向量平行的坐標(biāo)表示【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號(hào)：008課題:§向量平行的坐標(biāo)表示目標(biāo)要求1、理解并掌握向量平行的坐標(biāo)表示及相關(guān)結(jié)論．2、理解并掌握向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用．3、理解并掌握向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．4、理解并掌握向量平行與垂直綜合問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用；難點(diǎn)：向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)向量平行的坐標(biāo)表示(1)坐標(biāo)表示條件,其中結(jié)論向量()平行的充要條件是_______(2)本質(zhì):平面向量平行的坐標(biāo)表示反映的是平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系,定量描述了共線向量之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線;②已知兩個(gè)向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo).【思考】若,且,則向量共線時(shí),它們的坐標(biāo)之間的關(guān)系如何用比例形式表示?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.已知向量,則.B.已知,其中,且,則.C.已知A(-6,10),B(0,2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,6).D.若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cosθ>0,則兩向量的夾角θ一定是銳角.題2.已知向量,且,則x= () 題3.已知A(1,2),B(4,5),若,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題4.下列四組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.題5.已知平面向量,若,則tanθ= ()A.B.C.D.題6.已知向量,若，則λ=________.【解題策略】1.向量共線的判定方法2.利用向量共線求參數(shù)值的方法【跟蹤訓(xùn)練】題7.已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量共線的單位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.類型二向量平行在平面幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1三點(diǎn)共線問題【典例】題8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),.(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系.(2)若,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【變式探究】題9.已知向量,求當(dāng)k為何值時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.角度2求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例】題10.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解題策略】應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟【題組訓(xùn)練】題11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三點(diǎn)在一條直線上,則C點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)題12.設(shè).(1)當(dāng)m=8時(shí),將用和表示;(2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【拓展延伸】題13.如圖所示,若點(diǎn)P是線段上不同于的點(diǎn),且滿足,即，證明點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【拓展訓(xùn)練】題14.已知A(2,1),B(3,-1),點(diǎn)P(x,y)在直線AB上,且滿足4x-y-5=0,求P點(diǎn)分的比λ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題15.如圖所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題16.下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.題17.已知向量,且,則m等于 ()或3或-2題18.已知點(diǎn)A(-1,-5)和向量,若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.題19.向量與共線且方向相同,則n=________.題21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且與共線,求非零實(shí)數(shù)m的值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題22.已知,當(dāng)k為何值時(shí),與平行?平行時(shí)它們是同向還是反向?編號(hào)：008課題:§向量平行的坐標(biāo)表示目標(biāo)要求1、理解并掌握向量平行的坐標(biāo)表示及相關(guān)結(jié)論．2、理解并掌握向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用．3、理解并掌握向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．4、理解并掌握向量平行與垂直綜合問題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用；難點(diǎn)：向量平行在平面幾何中的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)向量平行的坐標(biāo)表示(1)坐標(biāo)表示條件,其中結(jié)論向量()平行的充要條件是___0____(2)本質(zhì):平面向量平行的坐標(biāo)表示反映的是平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系,定量描述了共線向量之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線;②已知兩個(gè)向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo).【思考】若,且,則向量共線時(shí),它們的坐標(biāo)之間的關(guān)系如何用比例形式表示?提示:可以表示為【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.已知向量,則.B.已知,其中,且,則.C.已知A(-6,10),B(0,2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,6).D.若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cosθ>0,則兩向量的夾角θ一定是銳角.【答案】選AC提示:A√.因?yàn)閎=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.B×.平面向量共線的坐標(biāo)表示的特點(diǎn)是兩個(gè)向量的坐標(biāo)“縱橫交錯(cuò)積相減”.C√.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即(-3,6).D×.當(dāng)兩個(gè)向量方向相同時(shí),它們的夾角θ=0°滿足cosθ=1>0.題2.已知向量,且,則x= () 【解析】選B.因?yàn)?所以4×3-2x=0,解得x=6.題3.已知A(1,2),B(4,5),若,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.【解析】設(shè)P(x,y),則,又，所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4).答案:(3,4)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題4.下列四組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【思路導(dǎo)引】可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的兩個(gè)向量必是不共線的,由此關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷,得出正確選項(xiàng).【解析】選B.對(duì)于A,因?yàn)?×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對(duì)于B,因?yàn)?×3-4×4=-7≠0,所以可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對(duì)于C,因?yàn)?×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;對(duì)于D,因?yàn)?×10-5×6=0,所以不可以作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.題5.已知平面向量,若,則tanθ= ()A.B.C.D.【思路導(dǎo)引】利用向量共線的充要條件列出等量關(guān)系,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求值.

【解析】選A.因?yàn)槠矫嫦蛄?，所以

2021sinθ-2020cosθ=0,所以，所以.

題6.已知向量,若，則λ=________.【思路導(dǎo)引】利用向量共線的充要條件列出關(guān)于λ的方程,求λ.

【解析】,因?yàn)?，所?λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±.答案:【解題策略】1.向量共線的判定方法2.利用向量共線求參數(shù)值的方法【跟蹤訓(xùn)練】題7.已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量共線的單位向量是 ()A.(3,-4) B.C.(-6,8) D.【解析】選B.因?yàn)?7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共線的條件可知,A,B,C選項(xiàng)中的向量均與共線,但A,C中向量不是單位向量,所以B選項(xiàng)正確.類型二向量平行在平面幾何中的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1三點(diǎn)共線問題【典例】題8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),.(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系.(2)若,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】(1)由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì),兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,求得a,b的關(guān)系.(2)由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)橐阎?若A,B,C三點(diǎn)共線,則,即,即(a-1,b-1)=λ(2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若,所以a=5,b=-3,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-3).【變式探究】題9.已知向量,求當(dāng)k為何值時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.【解析】方法一:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,即與共線,所以存在實(shí)數(shù)λ(λ∈),使得.因?yàn)?所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即解得k=-2或k=11.所以當(dāng)k=-2或k=11時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.方法二:由已知得與共線,因?yàn)?所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以當(dāng)k=-2或k=11時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.角度2求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例】題10.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),，AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】利用和列方程組求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?設(shè)M(x,y),則,因?yàn)?，所?即7x+4y=20①.又，因?yàn)椋?，?x-16y=-20②,聯(lián)立①②解得x=,y=2,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.【解題策略】應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟【題組訓(xùn)練】題11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三點(diǎn)在一條直線上,則C點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是()A.(-9,6) B.(-1,-2)C.(-7,-2) D.(6,-9)【解析】選C.設(shè)C(x,y),則.因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)在同一條直線上,所以，即x+y+3=0,將四個(gè)選項(xiàng)分別代入x+y+3=0驗(yàn)證可知,不可能的是C.題12.設(shè).(1)當(dāng)m=8時(shí),將用和表示;(2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件.【解析】(1)當(dāng)m=8時(shí),,設(shè),則x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以所以所以.(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,所以不共線,又,所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.【拓展延伸】題13.如圖所示,若點(diǎn)P是線段上不同于的點(diǎn),且滿足,即，證明點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【證明】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由,得，即又λ∈(0,+∞),所以.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.特別地,當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為，這就是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.【拓展訓(xùn)練】題14.已知A(2,1),B(3,-1),點(diǎn)P(x,y)在直線AB上,且滿足4x-y-5=0,求P點(diǎn)分的比λ.【解析】由及定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得:，又因?yàn)镻點(diǎn)滿足4x-y-5=0,所以，所以.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題15.如圖所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】方法一:設(shè),則,.由共線知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得.所以(4t,4t)=(3,3).所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3).方法二:設(shè)P(x,y),則.因?yàn)楣簿€,所以4x-4y=0.①又,且向量共線,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②組成的方程組,得x=3,y=3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題16.下列各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.B.C.D.【解析】選中,與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;C中與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底;D中與共線,不能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底.題17.已知向量,且,則m等于 ()或3或-2【解析】選C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.題18.已知點(diǎn)A(-1,-5)和向量,若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)?故,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,4).答案:(5,4)題19.向量與共線且方向相同,則n=________.【解析】因?yàn)?所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又與方向相同,所以n=2.答案:2題20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且與共線