兩角和與差的余弦【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學必修同步教案（學生版教師版）

編號：011課題:§兩角和與差的余弦目標要求1、理解并掌握兩角和與差的余弦公式．2、利用兩角和與差的余弦公式化簡求值．3、理解并掌握給值（式）求值．4、理解并掌握給值求角問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值（式）求值；難點：給值求角問題．教學過程基礎(chǔ)知識點兩角和與差的余弦公式簡記符號公式使用條件【思考】(1)兩角和的余弦公式是怎樣由兩角差的余弦公式推導(dǎo)而來的?(2)兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征是什么?可用什么口訣記憶?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.cos(70°+40°)=cos70°-cos40°.B.對于任意實數(shù),都不成立.C.對任意,都成立.D.cos30°cos60°+sin30°sin60°=1.題2.cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于________.題3.cos615°的值為()A.B.C.D.關(guān)鍵能力·合作學習類型一利用兩角和與差的余弦公式化簡求值(數(shù)學運算)【題組訓(xùn)練】題22°cos38°-sin22°sin38°的值為 ()題345°的值等于 ()題(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.【解題策略】兩角和與差的余弦公式在求值應(yīng)用中的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在轉(zhuǎn)化過程中,充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.【補償訓(xùn)練】題7.求下列各式的值:(1);(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).類型二給值(式)求值(數(shù)學運算)角度1“逆用”求值【典例】題8.已知,則的值為 ()A. B. 角度2“拼湊角”求值【典例】題9.(1)已知，求的值.(2)為銳角,,求的值.【變式探究】題10.已知,且,求的值.題11.已知,求的值.【解題策略】解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵點(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當“已知角”有一個時通常有兩種思路:①著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,利用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”;②考慮把“所求角”表示為“已知角”與特殊角的和與差的形式.【題組訓(xùn)練】題12.已知為銳角,β為第三象限角,且,則值為()A.B.C.D.題13.已知，則的值為________.【補償訓(xùn)練】題14.若,則的值為()A.B.C.D.類型三給值求角問題(數(shù)學運算)【典例】題15.已知,且滿足,求.【解題策略】已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍:根據(jù)條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某個三角函數(shù)值:根據(jù)角的范圍選擇求哪一個三角函數(shù)值,原則是由所求的三角函數(shù)值能確定角所在的象限;(3)求角:結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.【跟蹤訓(xùn)練】題16.已知,則________.題17.已知,且和均為鈍角,則________.課堂檢測·素養(yǎng)達標題20°= ()30°cos10°-sin30°sin10°30°cos10°+sin30°sin10°30°cos10°-sin10°cos30°30°cos10°-sin30°cos10°題19.計算的值是 ()A. B.C.D.題20.已知銳角滿足,則等于 ()題75°=________.題22.設(shè)都是銳角,且,求的值.編號：011課題:§兩角和與差的余弦目標要求1、理解并掌握兩角和與差的余弦公式．2、利用兩角和與差的余弦公式化簡求值．3、理解并掌握給值（式）求值．4、理解并掌握給值求角問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值（式）求值；難點：給值求角問題．教學過程基礎(chǔ)知識點兩角和與差的余弦公式簡記符號公式使用條件【思考】(1)兩角和的余弦公式是怎樣由兩角差的余弦公式推導(dǎo)而來的?提示:在兩角差的余弦公式中,只要用-β替換β,便可以得到兩角和的余弦公式.(2)兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征是什么?可用什么口訣記憶?提示:可簡單記為“余余正正,符號反”,即展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展開前兩角間的符號與展開后兩項間的符號相反.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.cos(70°+40°)=cos70°-cos40°.B.對于任意實數(shù),都不成立.C.對任意,都成立.D.cos30°cos60°+sin30°sin60°=1.【答案】選ABD提示:A×.cos(70°+40°)=cos110°≠cos70°-cos40°.B×.當-45°,β=45°時,cos(-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此時cos(-β)=cos-cosβ.C√.結(jié)論為兩角和的余弦公式.D×.cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=.題2.cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于________.【解析】逆用兩角和的余弦公式可得:cos75°cos15°-sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0.答案:0題3.cos615°的值為()A.B.C.D.【解析】選D.cos615°=cos(720°-105°)=cos(-105°)=cos105°=cos(45°+60°)=.關(guān)鍵能力·合作學習類型一利用兩角和與差的余弦公式化簡求值(數(shù)學運算)【題組訓(xùn)練】題22°cos38°-sin22°sin38°的值為 ()【解析】A.原式=cos(22°+38°)=cos60°=.題345°的值等于 ()【解析】選345°=cos(360°-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.題(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.【解析】cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos60°=.答案:【解題策略】兩角和與差的余弦公式在求值應(yīng)用中的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在轉(zhuǎn)化過程中,充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.【補償訓(xùn)練】題7.求下列各式的值:(1);(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).【解析】(1).(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=.(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos60°=.類型二給值(式)求值(數(shù)學運算)角度1“逆用”求值【典例】題8.已知,則的值為 ()A. B. 【思路導(dǎo)引】對所求式逐步變形,直至可代入已知條件即可.【解析】選B.角度2“拼湊角”求值【典例】題9.(1)已知，求的值.(2)為銳角,,求的值.【思路導(dǎo)引】對已知條件和所求結(jié)論中的角進行分析,看已知條件中的角如何“拼湊”成結(jié)論中的角.【解析】(1)因為,所以,所以.(2)因為為銳角,所以.因為,所以,因為為銳角,所以,因為,所以,所以,所以.【變式探究】題10.已知,且,求的值.【解析】因為,且,所以,所以，所以.題11.已知,求的值.【解析】因為,所以.又因為,所以,所以.所以【解題策略】解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵點(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;(2)當“已知角”有一個時通常有兩種思路:①著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,利用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”;②考慮把“所求角”表示為“已知角”與特殊角的和與差的形式.【題組訓(xùn)練】題12.已知為銳角,β為第三象限角,且,則值為()A.B.C.D.【解析】選A.因為為銳角,且,所以，因為β為第三象限角,且,所以,所以.題13.已知，則的值為________.【解析】因為,所以答案:【補償訓(xùn)練】題14.若,則的值為()A.B.C.D.【解析】選A.由,得,①,②①+②得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1.所以sinαsinβ+cosαcosβ=.所以cos(α-β)=.類型三給值求角問題(數(shù)學運算)【典例】題15.已知,且滿足,求.【解題策略】已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍:根據(jù)條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某個三角函數(shù)值:根據(jù)角的范圍選擇求哪一個三角函數(shù)值,原則是由所求的三角函數(shù)值能確定角所在的象限;(3)求角:結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.【跟蹤訓(xùn)練】題16.已知,則________.【解析】因為,所以.因為,所以,所以因為,所以.答案:題17.已知,且和均為鈍角,則________.【解析】因為均為鈍角,所以.所以.由和均為鈍角,得,所以.答案:課堂檢測·素養(yǎng)達標題20°= ()30°cos10°-sin30°sin10°30°cos10°+sin30°sin10°30°cos10°-sin10°cos30°30°cos10°-sin30°cos10°【解析】選20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin