向量的數(shù)乘【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號：003課題:§向量的數(shù)乘目標(biāo)要求1、理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律和向量共線定理．2、理解并掌握向量的線性運(yùn)算．3、會用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共線的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用已知向量表示未知向量；難點(diǎn)：向量共線的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點(diǎn)1.向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義向量文字表述一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個_________,這種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘,記作______________.規(guī)定長度方向當(dāng)λ>0時,的方向與的方向_____________;當(dāng)λ<0時,的方向與的方向______________;當(dāng)λ=0時,=_______.方向λ>1把向量沿著向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿著向量的相同方向縮小-1<λ<0把向量沿著向量的相反方向縮小λ<-1把向量沿著向量的相反方向放大(2)應(yīng)用:①與向量的加減法綜合運(yùn)算;②用其幾何意義研究向量共線問題.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實數(shù),則(1);(2);(3).特別地,我們有.3.向量的線性運(yùn)算(1)定義:向量的_____________、___________、____________統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.(2)運(yùn)算結(jié)果:向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是______________.(3)運(yùn)算律:對于任意向量,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共線定理(1)條件:為非零向量;(2)如果有一個實數(shù)λ,使,那么與是共線向量;(3)如果與是共線向量,那么有且只有一個實數(shù)λ,使.【思考】(1)兩個向量共線的充要條件中的“”是否可以去掉?(2)與非零向量共線的單位向量怎樣表示?(3)如果條件是向量b是非零向量,應(yīng)如何表示呢?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.實數(shù)與向量也可以加減,如. B.若,則(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,則.題2.(多選題)下列各式計算正確的有 ()A.B.C.D.題3.把下列各小題中的向量表示為實數(shù)與向量的積:(1)可表示為________;(2)可表示為________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的線性運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.等于 ()A. B.C. D.題5.已知向量滿足,則=________,=________.(用表示)題6.如圖,已知向量與,求作向量.【解題策略】向量線性運(yùn)算的方法(1)幾何意義法依據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,直接作圖.(2)類比法向量的線性運(yùn)算類似于整式的運(yùn)算,例如:去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數(shù)看作是向量的“系數(shù)”.(3)方程法向量也可以通過列方程來求解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時在運(yùn)算過程中多注意觀察,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律,簡化運(yùn)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.已知向量,且,則________.類型二用已知向量表示未知向量(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題8.已知在?ABCD中,M,N分別是DC,BC的中點(diǎn).若，試用表示.四步內(nèi)容理解題意條件:.結(jié)論:表示思路探求由及為△MAN的中線可求解.書寫表達(dá)因為M,N分別是DC,BC的中點(diǎn),所以.因為，所以.又因為AO是△AMN的中線,所以注意書寫的規(guī)范性:①向量書寫正確;②最終結(jié)果盡量按先后的順序.題后反思用已知向量表示未知向量,是向量加減法與數(shù)乘運(yùn)算的綜合應(yīng)用【解題策略】用已知向量表示相關(guān)向量(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系,然后解關(guān)于所求向量的方程.【跟蹤訓(xùn)練】題9.如圖所示,四邊形OADB是以向量為鄰邊的平行四邊形.又，試用表示.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題10.設(shè)M,N,P是△ABC三邊上的點(diǎn),它們使，若，試用將表示出來.【拓展延伸】兩個結(jié)論1.在△ABC中,若D是線段BC的中點(diǎn),則.2.若O是△ABC重心,則.【拓展訓(xùn)練】題11.已知在△ABC中,點(diǎn)M滿足若存在實數(shù)m使得成立,則m=________.類型三向量共線的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1判斷向量共線或三點(diǎn)共線【典例】題12.已知非零向量不共線.(1)若,判斷向量是否共線;(2)若，求證:A,B,D三點(diǎn)共線.【變式探究】題13.已知非零向量不共線.若“”,判斷與是否共線?角度2運(yùn)用向量共線求參數(shù)【典例】題14.若是兩個不共線的非零向量,與起點(diǎn)相同,則當(dāng)t為何值時,三向量的終點(diǎn)在同一條直線上.【解題策略】1.判斷向量共線或三點(diǎn)共線的方法(1)判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一實數(shù)λ,使得.(2)一般來說,要判斷A,B,C三點(diǎn)共線,只需看是否存在實數(shù),使得(或等)即可.2.利用向量共線求參數(shù)的基本步驟(1)根據(jù)向量共線的充要條件建立共線向量之間的等量關(guān)系(通常要引入一個參數(shù)).(2)依據(jù)下述結(jié)論列方程組求參數(shù).結(jié)論:如果,且與不共線,則實數(shù)λ和μ都是0.理由:若λ,μ是兩個不同時為零的實數(shù).不妨設(shè)λ≠0,則.由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.所以實數(shù)λ和μ都是0.【題組訓(xùn)練】題15.設(shè)是兩個不共線的向量,若向量,與向量共線,則λ的值為 () D.題16.設(shè)是兩個不共線向量,.(1)證明:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)若,且B,D,F三點(diǎn)共線,求k的值.【拓展延伸】關(guān)于A,B,C三點(diǎn)共線條件的變形式題17.平面上三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是:存在實數(shù),使得,其中,O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).【拓展訓(xùn)練】題18.已知A,B,P三點(diǎn)共線,O為直線外任意一點(diǎn),若,求x+y的值.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題19.已知,則()A. B. C. D.題20.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD邊的中點(diǎn),且,則()A. B.C. D.題21.已知,則________,________,________.題22.下面向量共線的序號是__________.(其中不共線);;;.題23.已知點(diǎn)C在線段AB的延長線上,且(1)用表示;(2)用表示.編號：003課題:§向量的數(shù)乘目標(biāo)要求1、理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律和向量共線定理．2、理解并掌握向量的線性運(yùn)算．3、會用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共線的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用已知向量表示未知向量；難點(diǎn)：向量共線的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點(diǎn)1.向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義向量文字表述一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個__向量___,這種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘,記作____.規(guī)定長度方向當(dāng)λ>0時,的方向與的方向__相同___;當(dāng)λ<0時,的方向與的方向__相反___;當(dāng)λ=0時,=__.方向λ>1把向量沿著向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿著向量的相同方向縮小-1<λ<0把向量沿著向量的相反方向縮小λ<-1把向量沿著向量的相反方向放大(2)應(yīng)用:①與向量的加減法綜合運(yùn)算;②用其幾何意義研究向量共線問題.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實數(shù),則(1);(2);(3).特別地,我們有.3.向量的線性運(yùn)算(1)定義:向量的__加法___、__減法___、__數(shù)乘___統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.(2)運(yùn)算結(jié)果:向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是__向量___.(3)運(yùn)算律:對于任意向量,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共線定理(1)條件:為非零向量;(2)如果有一個實數(shù)λ,使,那么與是共線向量;(3)如果與是共線向量,那么有且只有一個實數(shù)λ,使.【思考】(1)兩個向量共線的充要條件中的“”是否可以去掉?提示:不能,定理中之所以限定是由于若,λ存在,但不唯一,若,則λ不存在.(2)與非零向量共線的單位向量怎樣表示?提示:由于單位向量的長度總等于1,所以與非零向量共線的單位向量應(yīng)為.(3)如果條件是向量b是非零向量,應(yīng)如何表示呢?提示:只需將改為.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯誤的是()A.實數(shù)與向量也可以加減,如. B.若,則(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,則.【答案】選ACD提示:A×.實數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算,是沒有意義的.B×.的一種情況是,另一種情況是λ=0.實際上,的充要條件是λ=0或.C√.由向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義可知.D×.當(dāng)m=0時,與不一定是相等向量.題2.(多選題)下列各式計算正確的有 ()A.B.C.D.【解析】選ACD.進(jìn)行線性運(yùn)算,分別進(jìn)行驗算..題3.把下列各小題中的向量表示為實數(shù)與向量的積:(1)可表示為________;(2)可表示為________.【解析】(1)因為,所以,所以可表示為;(2)因為,所以，所以可表示為.答案:(1)(2)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的線性運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.等于 ()A. B.C. D.【解析】選B.原式=.題5.已知向量滿足,則=________,=________.(用表示)【解析】由已知得×3+②×2得,×4+②×3,得.所以,.答案:題6.如圖,已知向量與,求作向量.【解析】作向量,則即為所求向量,如圖:【解題策略】向量線性運(yùn)算的方法(1)幾何意義法依據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,直接作圖.(2)類比法向量的線性運(yùn)算類似于整式的運(yùn)算,例如:去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”是指向量,實數(shù)看作是向量的“系數(shù)”.(3)方程法向量也可以通過列方程來求解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時在運(yùn)算過程中多注意觀察,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律,簡化運(yùn)算.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.已知向量,且,則________.【解析】因為,所以,即.答案:類型二用已知向量表示未知向量(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題8.已知在?ABCD中,M,N分別是DC,BC的中點(diǎn).若，試用表示.四步內(nèi)容理解題意條件:.結(jié)論:表示思路探求由及為△MAN的中線可求解.書寫表達(dá)因為M,N分別是DC,BC的中點(diǎn),所以.因為，所以.又因為AO是△AMN的中線,所以注意書寫的規(guī)范性:①向量書寫正確;②最終結(jié)果盡量按先后的順序.題后反思用已知向量表示未知向量,是向量加減法與數(shù)乘運(yùn)算的綜合應(yīng)用【解題策略】用已知向量表示相關(guān)向量(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系,然后解關(guān)于所求向量的方程.【跟蹤訓(xùn)練】題9.已知四邊形OADB是以向量為鄰邊的平行四邊形.又，試用表示.【解析】，所以.因為，所以.所以.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題10.設(shè)M,N,P是△ABC三邊上的點(diǎn),它們使，若，試用將表示出來.【解析】因為，所以由此可得,因為，所以，同理可得.【拓展延伸】兩個結(jié)論1.在△ABC中,若D是線段BC的中點(diǎn),則.2.若O是△ABC重心,則.【拓展訓(xùn)練】題11.已知在△ABC中,點(diǎn)M滿足若存在實數(shù)m使得成立,則m=________.【解析】因為，所以點(diǎn)M是△ABC的重心,所以所以m=3.答案:3類型三向量共線的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1判斷向量共線或三點(diǎn)共線【典例】題12.已知非零向量不共線.(1)若,判斷向量是否共線;(2)若，求證:A,B,D三點(diǎn)共線.【思路導(dǎo)引】(1)利用向量共線定理判定向量共線;(2)先判斷與共線,進(jìn)而證明A,B,D三點(diǎn)共線.【解析】(1)因為,所以向量共線.(2)因為,所以與共線,且有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.【變式探究】題13.已知非零向量不共線.若“”,判斷與是否共線?【解析】若與共線,則存在,使,即,所以.因為與不共線,所以，所以λ不存在,所以與不共線.角度2運(yùn)用向量共線求參數(shù)【典例】題14.若是兩個不共線的非零向量,與起點(diǎn)相同,則當(dāng)t為何值時,三向量的終點(diǎn)在同一條直線上.【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知的三個向量的終點(diǎn)在同一條直線上建立的關(guān)系,然后根據(jù)不共線列方程求t.【解析】設(shè)，所以.要使A,B,C三點(diǎn)共線,只需，所以.即.由不共線,必有.否則,不妨設(shè)，則由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.由，解得所以當(dāng)時,三向量終點(diǎn)在同一條直線上.【解題策略】1.判斷向量共線或三點(diǎn)共線的方法(1)判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一實數(shù)λ,使得.(2)一般來說,要判斷A,B,C三點(diǎn)共線,只需看是否存在實數(shù),使得(或等)即可.2.利用向量共線求參數(shù)的基本步驟(1)根據(jù)向量共線的充要條件建立共線向量之間的等量關(guān)系(通常要引入一個參數(shù)).(2)依據(jù)下述結(jié)論列方程組求參數(shù).結(jié)論:如果,且與不共線,則實數(shù)λ和μ都是0.理由:若λ,μ是兩個不同時為零的實數(shù).不妨設(shè)λ≠0,則.由兩個向量共線的充要條件知,與共線,與已知矛盾.所以實數(shù)λ和μ都是0.【題組訓(xùn)練】題15.設(shè)是兩個不共線的向量,若向量,與向量共線,則λ的值為 () D.【解析】選D.因為向量與共線,所以存在唯一實數(shù)u,使成立.即,所以,又因為與不共線.所以解得.題16.設(shè)是兩個不共線向量,.(1)證明:A,B,D三