春人教版八下數(shù)學二次根式全章教案

第十六章二次根式16．1二次根式第1課時二次根式的概念教學目標1．理解二次根式的概念．2．理解并掌握二次根式有意義的條件．預習反饋閱讀教材P2～3，完成下列的問題．知識探究平方根的性質(zhì)：正數(shù)有2個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．思考：用帶有根號的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點：(1)面積為S的正方形的邊長為____________；(2)要修建一個面積為m2的圓形噴水池，它的半徑約為____________m；(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下時離地面的高度h(單位：m)滿足關(guān)系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t＝____________．在上面的問題中，結(jié)果分別是eq\r(S)，eq\r(2)，eq\r(\f(h,5))，它們都表示一些正數(shù)的算術(shù)平方根．一般地，我們把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”稱為二次根號．【點撥】開平方時，被開方數(shù)a的取值范圍是a≥0．(為什么？)自學反饋1．下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？eq\r(2)，eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(x)(x>0)，eq\r(0)，eq\r(4,2)，－eq\r(2)，eq\f(1,x＋y)，eq\r(x＋y)(x≥0，y≥0)．是二次根式的有：eq\r(2)，eq\r(x)(x>0)，eq\r(0)，－eq\r(2)，eq\r(x＋y)(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(4,2)，eq\f(1,x＋y)．【點撥】判斷二次根式的依據(jù)是一個形式一個條件(被開方數(shù)為非負數(shù))，二者缺一不可．2．當a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？eq\r(a－1)a≥1eq\r(2a＋3)a≥－eq\f(3,2)eq\r(3－a)a≤3eq\r(5a)a≥0eq\r(－a)a≤0eq\r(a2)任意實數(shù)eq\r(\f(－1,3－a))a>3eq\r(（a－1）2)任意實數(shù)eq\r(a2＋1)任意實數(shù)【點撥】二次根式中求字母的取值范圍的依據(jù)是：被開方數(shù)大于等于零．名校講壇例(1)(教材P2例1)當x是怎樣的實數(shù)時，eq\r(x－2)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？(2)當x是怎樣的實數(shù)時，eq\r(2x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？【解答】(1)x≥2.(2)x≥－eq\f(3,2)且x≠－1.【點撥】有二次根式的要考慮二次根式的被開方數(shù)大于等于零，有分母的要考慮分母不為零．【跟蹤訓練】(《名校課堂》第1課時習題)若eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)＋1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿足的條件是(C)A．x≥eq\f(1,2) B．x≤eq\f(1,2) C．x＝eq\f(1,2) D．x≠eq\f(1,2)【點撥】當被開方數(shù)互為相反數(shù)時被開方數(shù)只能為零．鞏固訓練1．下列式子中，不屬于二次根式的是(C)\r(5) \r(a2) \r(－7) \r(\f(1,2))2．已知eq\r(a)是二次根式，則a的值可以是(C)A．－2 B．－1 C．2 D．－73．已知一個正方形的面積是6，那么它的邊長為eq\r(6)．4．使式子eq\f(1,\r(x－2))有意義的x的取值范圍是x＞2．5．當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)eq\r(1－x)；(2)eq\r(2x－3)；(3)eq\r(1＋x2)；(4)eq\r(1－x2).解：(1)x≤1.(2)x≥eq\f(3,2).(3)任意實數(shù)．(4)－1≤x≤1.6．已知x，y都是實數(shù)，且y＝eq\r(x－2)＋eq\r(2－x)＋3，求xy的值．解：根據(jù)二次根式的定義：x－2≥0，2－x≥0，所以x＝2，y＝3.則xy＝23＝8.小結(jié)1．二次根式的概念．2．二次根式的判斷方法．3．怎樣求二次根式的被開方數(shù)中字母的取值范圍？第2課時二次根式的性質(zhì)教學目標1．理解eq\r(a)(a≥0)是一個非負數(shù)．2．理解二次根式的兩個性質(zhì)(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)．3．會運用二次根式的性質(zhì)進行有關(guān)計算和化簡．預習反饋閱讀教材P3～4，完成下列的問題．知識探究1．當a>0時，eq\r(a)表示a的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)>0；當a＝0時，eq\r(a)表示0的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)＝0.概括：一般地，eq\r(a)(a≥0)是一個非負數(shù)．2．根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：(1)(eq\r(4))2＝4；(eq\r(2))2＝2；(eq\r(\f(1,3)))2＝eq\f(1,3)；(eq\r(0))2＝0．概括：一般地，(eq\r(a))2＝a(a≥0)．(2)eq\r(22)＝2；eq\r＝；eq\r(（\f(2,3)）2)＝eq\f(2,3)；eq\r(02)＝0．概括：一般地，eq\r(a2)＝a(a≥0)．【點撥】二次根式的三個性質(zhì)：(1)eq\r(a)(a≥0)是一個非負數(shù)；(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(3)eq\r(a2)＝a(a≥0)．自學反饋1．計算：(1)(eq\r(\f(3,2)))2；(2)(3eq\r(5))2；(3)(eq\r(\f(5,6)))2；(4)(eq\f(\r(7),2))2.解：(1)eq\f(3,2).(2)45.(3)eq\f(5,6).(4)eq\f(7,4).2．化簡：(1)eq\r(9)；(2)eq\r(（－4）2)；(3)eq\r(25)；(4)eq\r(（－3）2).解：(1)3.(2)4.(3)5.(4)3.3．代數(shù)式的概念：用基本運算符號(基本運算符號包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式．名校講壇例1(教材P3例2)計算：(1)(eq\r)2；(2)(2eq\r(5))2.【解答】(1).(2)20.例2(教材P4例3)化簡：(1)eq\r(16)；(2)eq\r(（－5）2).【解答】(1)4.(2)5.【點撥】一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身．一個負數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個負數(shù)的相反數(shù)．【跟蹤訓練】說出下列各式的值：(1)(eq\r(5))2；(2)eq\r(（－\f(1,7)）2)；(3)－eq\r(（－π）2)；(4)(－eq\r)2.解：(1)5.(2)eq\f(1,7).(3)－π.(4).例3(《名校課堂》第2課時習題)下列式子不是代數(shù)式的是(C)A．3x \f(3,x) C．x＞3 D．x－3鞏固訓練1．下列式子中，計算正確的是(C)\r(－5)＝－eq\r(5) B．－eq\r＝－\r(（－13）2)＝13 D．(－eq\r(6))2＝362．已知eq\r(8n)是整數(shù)，正整數(shù)n的最小值是(B) A．4 B．2 C．3 D．03．若實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡：eq\r(a2)－|b－c|＝－a＋b－c．4．若eq\r(（x－3）2)＝3－x，則x的取值范圍是x≤3．5．已知一個圓柱體的體積為V，高為h，求它的底面半徑r(用含有V和h的代數(shù)式表示)；求當V＝80π，h＝5時，底面半徑r的值．解：圓柱體的體積V＝πr2h，所以r＝eq\r(\f(V,πh)).把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.課堂小結(jié)二次根式的性質(zhì)：eq\r(a)(a≥0)是一個非負數(shù)；(eq\r(a))2＝a(a≥0)；eq\r(a2)＝a(a≥0)．16．2二次根式的乘除第1課時二次根式的乘法教學目標1．理解eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)并運用它進行計算．2．利用逆向思維，得出eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)并運用它進行解題和化簡．預習反饋閱讀教材P6～7，并完成預習內(nèi)容．知識探究1．請同學們完成填空：(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝6，eq\r(4×9)＝6；(2)eq\r(16)×eq\r(25)＝20，eq\r(16×25)＝20；(3)eq\r(100)×eq\r(36)＝60，eq\r(100×36)＝60．參考上面的結(jié)果，用“>”“<”或“＝”填空．eq\r(4)×eq\r(9)＝eq\r(4×9)，eq\r(16)×eq\r(25)＝eq\r(16×25)，eq\r(100)×eq\r(36)＝eq\r(100×36).歸納：一般地，二次根式的乘法法則是eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，反過來：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．2．計算：(1)eq\r(5)×eq\r(7)；(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(9)；(3)eq\r(9)×eq\r(27).解：(1)eq\r(35).(2)eq\r(3).(3)9eq\r(3).3．化簡：(1)eq\r(9×16)；(2)eq\r(18)；(3)eq\r(9x2y2)；(4)eq\r(54).解：(1)12.(2)3eq\r(2).(3)3|xy|.(4)3eq\r(6).名校講壇例1(教材P6例1)計算：(1)eq\r(3)×eq\r(5)；(2)eq\r(\f(1,3))×eq\r(27).【解答】(1)eq\r(15).(2)3.【點撥】這里要用到公式：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．例2(教材P7例2)化簡：(1)eq\r(16×81)；(2)eq\r(4a2b3).【解答】(1)36.(2)2|ab|eq\r(b).【點撥】(1)這里要用到逆公式：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；(2)開方后可以移到根號外的因數(shù)或因式叫開得盡方的因數(shù)或因式．例3(教材P7例3)計算：(1)eq\r(14)×eq\r(7)；(2)3eq\r(5)×2eq\r(10)；(3)eq\r(3x)·eq\r(\f(1,3)xy).【解答】(1)7eq\r(2).(2)30eq\r(2).(3)xeq\r(y).【點撥】計算二次根式的乘法時要遵循先用二次根式的乘法法則重新組合，能約分的先約分，不能約分的先化簡，再用eq\r(a2)＝|a|化簡，注意帶分數(shù)的整數(shù)部分和分數(shù)部分是相加的關(guān)系，而不是相乘的關(guān)系．【跟蹤訓練1】(《名校課堂》第1課時習題)下列二次根式中，與eq\r(2)的積為無理數(shù)的是(B)\r(\f(1,2)) \r(12) \r(18) \r(32)【跟蹤訓練2】(《名校課堂》第1課時習題)化簡eq\r(（－2）2×8×3)的結(jié)果是(D)A．2eq\r(24) B．－2eq\r(24) C．－4eq\r(6) D．4eq\r(6)鞏固訓練1．下列各等式成立的是(D)A．4eq\r(5)×2eq\r(5)＝8eq\r(5) B．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(5)C．4eq\r(3)×3eq\r(2)＝7eq\r(5) D．5eq\r(3)×4eq\r(2)＝20eq\r(6)2．計算：(1)eq\r(2)×eq\r(5)；(2)eq\r(3)×eq\r(12)；(3)2eq\r(xy)·eq\r(\f(1,x)).解：(1)eq\r(10).(2)6.(3)2eq\r(y).3．化簡：(1)eq\r(49×121)；(2)eq\r(225)；(3)eq\r(4y)；(4)eq\r(16ab2c3).解：(1)77.(2)15.(3)2eq\r(y).(4)4|bc|eq\r(ac).4．一個長方形的長和寬分別是eq\r(10)cm和2eq\r(2)cm，則這個長方形的面積為4eq\r(5)cm2.課堂小結(jié)掌握二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．第2課時二次根式的除法教學目標1．理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)和eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并能利用它們進行計算和化簡．2．利用具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法法則，并用逆向思維寫出逆向等式，能利用它們進行計算和化簡．預習反饋閱讀教材P8～10，并完成預習內(nèi)容．知識探究1．請同學們完成填空：eq\f(\r(9),\r(16))＝eq\r(\f(9,16))；eq\f(\r(16),\r(36))＝eq\r(\f(16,36))；eq\f(\r(4),\r(16))＝eq\r(\f(4,16))；eq\f(\r(36),\r(81))＝eq\r(\f(36,81)).2．二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，被開方數(shù)相除．即eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)．3．計算：(1)eq\f(\r(12),\r(3))；(2)eq\r(\f(1,4))÷eq\r(\f(1,16)).解：(1)2.(2)2.把eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)反過來，得到eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)．4．最簡二次根式的兩個特點：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．寫出一個最簡二次根式：eq\r(3)(答案不唯一)．名校講壇例1(教材P8例4)計算：(1)eq\f(\r(24),\r(3))；(2)eq\r(\f(3,2))÷eq\r(\f(1,18)).【解答】(1)2eq\r(2).(2)3eq\r(3).例2(教材P8例5)化簡：(1)eq\r(\f(3,100))；(2)eq\r(\f(75,27)).【解答】(1)eq\f(\r(3),10).(2)eq\f(5,3).例3(教材P9例6)計算：(可以用兩種方法計算)(1)eq\f(\r(3),\r(5))；(2)eq\f(3\r(2),\r(27))；(3)eq\f(\r(8),\r(2a)).【解答】(1)eq\f(\r(15),5).(2)eq\f(\r(6),3).(3)eq\f(2\r(a),a).【跟蹤訓練】(《名校課堂》第2課時習題)計算：(1)eq\r(1\f(15,49))； (2)eq\r(\f(25a4,9b2))(b>0)．解：(1)原式＝eq\r(\f(64,49))＝eq\f(8,7).(2)原式＝eq\f(\r(25a4),\r(9b2))＝eq\f(5a2,3b).【點撥】被開方數(shù)是帶分數(shù)的要化成假分數(shù)．例4設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b.已知S＝2eq\r(3)，b＝eq\r(10)，求a.【解答】因為S＝ab，所以a＝eq\f(S,b)＝eq\f(2\r(3),\r(10))＝eq\f(2\r(3)×\r(10),\r(10)×\r(10))＝eq\f(\r(30),5).【點撥】在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡，且結(jié)果的分母中不含二次根式．鞏固訓練1．計算eq\r(10)÷eq\r(2)的結(jié)果為(A)\r(5) B．5 \f(\r(5),2) \f(\r(10),2)2．下列根式中，不是最簡二次根式的是(B)\r(10) \r(8) \r(6) \r(5)3．若a＝eq\f(1,\r(5))，b＝eq\f(\r(5),5)，則(D)A．a(chǎn)，b互為相反數(shù) B．a(chǎn)，b互為倒數(shù)C．a(chǎn)b＝5 D．a(chǎn)＝b4．把eq\f(\r(12ab),\r(3a))化簡后得2eq\r(b)．5．若二次根式eq\r(3a＋5)是最簡二次根式，則正整數(shù)a的最小值為2．6．長方形的面積是24，其中一邊長為2eq\r(3)，則另一邊長是4eq\r(3)．7．計算：(1)eq\r(27)÷eq\r(18)×eq\r(2)；(2)eq\r(\f(1,2))÷(－eq\r(12))×3eq\r(24).解：(1)原式＝eq\r(3).(2)原式＝－3.課堂小結(jié)1．二次根式的除法法則．2．逆用法則．3．最簡二次根式的概念.二次根式的加減第1課時二次根式的加減教學目標1．知道怎樣將根式化為最簡二次根式．2．通過合并被開方數(shù)相同的二次根式，會進行二次根式的加法與減法運算．預習反饋閱讀教材P12～13的部分，完成以下問題．知識探究1．合并同類項：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2.解：(1)5x.(2)4x2.這幾道題你是運用什么知識做的？加減法則．2．化簡：(1)eq\r(\f(5,3))；(2)eq\r(48)；(3)eq\r(72m3).解：(1)eq\f(\r(15),3).(2)4eq\r(3).(3)6meq\r(2m).3．如何進行二次根式的加減計算？先化簡，再合并．4．計算：(1)2eq\r(2)＋3eq\r(2)；(2)2eq\r(8)－3eq\r(8)＋5eq\r(8)；(3)eq\r(7)＋2eq\r(7)＋3eq\r(9×7).解：(1)5eq\r(2).(2)8eq\r(2).(3)12eq\r(7).名校講壇例1(教材P13例1)計算：(1)eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(9a)＋eq\r(25a).【解答】(1)eq\r(5).(2)8eq\r(a).【點撥】二次根式的加減與整式的加減運算類似，二次根式化簡之后的合并相當于合并同類項．例2(教材P13例2)計算：(1)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48)；(2)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋(eq\r(3)－eq\r(5))．【解答】(1)14eq\r(3).(2)3eq\r(3)＋eq\r(5).【點撥】二次根式加減運算的步驟：①化簡：將二次根式化成最簡二次根式；②判別：找出被開方數(shù)相同的二次根式；③合并：類似于合并同類項，將被開方數(shù)相同的二次根式合并．【跟蹤訓練】(《名校課堂》第1課時習題)計算：(1)eq\r(16x)＋eq\r(64x)；解：原式＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝(4＋8)eq\r(x)＝12eq\r(x).(2)eq\r(125)－2eq\r(5)＋eq\r(45).解：原式＝5eq\r(5)－2eq\r(5)＋3eq\r(5)＝6eq\r(5).鞏固訓練1．計算3eq\r(2)＋eq\r(2)的值是(C)A．5 B．6 C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)2．下列根式中可以與eq\r(5)合并的是(B)\r(10) \r(20) \r(15) \r(25)3．下列計算正確的是(C)A．5eq\r(3)－4eq\r(3)＝1 \r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)\r(8)－eq\r(2)＝eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)4．三角形的三邊長分別為eq\r(20)cm，eq\r(40)cm，eq\r(45)cm，則這個三角形的周長為(5eq\r(5)＋2eq\r(10))cm.5．計算：(1)5eq\r(8)－2eq\r(27)＋eq\r(18)；(2)2eq\r(18)－eq\r(50)＋eq\f(1,3)eq\r(45)；解：(1)原式＝13eq\r(2)－6eq\r(3).(2)原式＝eq\r(2)＋eq\r(5).課堂小結(jié)怎樣進行二次根式的加減計算？第2課時二次根式的混合運算教學目標1．含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．2．復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．預習反饋閱讀教材P14的部分，完成以下問題．知識探究1．計算：(1)(2x＋y)·zx；(2)(2x2y＋3xy2)÷xy；(3)(2x＋3y)(2x－3y)．解：(1)2x2z＋xyz.(2)2x＋3y.(3)4x2－9y2.2．思考：如果把上面的x，y，z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．【點撥】整式運算中的x，y，z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式．3．計算：(1)(eq\r(\f(8,27))－5eq\r(3))×eq\r(6)；(2)(5＋eq\r(6))(5eq\r(2)－2eq\r(3))；(3)(2eq\r(3)＋3eq\r(2))(2eq\r(3)－3eq\r(2))；(4)(4＋3eq\r(5))2.解：(1)eq\f(4,3)－15eq\r(2).(2)19eq\r(2).(3)－6.(4)61＋24eq\r(5).名校講壇例1(教材P14例3)計算：(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\