東北農(nóng)業(yè)大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第六章

東北農(nóng)業(yè)大學(xué)

數(shù)值分析

第六章第六章.線性代數(shù)方程組的數(shù)值解Gauss消去法矩陣三角分解法對(duì)稱矩陣的平方根法三對(duì)角方程組的追趕法向量與矩陣范數(shù)及方程組的性態(tài)解線性方程組的迭代法分快迭代法§1.引言n階線性方程組：可以表示成矩陣形式：解線性方程組的兩類方法：直接法:經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后可求得方程組精確解的方法(不計(jì)舍入誤差!）迭代法：從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解)§2.Gauss消去法簡(jiǎn)單消去法Gauss順序消去法的可行性及計(jì)算量矩陣的三角分解法主元素消去法Gauss-Jordan列主元消去法一、簡(jiǎn)單消去法將n階線性方程組轉(zhuǎn)化為等價(jià)（或同解）的三角形方程組的過(guò)程稱為消元過(guò)程，逐次求出的步驟稱為回代過(guò)程。Gauss消去法計(jì)算過(guò)程:統(tǒng)一記號(hào)原方程為相當(dāng)于第i個(gè)方程-第一個(gè)方程×數(shù)→新的第i方程—同解！第一方程不動(dòng)！Step1

假設(shè)上述消元過(guò)程除第一個(gè)方程不變以外,第2—第n個(gè)方程全消去了變量1，而系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)全得到新值：得到同解方程組為其中Step2.若，保留方程組中第一及第二個(gè)方程，消去其余方程中變量x3,得同解方程組記作，其中系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)：計(jì)算出的過(guò)程為消元過(guò)程。消去過(guò)程算法回代過(guò)程算法對(duì)于例1.用消去法解方程組解：用增廣矩陣表示求解過(guò)程二、Gauss順序消去法的可行性及計(jì)算量Gauss消去和回代過(guò)程都要求元素稱之為主元素。若，則計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。但在系數(shù)矩陣保持一定條件時(shí)，則可保證主元素非零，使Gauss順序消去法在計(jì)算機(jī)上順利執(zhí)行。定理1若矩陣A的各階順序主子式均不為零，即，則定理2若矩陣A對(duì)稱正定，則定理3若矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，若消去第一列的n-1

個(gè)系數(shù)要計(jì)算(n-1)+n*(n-1）

次乘法。Gauss消去法乘法計(jì)算量消去第二列的n-2

個(gè)系數(shù)要計(jì)算(n-2)+(n-1）*(n-2）

次乘法。……乘法計(jì)算量回代過(guò)程總計(jì)算量Gauss消去法乘除法總運(yùn)算量為三、矩陣三角分解法其中每一步消去過(guò)程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk

，記依此類推，得矩陣的LU分解形式其中方程組可寫成若令則上式變成則求解原方程組Ax=b便轉(zhuǎn)化為上述矩陣分解法稱為Doolittle分解,計(jì)算公式為其中得其余全為0。例2：對(duì)于例1，由增廣矩陣表示消元過(guò)程，有故有

高斯主元素消去法例1在只取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字的條件下，用Gauss順序消去法解方程組解：由第二個(gè)方程可求出代入第一個(gè)方程可求出而方程組的準(zhǔn)確解為設(shè)由第一個(gè)方程知因此而于是，有小主元素是算法不穩(wěn)定的主要原因。

在LU分解法中，若時(shí)，計(jì)算無(wú)法進(jìn)行，或者絕對(duì)值很小時(shí)，按分解公式計(jì)算時(shí)可能會(huì)引起舍入誤差的增大，因此，與Gauss消去法一樣，為了保證運(yùn)算能順利進(jìn)行以及方法的穩(wěn)定性，三角分解一般采用選列主元的技術(shù)，并稱之為Crout分解。Gauss-Jordan消去法Crammer法則Gauss順序消去法Gauss-JordanLU分解法運(yùn)算量比較§3矩陣的LU分解矩陣的LU分解對(duì)稱矩陣的平方根法改進(jìn)的平方根法解三對(duì)角方程組的追趕法二、平方根法證明1

；證明2。定理證明（1）定理證明（2）平方根(Cholesky分解法）法改進(jìn)平方根法三、追趕法定理證明（1）定理證明（2）定理證明（3）追趕法的計(jì)算公式矩陣的LU分解平方根法改進(jìn)的平方根法§4.向量和矩陣的范數(shù)及方程組的性態(tài)向量范數(shù)矩陣的范數(shù)方程組的性態(tài)及矩陣條件數(shù)一、向量范數(shù)向量范數(shù)二、矩陣的范數(shù)矩陣范數(shù)例與前述三種向量范數(shù)相容的三種矩陣范數(shù)：矩陣A的譜半徑三、方程組的性態(tài)與矩陣條件數(shù)矩陣的條件數(shù)右端項(xiàng)b的擾動(dòng)對(duì)解的影響系數(shù)矩陣A的擾動(dòng)對(duì)解的影響條件數(shù)的定義和性質(zhì)“病態(tài)”方程的經(jīng)驗(yàn)判斷誤差分析1、矩陣的條件數(shù)為了定量刻畫方程組的“病態(tài)”程度，下面對(duì)方程組Ax＝b就系數(shù)矩陣的擾動(dòng)或右端項(xiàng)有擾動(dòng)的兩種情況進(jìn)行討論。右端項(xiàng)b的擾動(dòng)對(duì)解的影響系數(shù)矩陣A的擾動(dòng)對(duì)解的影響條件數(shù)的定義常用的條件數(shù)，有條件數(shù)的性質(zhì)“病態(tài)”方程的經(jīng)驗(yàn)判斷2、誤差分析§4

、解線性方程組的迭代法迭代法概述雅可比(Jacobi)迭代法高斯—塞德爾（Gauss-Seidel)迭代法松弛法迭代法的收斂條件誤差估計(jì)

一.迭代法概述

迭代法的基本思想是構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計(jì)算新的近似解的規(guī)則。由不同的計(jì)算規(guī)則得到不同的迭代法，本章介紹單步定常線性迭代法。

直接法比較適用于中小型方程組。對(duì)高階方程組，既使系數(shù)矩陣是稀疏的，但在運(yùn)算中很難保持稀疏性，因而有存儲(chǔ)量大，程序復(fù)雜等不足.

迭代法則能保持矩陣的稀疏性，具有計(jì)算簡(jiǎn)單，編制程序容易的優(yōu)點(diǎn)，并在許多情況下收斂較快。故能有效地解一些高階方程組。二.雅可比(Jacobi)迭代法矩陣簡(jiǎn)化記法收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.Jacobi迭代法的