第七章數(shù)學(xué)物理方法

第七章Green函數(shù)法7.1引言Green函數(shù)，有時(shí)又稱點(diǎn)源函數(shù)或者影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念。這概念之所以重要是由于以下原因：從物理上看，在某種情況下，一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程表示的是一種特定的場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系（例如熱傳導(dǎo)方程表示溫度場(chǎng)和熱源的關(guān)系，Poisson方程表示靜電場(chǎng)和電荷分布的關(guān)系等等），而Green函數(shù)則代表一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)，知道了一個(gè)點(diǎn)源的場(chǎng)，就可以用疊加的方法算出任意源的場(chǎng)。例如，靜電場(chǎng)的電勢(shì)滿足Poisson方程是電荷密度，根據(jù)庫(kù)侖定律，位于的“源”在其中點(diǎn)的一個(gè)正的點(diǎn)電荷在無(wú)界空間中的M點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)是由此可求得任意電荷分布密度為M點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)為(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)其中為空間體積元式中的稱為方程（7.1.1）左邊在一般的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中，要求的是滿足一定邊界條件和（或）初始條件的解，相應(yīng)的Green函數(shù)也就比舉例的Green函數(shù)要復(fù)雜一些，因?yàn)樵谶@種情形下，一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)還受到邊界條件和（或）初始條件的影響，而這些影響本身也是待定的。的簡(jiǎn)寫(xiě)。Laplace算符在無(wú)界空間中的Green函數(shù)，用它可以求出方程（7.1.1）在無(wú)界空間的解式（7.1.3）。

因此，普遍地說(shuō)，Green函數(shù)是一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng)，利用Green函數(shù)，可求出任意分布的源所產(chǎn)生的場(chǎng)。下面以Poisson方程的第一、二、三類邊界條件為例進(jìn)一步闡明Green函數(shù)的概念，并討論Green函數(shù)法—解的積分表示?！?.2Poisson方程的邊值問(wèn)題三維Poisson方程的邊值問(wèn)題，可以統(tǒng)一寫(xiě)成其中是不同時(shí)為零的常數(shù)，的邊界。引入函數(shù)使之滿足下面推導(dǎo)定解問(wèn)題（7.2.1）—（7.2.2）用Green函數(shù)表示的解的積分表達(dá)式，

其中為區(qū)域中的任意點(diǎn)，的函數(shù)定義知，為在點(diǎn)的點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)，以函數(shù)乘式（7.2.1）的兩邊，同時(shí)以函數(shù)乘式（7.2.6）的兩邊，然后相減得則由將上式在上對(duì)積分，利用Green

公式，經(jīng)過(guò)繁復(fù)的推導(dǎo)，并考慮Green函數(shù)的對(duì)易性得到中體分布源在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)的總和，而第二、三兩個(gè)積分則是邊界上的源所產(chǎn)生的場(chǎng)。這兩種影響都是由同一Green函數(shù)給出的。式（7.2.9）給出了Poisson方程或Laplace方（時(shí)）解的積分表達(dá)式。

（7.2.9）式（7.2.9）被稱為基本積分公式或解的積分表達(dá)式。它的物理意義是十分清楚的:右邊第一個(gè)積分代表在區(qū)域在具體的邊界條件下，解式有更具體的形式。則若要求滿足第一類齊次邊界條件則式（7.2.9）中的面積分中，含的項(xiàng)消失

(7.2.12)（1）第一類邊界條件，即在式（7.2.2）中，(7.2.10)(7.2.11)從而式（7.2.9）變?yōu)槲覀兎Q方程（7.2.6）和邊界條件（7.2.11）所構(gòu)成的定解問(wèn)題的解為由方程（7.2.1）的邊界條件的Green函數(shù)。簡(jiǎn)稱Direchlet-Green函數(shù)；而稱式（7.2.12）為Direchlet積分公式，它是Direchlet問(wèn)題（7.2.14）的積分形式的解。(7.2.13)（7.2.10）所構(gòu)成的Direchlet問(wèn)題(7.2.14)（2）第三類邊界條件，即式（7.2.2）中均不為零。若要求滿足第三類

則以乘以（7.2.2），以齊次邊界條件，即(7.2.15)乘以（7.2.15），然后再將兩式相減，得代入式（7.2.9），有可見(jiàn)，只要從式（7.2.6）和式（7.2.15）中則式（7.2.16）也已全部由已知的解為由方程（7.2.1）和邊界條件解出量表示。我們稱方程（7.2.6）和邊界條件（7.2.15）所構(gòu)成的定解問(wèn)題（7.2.2）所構(gòu)成的定解問(wèn)題的格林函數(shù)，式（7.2.16）即為由式（7.2.1）和式（7.2.2）所構(gòu)成的定解問(wèn)題的積分形式的解。（3）第二類邊界條件第二類邊界條件時(shí)，定解問(wèn)題為相應(yīng)的格林函數(shù)滿足

(7.2.18)(7.2.17)由于但

.因此，定解（7.2.18）的解不存在。為了解決作下列定解問(wèn)題由條件得出其中為曲面S的面積，稱

（7.2.19）這個(gè)矛盾，取待定常數(shù)的解為第二類邊界條件下，Laplace算符的廣義格林函數(shù)，將式（7.2.19）和式（7.2.17）中的邊界條件代入式（7.2.9），得由于在邊界上的分布客觀存在，故與無(wú)關(guān)，為常數(shù)，故有其中C為待定常數(shù)，（7.2.20）由上面的討論看到，在各類非齊次邊界條件下求解Poisson方程（7.2.1），可以先在相應(yīng)的同類齊次邊界條件下求解Green函數(shù)所滿足的方程（7.2.6），然后通過(guò)積分公式（7.2.12）、（7.2.16）或（7.2.20）得到解容易些。不僅如此，對(duì)方程（7.2.1）中不同的格林函數(shù)的定解問(wèn)題，其方程（7.2.6）形式上比式（7.2.1）簡(jiǎn)單，而且邊界條件又是齊次的，因此，相對(duì)地說(shuō)，求G比求解和邊界條件（7.2.2）中不同，只要屬于同一類型的邊界條件，

非齊次項(xiàng)的函數(shù)都是相同的。這就把解Poisson類似于上面的討論過(guò)程，可以得到二維Poisson方程的各類邊值問(wèn)題的積分公式。如二維Poisson方程的Dirichlet問(wèn)題的積分形式的解，即二維空間的Dirichlet積分方程的邊值問(wèn)題化為在幾種類型邊界條件下求Green函數(shù)的問(wèn)題。(7.2.20)公式為其中，為二維Poisson方程的Dirichlet的解。-Green函數(shù)，即定解問(wèn)題(7.2.22)應(yīng)當(dāng)指出，Green法，即解的積分表示具有上述理論意義，在實(shí)際求解中，只有幾種特殊邊界可以求出Green函數(shù)，下面我們來(lái)討論求Green函數(shù)的一種特殊方法—電像法。

Green函數(shù)求法從上一節(jié)的討論可以看出，求解邊值問(wèn)題實(shí)際上歸結(jié)為求相應(yīng)的Green函數(shù)，只要求出Green函數(shù)，將其代入相應(yīng)的積分公式，就可得到問(wèn)題的解。一般來(lái)說(shuō)，實(shí)際求Green函數(shù)，并非一件容易的事，但在某些情況下，卻可以比較容易地求出。一、無(wú)界區(qū)域的Green函數(shù)無(wú)界區(qū)域的Green函數(shù)G，又稱為相應(yīng)方程的基本解。G滿足含有函數(shù)的非齊次方程具有奇異性，一般可以用有限形式表示出來(lái)，下面通過(guò)具體例子，說(shuō)明求基本解的方法。上，有.例1

求三維泊松方程的基本解．解Green函數(shù)滿足的方程為(7.3.1)采用球坐標(biāo)，并將坐標(biāo)原點(diǎn)放在源點(diǎn)由于區(qū)域是無(wú)界的，點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)應(yīng)與方向無(wú)關(guān)，而只是r的函數(shù)，于是式(7.3.1)簡(jiǎn)化為.當(dāng)時(shí)，方程化為齊次的，即積分兩次求得其一般解為

其中為積分常數(shù)。不失一般性，取(7.3.2)得下面考慮的情形．為此，對(duì)方程(7.3.1)為半徑的小球體在以原點(diǎn)為球心、內(nèi)作體積分從而而由散度定理于是故.將式(7.3.3)的結(jié)果代入上式，得于是有.

再代入式(7.3.3)，得到（7.3.4)例2求二維泊松方程的基本解．解：二維Green函數(shù)滿足的方程為(7.3.5)采用極坐標(biāo)，并將坐標(biāo)原點(diǎn)放在源點(diǎn)上，則時(shí)，在以原點(diǎn)為中心、為半徑的類似于對(duì)三維情況的討論，得與三維問(wèn)題一樣，G應(yīng)只是r的函數(shù)，于是式(7.3.5)簡(jiǎn)化為(7.3.6)當(dāng)當(dāng)小圓內(nèi)對(duì)方程(7.3.5)兩邊作面積分，注意到二維情況下的散度定理為時(shí)，求解式(7.3.6)，得于是(7.3.7)

二、用本征函數(shù)展開(kāi)法求邊值問(wèn)題的Green函數(shù)利用本征函數(shù)族展開(kāi)是求邊值問(wèn)題的Green函數(shù)的一個(gè)重要而又普遍的方法?，F(xiàn)以第一類邊值問(wèn)題為例來(lái)討論此法，寫(xiě)下相應(yīng)的本征問(wèn)題(7.3.8)(7.3.8)設(shè)本征值問(wèn)題（7.3.9）的全部本征值和相應(yīng)的歸一化本征函數(shù)分別是和即而且這里表示的共軛復(fù)變函數(shù)。將在區(qū)域上展開(kāi)為本征函數(shù)族的廣義Fourier級(jí)數(shù)(7.3.10)(7.3.11)函數(shù)

(7.3.12)為定出系數(shù)將式（7.3.12）代入問(wèn)題設(shè)以乘上式兩端，然后在區(qū)域上積分，并利用式（7.3.11）可得（7.3.8）的方程中，并利用方程（7.3.10）得代入式（7.3.12），即得（7.3.13）顯然，它滿足齊次邊界條件如果Green函數(shù)例3

求Poisson方程在矩形區(qū)域

的齊次邊界條件是第二類的或第三類的，這時(shí)可以類似地求得G，只要本征函數(shù)也滿足相應(yīng)的齊次邊界條件即可。內(nèi)的Dirichlet問(wèn)題的Green函數(shù)．解：本問(wèn)題Green函數(shù)的定解問(wèn)題為它是定解問(wèn)題

當(dāng)時(shí)的特例，而相應(yīng)的本征值問(wèn)題為它的本征值和歸一化的本征函數(shù)分別是其中故根據(jù)式(7.3.13)，因?yàn)轭}設(shè)有7.4用電像法求某些特殊區(qū)域的Dirichlet-Green函數(shù)電像法求特殊區(qū)域Green函數(shù)的基本思想是利用邊值問(wèn)題定解區(qū)域的對(duì)稱性，在定解區(qū)域外放置合適的點(diǎn)源來(lái)代替邊界的影響，使區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)源和區(qū)域外的點(diǎn)源之和同時(shí)滿足邊值問(wèn)題Green函數(shù)要求滿足的方程和邊界條件。

（7.4.3）7.4.1Poisson方程的Dirichlet-Green函數(shù)及其物理意義為了求三維Poisson方程的Dirichlet-Green函數(shù)，即求解定解問(wèn)題令使而應(yīng)滿足

其中

(7.4.5)而非齊次方程（7.4.4）的解，已由式（7.3.4）給出，即因此有例1求解球內(nèi)Dirichlet問(wèn)題解此時(shí)方程的非齊次項(xiàng)故由積分公式(7.2.12)得定解問(wèn)題(7.4.11)的(7.4.11)解為其中S為球面，G為球邊界問(wèn)題的Dirichlet-Green函數(shù)，它滿足定解問(wèn)題由上面的分析，有其中g(shù)滿足導(dǎo)體球內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷，導(dǎo)體接地。求球內(nèi)電勢(shì)。電荷的存在，在導(dǎo)體上感應(yīng)了電荷。球內(nèi)的電勢(shì)為自由電荷和感應(yīng)電荷電勢(shì)之和。將感應(yīng)電荷的電勢(shì)由一“電像電荷”的電勢(shì)表示現(xiàn)在假設(shè)在源點(diǎn)放置單位點(diǎn)電荷它在M點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為，這個(gè)電荷還要在球面邊界上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，我們把感應(yīng)電荷的電勢(shì)用點(diǎn)關(guān)于球面對(duì)稱點(diǎn)放置的點(diǎn)電荷（電像）q（電