平面向量的運算【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學必修同步講義Word

第六章平面向量及其應用第六章平面向量及其應用§平面向量的運算知識索引知識索引索引1：向量的加減運算索引1：向量的加減運算定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法索引2：向量加法的運算法則索引2：向量加法的運算法則1、三角形法則：已知非零向量，在平面內任取一點A，做=，=，則向量叫做與的和，記作，即,這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則注意事項：注意事項：三角形法則的使用條件：一個向量的終點為另一個向量的起點

注意事項：平行四邊形法則的適用條件：兩個向量起點相同2、平行四邊形法則：例如以同一O為起點的兩個已知向量，，以，為鄰邊做OACB，則以O為起點的向量，（OC是OACB的對角線）就是向量與的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則

規(guī)定：對于零向量與任意向量，我們規(guī)定+=+=

注意事項：平行四邊形法則的適用條件：兩個向量起點相同索引3：向量加法的運算律交換律：a+b=b+a結合律：（a+b）+c=a+(b+c)索引3：向量減法運算索引3：向量減法運算1.相反向量：我們規(guī)定，與向量,長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作﹣由于方向反轉兩次仍回到原來的方向，因此和﹣互為相反量，于是-（-）=.2.減法的幾何意義：已知向量，，在平面內任取一點O，作，，則，即可以表示為從的終點指向向量的終點的向量小結：加法：首尾連（AB+BC+CD=AD,起點到終點）減法：共起點（AB-AC==CB,連接終點，后者居前）化減為加：AB-AC=AB+CA=CB)湊零向量法（相反向量和為0）索引4：向量的數(shù)乘運算1.根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，可以驗證下面的運算律時成立的.設，為實數(shù)，那么

2.向量數(shù)乘的運算律設A,B是實數(shù)，a,b是向量，則（1）結合律：A（Ba）=(AB)a（2）第一分配率：(AB)a=Aa+Ba（3）第二分配率：A(a+b)=Aa+Ab索引5：向量的數(shù)量積1.概念：已知兩個非零向量與，他們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積，記作

即；=

規(guī)定；零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.向量數(shù)量積的運算律對于向量a,b,c和實數(shù)A，(1)交換律:a*b=b*a(2)數(shù)乘結合律(Aa)*b=a*(Ab)（3）分配律（a＋b)*c＝a*c＋b*c精例探究精例探究精例1精例1.已知等邊三角形ABC的邊長為6，點P滿足PA+2PB-A.

32

B.

23

C.

33【答案】C【考點】向量的共線定理【解析】【解答】依題意PA+2PB-設D是AC中點，連接BD，由于三角形ABC是等邊三角形，所以BD⊥AD，∠ABD=∠CBD=30°，由于CA=2BP，所以所以四邊形BDAP是矩形，所以∠ABP=90°-30°=60°，Rt△BCP中，AP=AB?sin即|PA故答案為：C

【分析】依題意知PA+2PB-PC=0，再利用三角形法則結合共線定理，得出PA-PC=-2PB,CA=-2PB,CA=2BP，設所以四邊形BDAP是矩形，精例2下列四個結論，正確的個數(shù)是（

）①在△ABC中，若A>B>C，則sinA>sinB>sinC；②若a//b，則存在唯一實數(shù)λ使得a=λb；③若a//b，bA.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】B【考點】向量的共線定理，正弦定理，三角形的形狀判斷【解析】【解答】①在△ABC中，若A>B>C，則a>b>c，由正弦定理可得：sinA>②若a//b且b≠0，則存在唯一實數(shù)λ使得③當b=0時，滿足a//b，b//④在△ABC中，AB|AB|為AB方向的單位向量，AC設△ABC中，∠A的角平分線交BC于點D.所以AB|AB|+AC|所以AD⊥BC，所以AB=AC又AB|AB|?所以A=π3，所以故答案為：B

【分析】由角的大小即可得出邊的大小再由正弦定理即可判斷出①正確，由向量共線的性質即可得出a=λb由此即可判斷出②錯誤，由特殊情況b=0即可得出結論不成立由此判斷出③錯誤，在三角形ABC中，由AB|AB|+AC|AC|即可得出在精例3下列說法中正確的是（

）A.

若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B.

模相等的兩個平行向量是相等向量C.

若a和b都是單位向量，則a=D.

零向量與其它向量都共線【答案】D【考點】零向量，單位向量，相等向量與相反向量【解析】【解答】對于A選項，因為向量是可以移動的，兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定重合，A選項錯誤；對于B選項，模相等的兩個平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B選項錯誤；對于C選項，a和b都是單位向量，但它們的方向不一定相同，故a和b不一定相等，C選項錯誤；對于D選項，零向量的方向是任意的，零向量與其它向量都共線，D選項正確.故答案為：D.

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可．課堂反饋課堂反饋練習1對于任意兩個向量a和b，下列命題正確的是（

）A.

若a，b滿足|a|>|b|，且a與b同向，則aC.

|a?b|≥|練習2.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1

-1

B.

12C.

-1D.

1練習3在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是線段CD上一點，滿足|CE（1）用a,b表示（2）在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE?？若存在，判定F練習4.已知向量a與b的夾角為θ=3π4，且|（1）若ka+2b（2）求a?b，（3）

|a+b|=a參考答案參考答案練習1【答案】B【考點】向量的模，向量的共線定理，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】A.向量不能比較大小，所以A不正確；B.根據(jù)向量減法運算公式可知，當向量a與b不共線時，兩邊之和大于第三邊，即|a-b|≤|aC.|aD.當向量a與b不共線時，根據(jù)向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即|a故答案為：B【分析】根據(jù)向量共線，數(shù)量積，向量的模的性質，逐一判斷即可。練習2【答案】B【考點】向量加減混合運算及其幾何意義【解析】依題意可知M是平行四邊形A1AM=A故答案為：B

【分析】根據(jù)題意由四邊形的性質以及向量加減法的運算性質整理即可得到結論。練習3【答案】（1）解：根據(jù)題意得:BC=CE=∴BE

（2）解：結論:在線段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一點F滿足理由如下:設BF=tBC=tb，則∴AF在邊長為1的菱形ABCD中，∠A=60°∴|a|=|b∵AF⊥BE，∴AF=(1-2=(1-2=0，解得t=14，從而∴|AF【考點】向量加減混合運算及其幾何意義，平面向量數(shù)量積的運算【解析】（1）根據(jù)向量加、減法運算法則計算即可；

（2）設

BF=tBC=tb

，則

FC=(1-t)b

，

(0≤t≤1