第四章概率與概率分布課件

第四章概率分布要點(diǎn)概率基礎(chǔ)知識(shí)幾種常見(jiàn)的理論分布

統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布事件

在自然界中,有許多現(xiàn)象是可以預(yù)言在一定條件下是否出現(xiàn).例如水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓條件下,溫度加熱到100℃時(shí)肯定沸騰---必然事件(記為U)又如必然事件的反面,種子的發(fā)芽率不可能超過(guò)100%---不可能事件(記為V)再如小麥播種后可能發(fā)芽也可能不發(fā)芽,這種在確定條件下可能出現(xiàn)也可不出現(xiàn)的現(xiàn)象---隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件概率基礎(chǔ)知識(shí)頻率和概率事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了m次,則事件A發(fā)生的頻率為W(A)=m/n事件A發(fā)生的概率為P(A)

種子總數(shù)(n)1020501002005001000發(fā)芽種子數(shù)(m)9194791186458920種子發(fā)芽率(m/n)0.90.950.940.910.930.9180.92例某批玉米種子的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果0≤W(A)≤10≤P(A)≤1概率的計(jì)算事件的相互聯(lián)系(韋恩圖)和事件A+B積事件A·B互斥事件A·B=V對(duì)立事件A+B=UA·B=VABAAABBB概率分布離散隨機(jī)變量隨機(jī)變量:是一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述

離散隨機(jī)變量:

指有限個(gè)數(shù)值或一系列無(wú)窮個(gè)數(shù)值的隨機(jī)變量例值

概率0

1/4=0.251

2/4=0.502

1/4=0.25事件:拋2個(gè)硬幣.

數(shù)是正面的個(gè)數(shù)

TTTT離散概率分布列出所有可能的[Xi,f(Xi)] Xi=隨機(jī)變量的值(結(jié)果)

P(Xi)=取這個(gè)值的概率相互排斥

(沒(méi)有重疊)窮舉性(沒(méi)有漏下)

0≤

f(Xi)≤1

S

f(Xi)=1離散隨機(jī)變量的度量數(shù)學(xué)期望（ExpectedValue）

或平均值度量隨機(jī)變量的中心位置

E(x)==xp

(x)方差（Variance）

隨機(jī)變量的取值離均值的變異程度

Var(x

)=2=(x-)2p(x)

標(biāo)準(zhǔn)差σ=∑(x-μ

)2p(x)

現(xiàn)有甲、乙兩種股票，在未來(lái)不同經(jīng)濟(jì)狀況下的可能報(bào)酬率和相應(yīng)的概率如下：經(jīng)濟(jì)狀況可能的報(bào)酬率（%）狀況發(fā)生的概率

經(jīng)濟(jì)過(guò)熱30-450.1繁榮20-150.2正常10150.3衰退0450.3蕭條-10750.1

試計(jì)算兩種股票的預(yù)期報(bào)酬率和標(biāo)準(zhǔn)差。并比較風(fēng)險(xiǎn)的大小。即乙股票的報(bào)酬率高，風(fēng)險(xiǎn)也高。重要的離散概率分布離散概率分布Binomial二項(xiàng)分布Poisson泊松分布BinomialProbabilityDistributions二項(xiàng)分布二項(xiàng)試驗(yàn)的性質(zhì)試驗(yàn)由一個(gè)包括

n

次相同的試驗(yàn)的序列組成每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果,構(gòu)成對(duì)立事件成功的概率為

p,每次試驗(yàn)都相同試驗(yàn)都是獨(dú)立的BinomialProbabilityDistributions二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布函數(shù)

其中

f(x)=n

次試驗(yàn)中成功

x

次的概率

n=試驗(yàn)次數(shù)

p=每次試驗(yàn)中成功的概率BinomialDistributionCharacteristics二項(xiàng)分布的特征n=5

p=0.1n=5

p=0.5數(shù)學(xué)期望（均值）標(biāo)準(zhǔn)方差msEXnpnpp===-()()1

0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)e.g.

m

=

5(0.1)=

0.5e.g.

s

=

5(0.5)(1-0.5)

=1.118

0PoissonDistribution泊松分布泊松試驗(yàn)的性質(zhì)：有很小的p值和很大的n值的二項(xiàng)分布

p<0.1andnp<5實(shí)驗(yàn)獨(dú)立.PoissonProbabilityDistributionFunction泊松概率分布函數(shù)泊松概率分布函數(shù)：

其中

f(x)

=在一個(gè)區(qū)間發(fā)生

x次的概率

=np=μ=σ2

e=2.71828PoissonDistributionCharacteristics泊松分布的特征l=0.5l=6數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差mlsliiNiEXXPX=====()()1

0.2.4.6012345XP(X)

0.2.4.60246810XP(X)例某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，試計(jì)算：（1）調(diào)查100株，獲得兩株或兩株以上變異植株的概率是多少？（2）期望有0.99的概率獲得一株或一株以上的變異植株，至少應(yīng)調(diào)查多少株？分別用二項(xiàng)分布和泊松分布解答。連續(xù)型隨機(jī)變量

當(dāng)實(shí)驗(yàn)資料為連續(xù)型變量，一般通過(guò)分組整理成頻率分布表?？梢愿鶕?jù)頻率分布表做成頻率分布曲線。表示這一曲線的函數(shù)f（x）則為概率密度函數(shù)。概率計(jì)算公式為

P（x1≤x≤

x2

）=TheNormalDistribution正態(tài)分布鐘形對(duì)稱

均值,中位數(shù)，眾數(shù)相等

隨機(jī)變量無(wú)限取值Xf(X)mTheMathematicalModel數(shù)學(xué)模型f(X)= 隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)p= 3.14159;e=2.71828s

= 總體標(biāo)準(zhǔn)方差X

= 隨機(jī)變量取值(-￥<X<￥)m

= 總體均值

f(X)=1e(-1/2)((X-m)/s)2ManyNormalDistributions許多正態(tài)分布變動(dòng)參數(shù)s

和m,我們得到許多不同的正態(tài)分布正態(tài)分布的特征（1）當(dāng)X=μ時(shí)，f（x）值最大，所以正態(tài)分布曲線是以平均數(shù)μ為中心的分布（2）當(dāng)x－μ的絕對(duì)值相等時(shí)，f（x）值也相等，所以正態(tài)分布是以μ為中心向左右兩側(cè)對(duì)稱的分布（3）的絕對(duì)值越大，f（x）值就越小，但f（x）永遠(yuǎn)不會(huì)等于0（4）正態(tài)分布曲線完全由參數(shù)μ和σ來(lái)決定（5）正態(tài)分布曲線在x=μ±σ處個(gè)有一個(gè)拐點(diǎn)，改變彎曲度（6）正態(tài)分布的密度曲線與x軸圍成的全部面積為1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)正態(tài)分布，時(shí)，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，分別用表示概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，即

標(biāo)準(zhǔn)化：若，則可以將其標(biāo)準(zhǔn)化。服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即例服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求概率。

TheStandardizedNormalDistribution標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 m=0ands=1Z=0.12Z.00.010.0.0000.0040.0080.0398.04380.2.0793.0832.08710.3.0179.0217.0255.0478.020.1.0478ProbabilitiesStandardizingExample標(biāo)準(zhǔn)化例Zm=0sZ

=10.12正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Xm=5s

=106.2Example:P(2.9<X<7.1)=.1664舉例計(jì)算

P(2.9<X<7.1)0s

=1-.21Z.21正態(tài)分布0.16640.58320.4168標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5s

=102.97.1X

例意趣玩具廠準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng)，為此需要對(duì)生產(chǎn)定額做出新規(guī)定。根據(jù)以往的記錄，可知各個(gè)工人每月裝配的產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布假定車間希望有10%的工人能拿到超產(chǎn)獎(jiǎng)，試問(wèn)工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能或得獎(jiǎng)金？

解：設(shè)X為工人每月裝配的產(chǎn)品數(shù)，設(shè)C是能拿到超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人完成定額。根據(jù)題意，有能拿到超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人完成定額4077件。統(tǒng)計(jì)數(shù)的分布生物統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)問(wèn)題是研究總體與樣本的關(guān)系總體隨機(jī)樣本1234例設(shè)有一N=3的近似正態(tài)總體,具有變量3,4,5,則求出總體均值μ=4,σ2=0.6667,σ=0.8165,現(xiàn)以n=2做獨(dú)立的有放回的抽樣,總共可得Nn=32=9個(gè)樣本，其抽樣結(jié)果列于下表：樣本編號(hào)樣本值s2s13,33.00.00.000023,43.50.50.707133,54.02.01.414244,33.50.50.707154,44.00.00.000064,54.50.50.707175,34.02.01.414285,44.50.50.707195,55.00.00.0000∑36.06.05.6568樣本平均數(shù)的平均數(shù)為μx=36/9=4=μ樣本方差s2的平均數(shù)μs2=6/9=0.6667=σ2樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的平均數(shù)μs=5.6568/9=0.6285≠σ在統(tǒng)計(jì)上，如果所有可能樣本的某一統(tǒng)計(jì)數(shù)的平均數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，則稱該統(tǒng)計(jì)數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)量樣本平均數(shù)的分布n=2n=4f（次數(shù)）ff2f（次數(shù)）ff2

3.0139.03.03.25143139.0042.253.52724.53.503.7510163560122.50225.004.031248.04.004.2519167668304.00289.004.52940.54.504.751044519202.5090.255.01525.05.001525.00∑936147.0∑813241309.50樣本平均數(shù)分布的基本性質(zhì)：樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)等于總體平均數(shù)樣本平均數(shù)分布的方差等于總體方差除以樣本容量如果從正態(tài)總體N（μ，σ2）進(jìn)行抽樣，其樣本平均數(shù)分布也服從正態(tài)分布，記為N（μ，σ2/n）如果被抽樣整體不是正態(tài)總體，但是具有平均數(shù)μ和方差σ2，當(dāng)樣本容量不斷增大，樣本平均數(shù)的分布也越來(lái)越接近正態(tài)分布，且有平均數(shù)μ和方差σ2。這又叫做中心極限定理。樣本平均數(shù)差數(shù)的分布分別從兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體抽樣，將來(lái)自兩個(gè)總體的樣本平均數(shù)進(jìn)行可能的比較，可得樣本平均數(shù)差數(shù)分布的基本性質(zhì)：樣本平均數(shù)差數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)的差數(shù)樣本平均數(shù)差數(shù)的方差等于兩樣本平均數(shù)方差除以各自樣本容量之和從兩個(gè)正態(tài)總體抽樣的樣本平均數(shù)差數(shù)的分布也服從正態(tài)分布，記為N（μ1－μ2，σ12/n1+σ22/n2）t分布標(biāo)準(zhǔn)離差u=（x-μ）/（s/n）服從t分布t=（x-μ）/（s/n）t分布具有以下特征：t分布曲線是左右對(duì)稱的，圍繞平均數(shù)μ=0向兩側(cè)遞降t分布受自由度df=n－1的制約，每個(gè)自由度都有一條t分布曲線當(dāng)df趨于無(wú)窮大是，與正態(tài)分布曲線重合t落于區(qū)間[-t0.05，+t