是變量可分離方程，通解公式y(tǒng)CePxdx x2y2xdxydyd

觀看精彩視頻課程，觀看精彩視頻課程，（3）ydxxdydxy ydx dlnxyxdxydyd1lnx2y2x2y x,xdxydyd1lnx2y2 x, x2y ux,yux0,y0

x2

dyx

y y

ydxxdy xx22x22 dtyy

yxdy

y

x2y

d xydx xy x2y x xdy xy x2y x xdx

Qx2y2

2x2y2

xdx

x2y2

2x2y2

xdx

d x2y21x21x2y2

xdx 2

也即滿足

22d

arctanx2

1

y

Rxy

Rx,yPx,ydxRx,yQx,ydydux,通解ux,yC．可降階方程m12ynfy fxdxnCxn1Cynfy fxdxnCxn1C nyfx,ypyp，原方程pfxp——一階方程，設(shè)其解為pgxC1，即ygxC1則原方程ygxC1dxC2yfy,yppyydpdpdyp dydx dydp1fy,p——一階方程， 設(shè)其解pgyC1dygyC xCgy,C 11 2若y1x，y2x解，則y1xy2x為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的一個(gè)若yxyxyx為此二階非齊次線性方程的一個(gè)C1y1xC2y2x為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的通解（

，

為獨(dú)立的任意常數(shù)）yyxC1y1xC2y2x是此二階非齊次線性方程

x與

xypxyqxyf1xypxyqxyf2x的特解y1xy2xypxyqxyf1xf2x的特解

ypyqyypxyqxy

特征方程2pqypxyqxyf

式若y1x，y2x

解，則它們的線性組合C1y1xC2y2x（C1，C2當(dāng)p24q0，特征方程有兩 不同的實(shí)根1，yCCyCC，www.kaoshidia課yyCyxCyx1當(dāng)p24q01 yCC 當(dāng)p24q0iyexC1cosxC2sin

其中C1y1xC2y2x為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線齊次線性方程的一個(gè)特解y如何求？我們根據(jù)fx的形式，先確定特解y的形式，其中解y，常見的fx的形式和相對(duì)應(yīng)地y的形式如下：fxPnxPnxn次多（1）若 不是特征根，則 y

x

xnaxn1

x ynpyn1pyn2

ypny 其中aii0,1,2,,n為待定 其中pii1,2,,n為常數(shù) （2）若0是特征方程的單根，則令yxRnnpn1pn2 p

（3）若0yx2Rn 則方程通解yCe1xCe2xCen

fxPxexPxn次多項(xiàng)式，為 若yRn x （2）若yxRnx若0k重實(shí)根k1則方程通解中含有1

x

若yx2Renxk10 en（3）i為特征方程的k重共軛復(fù)根2kexCCxCxk1cosxDDxDxk1sin

fxPnxexcosPnxn次多項(xiàng)式，,皆為實(shí)（1）若 不是特征根，則

yexRxcosxTnxsin

0Rnxaxnaxn1an1x01aii0,1,n為待Txbxnbxn1 x 方程：ypyqyf 是 yxexRxcosxT是

ababcosab a1b1a2b2

xnynpxn1yn1 xypy0 pii1,2,n為常數(shù)稱為n階歐拉方程。令xet代入方程，變?yōu)閠y是未知函數(shù)的微

ab0表示向a在向量b上的投ab0Prjbd2

dydydtetdy1dy，xdydy x ababsina,b dtddy tdtdy 2td2 2t 2 dxdtdx dt dt 1d2ydy

ab x2dt dt d2xdx

d2dt

混合積：定義abcabc，坐標(biāo)公式aa1ia2ja3ka1,a2,a3bb1ib2jb3kb1,b2,b3

a,b,c cc1ic2jc3kc1c2c3 幾何意義abc表示abc為棱的平行大面體設(shè)aa1a2a3bb1b2b3加法aba1b1a2b2a3b3角cosaa 角cosaa 2a與b直aba1b1a2b2b3b3數(shù)乘。a1a2a3（是常數(shù)）a與b平

a1a2a3

A1xB1yC1zD10，則通L的所有 課程，請(qǐng)為ab 課程，請(qǐng)為ab 為kAxByCzDkAxByCzD

，其中k

0,0與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量 通常記成n。法向量m,n,p的坐標(biāo)稱為法（線）方向點(diǎn)法式方程已知平面Mx0y0z0 Axx0Byy0Czz0或nrr0其中r0x0y0z0rxyAxByCzDABCxyz前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，nA,BC是的法向量。AxByCz0

1:A1xB1yC1zD12:A2xB2yC2zD21與2cos A1A2B1B2 A2B2C2A2B2C 夾角A1A2B1B2C1C2A1 B2C1D1C2 D2A1B1 C1D1 的方程為AxByCzD0Mx1y1z1為平面外的一點(diǎn)，則M到平面dAxByD0zAxD0yOz

dAx1By1Cz1A2B2C

設(shè)Ax,y,z，Bx,y,z，Cx,y,z 2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱式方程

xx0yy0z xx1x2x1x3

yy1y2y1y3

zz2z1z3

其中x0,y0,z0為直線l,m,n為直線的方xlxl0yy

AxByCzD 直線L的方程zz x

yy0zslmnt

LL間夾角（sin AlBmCn A2B2C2l2m2n2L與lmn L與AlBmCnL與AlBmCnL上有一點(diǎn)在AxyzBxyz為不同的兩 xx1

yy1

zx2 y2 z2L1L2間夾cosl2m2n2l2m2 角l1l2m1m2n1n2l1m1 f gradfx0,y0 x0,gradfx0,y0coslgradfx0,y0,l平面

1zfuvuuxyvvxA1xB1yC1zD1AxByCz

，方向向量

L:x

yy1zn

zxy在平面上過點(diǎn)Pxy L:x

yy2zzn

f limfx0tcos,y0tcosfx0,x,

t zfxyP0x0y0處的梯度fx, fx, gradfx0,y0

第五章泰勒公式§2§3第28卷第4 桂林電子科技大學(xué)學(xué) Vol.28,No.2008年8 JournalofGuilinUniversityofElectronic Aug.*李紹剛,徐安(桂林電子科學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院廣西桂林摘要:微分算子法是求解常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的有效方法,基于算子多項(xiàng)式的理論,針對(duì)二階常系數(shù):線性微分方程;常系數(shù);微分算子;特號(hào):O175. 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: 文章編號(hào) XDifferentialoperatormethodforparticularsolutionforsecond-orderconstantcoefficientlineardifferentialequationLIShao2gang,XUA(SchoolofMathematicsandComputationalScience,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin541004,Ch:Differentialoperatormethodisaneffectiveapproachforsolvinginhomogeneouslineardifferentialequa2tionwithconstantcoefficients.Basedonthetheoryofoperatorpolynomialandaimingatsecondorderinhomoge2neouslineardifferentialequationwithconstantcoefficients,differentialoperatorparticularsolutionsformulaaregivenwherethenonlinearitemhasseveraltypesoffunctionsuchasexponential,trigonometry,power,mixture.Theexamplesprovedthattheparticularsolutionformulahadthepropertiesofapplication,validityandconcisenessinsolvingproblems.:lineardifferentialequation;constantcoefficient;differentialoperator;particularsolut技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用常系數(shù)線性微分方程是工科數(shù)學(xué)中微分方程部分的重點(diǎn)內(nèi)容,大多數(shù)教師和學(xué)到一定的,這是因?yàn)楦邤?shù)中采用待定系數(shù)法求其特解,不僅要根據(jù)函數(shù)的不同情況求其特解,而因此,微分算子法成為求解不同類型的常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的有效方法125,基于上述結(jié)果,文章針對(duì)f(x)的不同情況,給出了微分算子法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解公式,具有記憶方便,計(jì)算簡單的特點(diǎn)。

y″+py′+q=f(x) 其中pq為常數(shù)。 d dx=D,dx2=Dd d 則有y′=dx=Dyy″=dx2=Dy于是式(1)(D2+pD+q)y=f(x F(D)=D2+pD+q,稱為算子多項(xiàng)式,(2)即為F(Dy=f(xy f(x)F(D*收稿日期作者簡介:李紹剛(1978-),男,漯河人,,講師,目前主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法第4 李紹剛等:二階常系數(shù)線性微分方程特解的微分算子 其中,稱 ekxv(x)= v(x)F(D F(D F(D+k( F 2若F(k)≠0,則有()e=F(k)F (3)若F(k)=0,不妨設(shè)k為F(k)=0的m重(m=1,2引理1[6 設(shè)算子多項(xiàng)式F(D)如上定義,f(x) g(x)為可微函數(shù),則 F(D

ekx=

F(m

(D

ekx=

F(m

(k)F(D)[Αf(x)+Βg(x)]=ΑF(D)f(x)ΒF(D)g(x)設(shè)F(D=F1(DF2(DF1(DF2(Df(x)]=F2(DF1(Df(x)設(shè)F(D=F1(D+F2(D

其中F(m(D表示對(duì)D求m證明(1)(2)由引理1易證,下面只證(3),依題意可令F(x(x-kmΗ(x,其中Η(k≠0則有F(m)(k)=m!Η(k),故可得 ekx ekx1則F(D)f(x)=F(D)f(x)+F2(D)f(x F(D (D-k)mΗ(D1(由逆算子移位原理:v(x)= kx [7 ( Η DΗ([7 ( Η DΗ(k引理 設(shè)算子多項(xiàng)式FD如上定義,k,aekx

=x 任意實(shí)數(shù)v(x為二階可導(dǎo)函數(shù)F(D)ekx=ekxF(k)

m!Η(k

F(m)(k設(shè)F(D2)sinax=sinaxF(-a2F(D2)cosax=cosaxF(-a2)F(D)ekxv(x)=ekxF(D+k)v(x)F(D)xv(x)=xF(D)v(x)+F′(D)v(x. 引理3[7 設(shè)算子多項(xiàng)式F(D)如上定義,Α,R,f(x,g(x為可微函數(shù),

例 y+2y-3y=解法 r2+2r-3=0,r1=1,r2= 由于2不是特征方程的根故可設(shè)特解為y=be2x代5be2x=e2x所以b=151

F(D)f(x)=f(x)

故特解為y

5F(DF(D [Αf(x)+Βg(F(D

解法 因F(D)=D2+2D-3,F(2)= ()+ (); 所以y= e2x= 1e2x=1e2x.F(D)fx ΒF(D)gx F(D) F(2) 設(shè)F(D)=F1(D)F2(D) 例 y-2y+y=則 f(x) 1 f(x)] 解法 F(D F1(D)F2(D r2-2r+1=0,r1=r2=1F2(D

F1(D

f(x)

由于1為特征方程的二重根,故可設(shè)特解為y=bx2ex因?yàn)閥=2bxex+bx2ex,y=2bex+4bxex+bx2ex,首先考慮f(x)是指數(shù)函數(shù)的情形,

所以b=1,2

2bex=ex1定理 設(shè)算子多項(xiàng)式F(D)如上定義,k為任

y 2

解法 因?yàn)镕(D)=D2-2D+1,1為F(1)=的二重根此時(shí)m=2,332y=x ex=1x 2008年8(D-2D+1) 其次考慮f(x)是三角函數(shù)的情形, 定理2 設(shè)算子多項(xiàng)式F(D)如上定義,a為任意實(shí)數(shù),則有下述結(jié)論成立

a= 65,b=y= 1(8cos2x sin2x當(dāng)F(-a2≠0 sinax

解法 因?yàn)镕(D)=D2+4D+5,F(-a2)=≠0,F(D1

F(-

y sin2xF(D

sin2xD2+4D+F(D2)cosax=F sin2x sin2x2當(dāng)F(-a2)=0時(shí) -2+4D+ 4D+ sinax= sinax (4D-1)sin2x= 1(4Dsin2x sin2x)F(D 16D2- cosax= cosax 1(8cos2x sin2xF(D 其中F(m(D表示對(duì)D求m階導(dǎo)數(shù) F(Dsinax=ImFia)

例 y+y=co解因?yàn)镕(D=D2+1,F(-a2=-1+1= ( ′F(D)cosax=Re[F(ia)],其中Fia y=x(D2+1)cosx=′

2Dcosx 2x證明(1由引理2易證,2因?yàn)镕(-a2)=0,不妨設(shè)F(D2=D+a2,

定理 設(shè)算子多項(xiàng)式F(D)如上定義,k為任 sinax=Im[ 1

eiax 實(shí)數(shù)v(x為二階可導(dǎo)函數(shù)F(D++

F(D

Pm(x)=Qm(D)Pm(x)ImD

2eiax]=Im[D-aiD+aieiax]

F(DIm

F]=ImF

11]

xv(x)=[x-()

D-ai2a

2ai x F′(D)]()v(xaIm[2ai]=Im[2xsinax 2aixcosax]a

FPm(x=Qm(x表示x的m 1xcosax 又 12sinax=x1sinax= 1xcosax (1)因?yàn)?=F(D)Qm(D+Rm(D,其中Rm(D表示余式,兩端同乘以Pm(x sinax= Pm(x)=F(D)Qm(D)Pm(x)+Rm(D)Pm(x)F(D F(D)Qm(D)Pm(x)類似可證第2利用(12

Rm(D=cm+1Dm+1+cm+2Dm+2+?,最低次冪為Dm1,對(duì)Pm(x)的運(yùn)算為零,所以例 y+4y+5y=解法 因?yàn)樘卣鞣匠虨閞2+4r+5=0,而2i

F(D

(x)=

(D)

(x,

xv(x)=F(D)[ v(x)y=acos2x+bsin2x F(D F(D 1F′(D 1v(x)F(D F(Dvvy′=-2asin2x+2bcos2xvvy″=-4acos2x-4bsin2x x

( DF(DD

(x)

F

F(D

(x) 第4 李紹剛等:二階常系數(shù)線性微分方程特解的微分算子 ( ( ( y3=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xFDF(DF′DF(Dvx xv(x)=[x 1F′(D 1v(x (-3ax-3b+4c)cos2xF(D例 y-5y+6y=x

F(D

(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x解因?yàn)镕(D=D2-5D+6,y xe2x

a= 1,b=0,c=0,d 4D2-5D+ x (D+1)-5(D+1)+ x=e2x1(-1-D)x = 3xcos2x 9D(D- e2x1(-x-1)= 1(x2+2x) 例 y+y=xco解法 因?yàn)镕(D)=D2+1,所

通過上例,不難看出,端函數(shù)為f(x=xsinax或f(x=xcosax時(shí),可以用三種解法求出其特解,利用微分算子法的兩種解法,y= xcos2x= 解計(jì)算量比較小求解過程簡單D2+(x- ) cos2x

D2+ D2+

(x

2D)(- 1cos2x)=D+ 1xcos2x- 4 sin2x 3D

從以上三個(gè)定理和例子可以看出相對(duì)于待定系數(shù)法,該方法具有計(jì)算簡單,方 1xcos2x+4 , 解法 用算子移位原理來轉(zhuǎn)而求解y+y因?yàn)镕(D)=D2+1,1

法,開闊了學(xué)生的視野,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí),,1]葛正洪.算子法求非齊次常系數(shù)線性微分方程組的特解[J].y=R

D2+

xe2ix]

方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,10(3:Re[e2ix x]=(D+2i)2+1

2]徐安農(nóng),段復(fù)建.全微分方程與積分因子法[J].桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,22(2:10212.Ree2ix x]= 3]周展宏.求常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的微分算子級(jí)數(shù)D2+4iD-

[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(3:Re[e2ix(-

4iD)x]=

4]陳新明.二階常系數(shù)線性微分方程的通解公式[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007,10(3):15218.Re[(cos2x+isin2x) 1x 4i)] [5]趙士銀,二階常系數(shù)線性微分方程的特解公式[J] 聯(lián)合 1xcos2x+

49

學(xué)學(xué)報(bào),2008,22(1:[6]葉彥謙.常微分方程講義[M].:人民教育,解法3該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為:y+y=0, 征方程為r2+1=0,由于Κ+iΞ=2i不是特征方程的根 [7]MR施皮格爾.高等數(shù)學(xué)的理論與習(xí)題[M]. 術(shù),1978.責(zé)任編輯英文編輯導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2

(arcsinx)

csc 11(secx)secx111

(arcctgx) (ax)axln (arctgx)

11tgxdxlncosx

dxcos2

sec2xdxtgxsecxdxlnsecxtgx

dxcsc2xdxctgxsin2 1arctgxCaaa2 aa

1

xax2 x 1lnax a a arcsinxC

x2a2)a2a2

x2a Isinnxdxcosnxdxn x2ax2axx2a2x22

)x2a2dx2a2a22

x2x22a2a22

Cx2x2a三角函數(shù)的有理式積分： 1u2 sinx，cosx u 1u 1u

dx1一些初等函數(shù) 兩個(gè)重要極限exe雙曲正弦shx

limsinx x 雙曲余弦:chxexe lim(11)xe2

x exe雙曲正切thxchxexearshxln(xarchxln(x

x2x2arthx1ln1 1三角函數(shù)公式：角角-------------------·和差角公式 ·和差化積公式sin()sincoscossin sinsin2sincoscos()coscos?sinsin tg sinsin2cossintg()1?tg coscos2

cos

ctgctg ()ctg coscos2sinsin ·倍角公式：sin22sincos22cos2112sin2cos2sin2ctg2

sin33sin4sin3ctg2

tg3

3tgtg21tgi

cos

112tg2

1cos1cos 1 1

ctg2

1cos1cos 1 aAbBcC ·c2a2b22abcosaAbBcCarccos2

arctgx2(uv)(n)Cku(nk)v(ku(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)v?n(n1)?(nk1)u(nk)v(k)?uv( 拉格朗日中值定理：f(bf(a)f()(bf(b)f

f(當(dāng)F(xx曲率弧微分公式：ds1y2dx,其中y平均曲率K.:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s：MM弧長M點(diǎn)的曲率：Klims0

d (1(1y2直線：K半徑為a的圓：K1aba

(y0y1?yn1ba ba ：f(x)3n[(y0yn)2(y2y4?yn2)4(y1y3?yn1b功：WF水壓力：Fp引力：Fkm1m2k為引力系數(shù)r2 fba均方根：

f2(tba(xx)2(y(xx)2(yy)2(zz

cos,是AB與u a cosababab,是一個(gè)數(shù)量a x y zaxbxaybyazca ay

axb

c ay c

bzab

cos,為銳角時(shí)1、點(diǎn)法式：A(xx)B(yy)C(zz)0，其中{A,B,C},M(x,y,z 2、一般方程：AxByCzD A2B2C平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：dAx0ByA2B2Cxx0 yy0

z

xx0空間直線的方程 2 z2

zz1a

b

c2x y、拋物面：2

,pq同號(hào)x2xx

yy

z

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dzzdxz duudxudyu 全微分的近似計(jì)算：zdzfx(xy)xfy(xzf[u(t),v(t dzzuz u vzf[u(x,y),v(x, zzuz當(dāng)uu(x,y)，vv(xy)

u vduudxu dvvdxv 隱函數(shù)Fx,y)

dy

Fx

d2y

(Fx)＋

(

x)

隱函數(shù)F(x,y,z)0，zFx z

v

J

u1(F,G v1(F,G (u,u1(F,G v1(F ( (u,微分法在幾何上的應(yīng)用：x

x

y z空間曲線y(t)在點(diǎn)M

yz)

(t z(t (t0 (t0 在點(diǎn)M處的法平面方程：(t0xx0(t0yy0(t0zz0F(x,y,z)

,則切向量TG

Gz

, G)M

{F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z 2、過此點(diǎn)的切平面方程：Fxx0y0z0)(xx0Fyx0y0z0yy0Fzx0y0z0zz03、過此點(diǎn)的法線方程：x y z Fx(x0,y0,z0 Fy(x0,y0,z0 Fz(x0,y0,z0方向?qū)?shù)與梯度： 函數(shù)zf(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向 ffcos 其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角函數(shù)zf(xy)在一點(diǎn)pxy)的梯度：gradf(x

f

f

x?

y

gradf(xye，其中ecosisinj，為lgr0 fxy(x0,y0) fyy(x0,y0) A0xy) A0,(x0y0)ACB20時(shí)

z z 曲面zf(xy)的面積A1x 平面薄片的重心：xMx M

yMyM平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸Iy(x,y)d 對(duì)于y軸Ix(x, Ff Ff FD(x2y2a2)柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

D(x2y2a2) D(x2y2a2)xr

f(x,y,z)dxdydz

F(r,, z 其中：F(r,z)f(rcos,rsinxrsin dvrdrsinddrr2sin zr 重心：xM

yM

zM

其中Mx轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix(yz) I(xz) I(xy第一類曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分x(t (t),y(tf(x,y)dsf[(t),(t)]

(t)2

(

y(t第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分yP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[