平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義Word

第六章平面向量及其應(yīng)用第六章平面向量及其應(yīng)用§平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)索引知識(shí)索引索引1：平面向量基本定理索引1：平面向量基本定理定義：平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，=.

若，不共線，我們把（，）叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的出一個(gè)基底.注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：對(duì)平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,都以作為基底，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的，(2)基底給定時(shí),分解形式唯一.是被a,e1，e2唯一確定的數(shù)值.(3){,e1，e2|是同一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則當(dāng)a與e1共線時(shí),λ2=0;當(dāng)a與e2,共線時(shí),入2;=0;當(dāng)a=0時(shí),λ1=λ2=0.(4)由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量索引2：平面向量的正交分----------------把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解索引3：平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.

如圖，作向量,,則

=-

=

=.因此，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)理解向量的坐標(biāo)理解向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān).因此相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)不一定相同索引4：坐標(biāo)表示的方式歸納索引4：坐標(biāo)表示的方式歸納1.平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示已知，即

這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

（2）若=,則=+，或=.

如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，那么

3.平面向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)=，=，則精例探究精例探究精例1精例1已知a，b是不共線的向量，OA=λa+μb,OB=3

λ=μ-1

B.

λ=μ+5

C.

λ=5-μ

D.

λ=μ+1【答案】C【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義，三點(diǎn)共線【解析】由A,B,C點(diǎn)共線，得OA=t而OA=λa+μ即{λ=t+2μ=3-t，故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合三點(diǎn)共線的判斷方法，再結(jié)合平面向量基本定理，進(jìn)而利用兩向量相等得出{λ=t+2μ=3-t，再解方程組推出實(shí)數(shù)精例2.若平面向量a與b滿足：|a|=2,|b|=1,|aA.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

120°【答案】C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【解析】|a=1+4+4cosθ=7故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式，再結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而求出兩向量a與b的夾角。精例3已知雙曲線T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A.

2

B.

3

C.

5

D.

3【答案】C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】如圖，設(shè)|F1A|=t，由AB由雙曲線定義知|BF2|=3t-2a由BF在Rt△ABF2中，|AB|則在Rt△BFlF2∴5a2故答案為：C【分析】根據(jù)題意作出圖象設(shè)出|F1A|=t結(jié)合已知條件整理得到|AB|=2t，由此得到課堂反饋課堂反饋練習(xí)1.已知向量a=(1,3),b=(m,4)A.

-2

B.

2

C.

4

D.

-2或4練習(xí)2向量a=(2,1)，b=(-3,4)，c=(3m-1,1-2m)，若(A.

1

B.

54

C.

7練習(xí)3.已知非零向量a,b,c共面，那么“存在實(shí)數(shù)λ，使得A.

充分而不必要條件

B.

必要而不充分條件

C.

充分必要條件

D.

既不充分也不必要條件練習(xí)4.如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120（Ⅰ）求AB→（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)，且AP→=xAB→+y練習(xí)5.已知向量a=(3,1)，|b|=5（1）求向量a與b夾角的正切值；（2）若(λa-b參考答案參考答案練習(xí)1【答案】D【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】由題意，向量a=(1,3),b=(m,4)又由b⊥(2a-b)，可得m(2-m)+8=0故答案為：D．

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出m的值。練習(xí)2【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】由已知可得c+2∵(c+2b)⊥a故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，求出c→+2b練習(xí)3【答案】C【考點(diǎn)】相等向量與相反向量，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【解答】假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λ所以(aa(所以(a若(a則|(a即|a所以|cos因?yàn)?a所以?a,b所以a,所以存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λ故答案為：C

【分析】利用數(shù)量積為數(shù)，以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合充分必要條件的定義，從而求出答案．練習(xí)4【答案】解：（Ⅰ）AB→=AB（Ⅱ）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則?B(1,0)，C(-設(shè)P(cosθ,sin由AP→得(cos所以cosθ=x-所以x=cosθ+3xy=?=2=2因?yàn)棣取蔥0?,?所以，當(dāng)2θ-π6=π2，即θ=【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【分析】（I）建立坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式計(jì)算．

（II）根據(jù)模長(zhǎng)列出方程，利用基本不等式解出最大值．練習(xí)5【答案】（1）解：因?yàn)閍=(3,1)，所以|設(shè)向量a與b的夾角θ