春人教版九下數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)2銳角三角函數(shù)教案

第二十八章銳角三角函數(shù)1.了解銳角三角函數(shù)的概念,能夠正確應(yīng)用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中兩邊的比.2.能推導(dǎo)并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說(shuō)出這個(gè)角.3.能夠正確地使用計(jì)算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角.4.理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系,以及什么是解直角三角形,會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.5.會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,并能對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用.1.通過(guò)探究銳角的正弦、余弦、正切概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.2.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.培養(yǎng)學(xué)生從已有的知識(shí)、特殊圖形中去感知、遷移.3.綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性.4.通過(guò)畫(huà)示意圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.5.經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.1.通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.引導(dǎo)學(xué)生參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證,提高數(shù)學(xué)思維能力.3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神,增強(qiáng)合作意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè).4.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索三角函數(shù)有關(guān)知識(shí),鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.在探索解直角三角形的過(guò)程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.6.通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)建模思想,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.本章《銳角三角函數(shù)》是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容,掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù),也是繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ),本章屬于三角學(xué)中的最基礎(chǔ)的部分,而高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分,所以本章的學(xué)習(xí)是為高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.本章在前邊研究了直角三角形中三邊之間的關(guān)系、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究邊角之間的關(guān)系,本章包括銳角三角函數(shù)的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念),以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容,銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì),研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論,解直角三角形主要依賴(lài)銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容,因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)本章的直接基礎(chǔ).通過(guò)本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關(guān)系,并綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的度量問(wèn)題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模思想.【重點(diǎn)】1.正弦、余弦、正切的概念.2.特殊角的三角函數(shù)值.3.會(huì)解直角三角形.4.能利用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.【難點(diǎn)】1.解直角三角形的應(yīng)用.2.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問(wèn)題,并通過(guò)銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題.(1)注重?cái)?shù)形結(jié)合,加深理解記憶解決銳角三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題,都是在直角三角形中進(jìn)行的,所以數(shù)形結(jié)合思想是本單元的重要思想方法.已知角所在的三角形為直角三角形時(shí),常根據(jù)三角函數(shù)定義得到邊角之間的關(guān)系,解決有關(guān)幾何圖形問(wèn)題,已知角不在直角三角形中時(shí),常通過(guò)作輔助線,構(gòu)造直角三角形,再利用三角函數(shù)的定義解決幾何圖形問(wèn)題,所以在教學(xué)中注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí),在探究特殊角的三角函數(shù)值時(shí),結(jié)合特殊的直角三角形,利用邊角之間的關(guān)系,通過(guò)計(jì)算得出特殊值,體會(huì)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；由特殊角的三角函數(shù)值,通過(guò)構(gòu)造直角三角形,得到邊角之間的關(guān)系,體會(huì)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.(2)重視知識(shí)的形成過(guò)程,深化理解概念銳角三角函數(shù)的概念是本章的難點(diǎn),也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,這種角與函數(shù)之間的關(guān)系,學(xué)生以前沒(méi)有接觸過(guò),所以學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解成為本章的難點(diǎn).在教學(xué)設(shè)計(jì)中,重視過(guò)程,深化理解,以直角三角形為主線,力求體現(xiàn)生活化課堂的理念,讓學(xué)生在經(jīng)歷“問(wèn)題情景——形成概念——應(yīng)用拓展——反思提高”的基本過(guò)程中,通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)體現(xiàn)他們的主體地位,教師通過(guò)對(duì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來(lái)體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用,對(duì)學(xué)生的主體意識(shí)和合作交流的能力起著積極作用.學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,體驗(yàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,感受探究的樂(lè)趣,從而加深對(duì)概念的理解和掌握.銳角三角函數(shù)4課時(shí)解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形(1課時(shí))應(yīng)用舉例(2課時(shí))3課時(shí)單元概括整合1課時(shí)銳角三角函數(shù)1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,從而引出正弦、余弦、正切的概念.2.了解三角函數(shù)的概念,理解銳角的正弦、余弦、正切的概念并能根據(jù)這些概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.3.能推導(dǎo)并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù).4.能熟練計(jì)算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.5.讓學(xué)生熟識(shí)計(jì)算器一些功能鍵的使用.會(huì)熟練運(yùn)用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求角.1.通過(guò)探究銳角的正弦、余弦、正切的概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.2.經(jīng)過(guò)三角函數(shù)的概念的發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí),養(yǎng)成勤于思考,善于發(fā)現(xiàn)的良好習(xí)慣.3.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.4.通過(guò)推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,了解知識(shí)間的聯(lián)系,提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.5.自己熟悉計(jì)算器,在老師的指導(dǎo)下求一般銳角三角函數(shù)值,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活息息相關(guān).1.通過(guò)積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.引導(dǎo)學(xué)生參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗(yàn)證,提高數(shù)學(xué)思維能力.3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神,增強(qiáng)合作意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè).4.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索三角函數(shù)有關(guān)知識(shí),鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.通過(guò)計(jì)算器的使用,了解科學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械闹匾饔?激勵(lì)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、學(xué)好文化知識(shí).【重點(diǎn)】1.理解各三角函數(shù)的意義,并會(huì)求銳角的各三角函數(shù)值.2.熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,能熟練計(jì)算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.3.運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角的問(wèn)題.【難點(diǎn)】1.探索各三角函數(shù)值的概念.°,45°,60°角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程.3.運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角等問(wèn)題.第課時(shí)1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值,從而引出正弦的概念.2.理解銳角的正弦的概念,并能根據(jù)正弦的概念進(jìn)行計(jì)算.1.通過(guò)探究銳角的正弦的概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.2.通過(guò)銳角的正弦的學(xué)習(xí),逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過(guò)銳角的正弦的概念的建立,體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,滲透數(shù)形結(jié)合思想.2.讓學(xué)生在通過(guò)探索、分析、論證、總結(jié)獲取新知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)成功的快樂(lè),感悟數(shù)學(xué)的實(shí)用性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3.通過(guò)主動(dòng)探究,合作交流,感受探索的樂(lè)趣和成功的體驗(yàn),體會(huì)數(shù)學(xué)的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性,使學(xué)生養(yǎng)成積極思考的好習(xí)慣,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神.【重點(diǎn)】理解正弦函數(shù)的意義,并會(huì)求銳角的正弦值.【難點(diǎn)】理解直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值.導(dǎo)入一:意大利比薩斜塔在1350年落成時(shí)就已傾斜,其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線年比薩地區(qū)發(fā)生地震,這座高m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立,但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線增至m,而且還在繼續(xù)傾斜,有倒塌的危險(xiǎn).當(dāng)?shù)貜?990年起對(duì)斜塔維修糾偏,2001年竣工,此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了cm.【師生活動(dòng)】學(xué)生欣賞比薩斜塔圖片,教師介紹比薩斜塔有關(guān)知識(shí),然后引出本章課題.[過(guò)渡語(yǔ)]你能用塔身中心線與垂直中心線所成的角來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度嗎?通過(guò)本章的學(xué)習(xí),你將能夠解決這個(gè)問(wèn)題.導(dǎo)入二:【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1.直角三角形有哪些特殊性質(zhì)?2.有一個(gè)銳角是30°的直角三角形有什么特殊性質(zhì)?3.有一個(gè)銳角是45°的直角三角形有什么特殊性質(zhì)?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng).導(dǎo)入三:操場(chǎng)上有一個(gè)旗桿,老師讓小明去測(cè)量旗桿的高度.小明在離旗桿底部10米遠(yuǎn)處目測(cè)旗桿的頂部,視線與水平線的夾角為34°,并且已知目高為米,然后他很快就能算出旗桿的高度了.[過(guò)渡語(yǔ)]你想知道小明怎樣算出的嗎?這就是我們即將探討和學(xué)習(xí)的利用銳角三角函數(shù)來(lái)測(cè)量物體的高度.今天我們學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的第一種——銳角的正弦.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)大家熟知的意大利比薩斜塔導(dǎo)出本章學(xué)習(xí)內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的求知欲,同時(shí)又以生活實(shí)例測(cè)旗桿的高度導(dǎo)入本課時(shí)的內(nèi)容,讓學(xué)生體會(huì)測(cè)量旗桿的高度不僅可以用上章所學(xué)習(xí)的相似三角形,還可以應(yīng)用本章的銳角三角函數(shù),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會(huì)生活與數(shù)學(xué)之間的密切聯(lián)系.同時(shí)由復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.一、共同探究思路一為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建一座揚(yáng)水站,對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30°,為使出水口的高度為35m,需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管?思考一(1)你能不能把該實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言?[在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB(如圖)](2)你能求出AB的長(zhǎng)度嗎?為什么?(根據(jù)直角三角形中30°的銳角對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半,可得AB=2BC=70（m）)(3)計(jì)算題目中∠A的對(duì)邊與斜邊的比BCAB是多少.(4)在該題目中,如果出水口的高度為50m,那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管?此時(shí)BCAB的值是多少?需要準(zhǔn)備100m長(zhǎng)的水管,BCAB(5)出水口的高度改變,∠A不變時(shí),∠A的對(duì)邊與斜邊的比BCAB是否變化?不變,都等于【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組交流答案,學(xué)生展示結(jié)果,教師點(diǎn)評(píng),歸納結(jié)論.【結(jié)論】在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于12思考二(1)如圖,任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,你能計(jì)算出∠A的對(duì)邊與斜邊的比BCAB(2)通過(guò)計(jì)算,你能得到什么結(jié)論?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后,小組合作交流,小組代表展示成果,教師在巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng),共同歸納結(jié)論.【結(jié)論】在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于45°,無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于22思考三【猜想】一般地,當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值?如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么BCAB與B'【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng).【板書(shū)】因?yàn)椤螩=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C',因此,BCB'C'=ABA【課件展示】在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都不變,是一個(gè)固定值.思路二動(dòng)手操作:(1)測(cè)量自己手中一副三角板中30°,45°,60°角所對(duì)的直角邊與斜邊的長(zhǎng)度,并計(jì)算它們的比值.其中一同學(xué)測(cè)量、計(jì)算教師手中的三角板中各角所對(duì)的直角邊與斜邊的比值.(2)小組內(nèi)交流計(jì)算結(jié)果,三角板的大小不同,30°,45°,60°角所對(duì)的直角邊與斜邊的比有什么特點(diǎn)?你能得到什么結(jié)論?【師生活動(dòng)】學(xué)生動(dòng)手測(cè)量、計(jì)算,小組內(nèi)交流結(jié)果,共同歸納結(jié)論,教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題并及時(shí)糾正,對(duì)學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)撥.【結(jié)論】不論三角板大小如何,30°,45°,60°角的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.【猜想】如果是任意一個(gè)直角三角形,當(dāng)一個(gè)銳角的度數(shù)固定時(shí),這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比是否也是固定值呢?【驗(yàn)證】如圖,Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么BCAB與B'【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng).【板書(shū)】因?yàn)椤螩=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C',因此,BCB'C'=ABA【課件展示】在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都不變,是一個(gè)固定值.[設(shè)計(jì)意圖]思路一由實(shí)際問(wèn)題入手,計(jì)算直角三角形中特殊銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值,然后類(lèi)比探索出直角三角形中銳角確定時(shí),它所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值；思路二通過(guò)操作、測(cè)量、猜想、驗(yàn)證,得出結(jié)論,讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.二、形成概念[過(guò)渡語(yǔ)]在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時(shí),它所對(duì)的直角邊與斜邊的比是固定值,這個(gè)固定值就是這個(gè)銳角的正弦值.【課件展示】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對(duì)邊斜邊【思考】(1)當(dāng)∠A=30°或∠A=45°時(shí),∠A的正弦為多少?當(dāng)∠A=30°時(shí),sinA=sin30°=12；當(dāng)∠A=45°時(shí),sinA=sin45°=(2)∠A的正弦sinA表示的是sin與A的乘積還是一個(gè)整體?(sinA表示的是一個(gè)整體)(3)當(dāng)∠A的大小變化時(shí),sinA是否變化?(sinA隨著∠A的大小變化而變化)(4)sinA有單位嗎?(sinA是一個(gè)比值,沒(méi)有單位)(5)∠B的正弦怎么表示?sin(6)要求一個(gè)銳角的正弦值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個(gè)銳角的對(duì)邊和斜邊)【師生活動(dòng)】學(xué)生思考,小組合作交流,小組代表回答問(wèn)題,教師點(diǎn)撥.[設(shè)計(jì)意圖]在一系列的問(wèn)題解決中,經(jīng)歷從特殊到一般建立數(shù)學(xué)概念的過(guò)程,讓學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)正弦的概念及寫(xiě)法和意義,教師強(qiáng)調(diào)概念中需注意的事項(xiàng),加深對(duì)正弦概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.教師引導(dǎo)思考:(1)求sinA實(shí)際上要確定什么?依據(jù)是什么?sinB呢?(2)sinA,sinB的對(duì)邊和斜邊是已知的嗎?(3)直角三角形中已知兩邊如何求三角形的第三邊?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后回答問(wèn)題,然后書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程,小組交流結(jié)果,小組代表板書(shū)過(guò)程,教師規(guī)范解題步驟.【課件展示】解:如圖(1),在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=AC2+B因此sinA=BCAB=35,sinB=ACAB如圖(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=AB2-B因此sinA=BCAB=513,sinB=ACAB[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,根據(jù)正弦的概念求出角的正弦值,教師規(guī)范學(xué)生的解題過(guò)程,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.[知識(shí)拓展](1)正弦是一個(gè)比值,沒(méi)有單位.(2)正弦值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無(wú)關(guān).(3)sinA是一個(gè)整體符號(hào),不能寫(xiě)成sin·A.(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí),角的符號(hào)“∠”不能省略,如sin∠ABC.(5)sin2A表示(sinA)2,不能寫(xiě)成sinA2.1.在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.2.正弦的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對(duì)邊斜邊1.如圖,△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)中的格點(diǎn),則sin∠ABC等于()A.5B.255C.552.把△ABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍,則銳角A的正弦值()A.不變B.縮小為原來(lái)的133.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,AB=20,則BC=4.如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足為E,DE=8cm,sinA=45,則菱形ABCD是cm2.

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,且sinB=35,試分別求出AC,AB的值【答案與解析】解析:如圖,過(guò)點(diǎn)A向BC引垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB=22+42=25,∴sin∠ABC=AD解析:因?yàn)椤鰽BC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒(méi)改變,所以銳角A的正弦值也不變.故選A.3.12解析:∵AB=20,sinA=35,∴sinA=BCAB=35,∴BC=80解析:在菱形ABCD中,DE⊥AB.在Rt△DEA中,DE=8cm,sinA=45,則DEAD=4510cm.所以AB=AD=10cm,所以菱形ABCD的面積為DE×AB=8×10=80(cm2).5.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴sinB=ACAB=3設(shè)AC=3x,則AB=5x.又AB2=AC2+BC2,∴(5x)2=(3x)2+62=9x2+36,即25x2=9x2+36,∴x=32,∴AC=3x=92,AB=5x=第1課時(shí)1.共同探究2.形成概念在Rt△ABC中,∠C=90°,則sinA=∠A的對(duì)邊斜邊3.例題講解例題一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,則sinB的值為()A.12B.22C.2.三角形在正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)中的位置如圖,則sinα的值是()A.3443.353.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,則BC等于(C.15D.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,則sinB的值為()A.12B.22C.5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,若AC=5,BC=2,則sin∠ACD的值為()A.53B.255C.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,則sinA=.

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=23,則AB=8.如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,則sin∠BAC=,sin∠ADC=,sin∠ABC=.

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,求sinA和sinB的值.10.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若sinA=35,BC=9,求AB(2)若sinB=45,AB=10,求BC的長(zhǎng)【能力提升】11.如圖,圓O的直徑CD=10cm,且AB⊥CD,垂足為P,AB=8cm,則sin∠OAP=.

12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,則sinB=13.如圖,菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm,DE⊥AB,垂足為E,sinA=35.則下列結(jié)論正確的有.①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形的面積為60cm2；④BD=410cm.14.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊,B點(diǎn)恰好落在AD邊上,設(shè)此點(diǎn)為F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值.【拓展探究】15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sin∠ABD的值.【答案與解析】解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=ACAB=12解析:觀察網(wǎng)格圖,可知在直角三角形中,α的對(duì)邊長(zhǎng)為3,鄰邊長(zhǎng)為4.根據(jù)勾股定理可得斜邊長(zhǎng)為5,所以根據(jù)正弦定義可得sinα=35.解析:∵sinA=BCAB=13,AB=15,∴BC=5解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC.設(shè)BC=a,則AB=2a,根據(jù)勾股定理可得AC=AB2-BC2=(2a)2-a2=解析:在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得AB=AC2+BC∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sinB=ACAB=536.398解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,∴BC=AB2-A∴sinA=BCAB=396解析:∵sinA=BCAB=4AB=23,∴8.354545解析:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC=BCAC=AB2-BC2=52-32=4,∴sin∠ADC=sin∠ABC=AC9.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sinA=BCAB=25=255,sin10.解:(1)∵sinA=BCAB=35,又BC=9,∴AB=15.(2)∵sinB=ACAB=45,又AB11.35解析:∵AB⊥CD,∴AP=BP=12AB=12×8=4(cm).在Rt△OAP中,OA=∴OP=AO2-AP2=3cm,∴sin∠12.35解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,即CBAB=45.設(shè)CB=4x,則AB=5x,∴根據(jù)勾股定理可得AC=3x.∴sinB=13.①②③解析:∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm,∴AD=AB=BC=CD=10cm.∵DE⊥AB,垂足為E,∴sinA=DEAD=DE10=35,∴DE=6cm,∴AE=8cm,∴BE=2cm.∴菱形的面積為AB×DE=10×6=60(cm2).在Rt△BED中,BE=2cm,DE=6cm,∴BD=210cm14.解:由AB∶BC=4∶5,可設(shè)AB=4k,BC=5k,由折疊可知CF=CB=5k.在矩形ABCD中,CD=AB=4k.在Rt△CDF中,由勾股定理可得DF=CF2-CD2=3k,∴sin∠sin∠DCF=DFCF=315.解:如圖,作DE⊥AB于E.設(shè)BC=AC=2x.∵BD為AC邊上的中線,∴CD=AD=12AC=x.Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=5x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=22x.在Rt△BDE中,sin∠ABD=DEBD=22通過(guò)復(fù)習(xí)含特殊角的直角三角形的性質(zhì),為本節(jié)課的探究做好鋪墊,用具體情景引入新課,把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問(wèn)題,讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂,然后用具體實(shí)例的探究,層層遞進(jìn),由特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出:直角三角形的銳角確定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比是固定值的特點(diǎn),從而自然引出正弦的概念,順理成章完成知識(shí)的遷移,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、合作探究、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng)突破了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學(xué)生參與意識(shí)較強(qiáng),課堂氣氛活躍,讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展,突出了學(xué)生在課堂上的主體作用.本節(jié)課的重點(diǎn)是探究直角三角形中銳角確定時(shí),它的對(duì)邊和斜邊的比是固定值,由此歸納總結(jié)正弦定義,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,注重知識(shí)間的聯(lián)系,由前邊所學(xué)知識(shí)自然推導(dǎo)結(jié)論,由結(jié)論自然導(dǎo)出正弦的概念,但在授課過(guò)程中忽略了學(xué)生的認(rèn)知能力,部分學(xué)生對(duì)銳角的正弦的理解有困難,在以后的教學(xué)中,給出正弦的定義后,應(yīng)給出幾個(gè)簡(jiǎn)單練習(xí)加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握.本節(jié)課的內(nèi)容是探究直角三角形中銳角確定時(shí),它的對(duì)邊和斜邊的比是固定值,把這個(gè)固定值定義為這個(gè)銳角的正弦,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,以比薩斜塔導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的好奇心和求知欲,然后通過(guò)復(fù)習(xí)特殊直角三角形的性質(zhì),為本節(jié)課的探究活動(dòng)做好鋪墊,通過(guò)探究特殊圖形中邊之間的關(guān)系,猜想一般直角三角形中邊之間的關(guān)系,然后理論證明猜想,從而很自然地導(dǎo)出概念,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,利于對(duì)概念的理解和掌握,同時(shí)提高數(shù)學(xué)思維和能力.本節(jié)課是銳角三角函數(shù)的第一個(gè)課時(shí),在教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)設(shè)計(jì)“思考”“探究”“歸納”等教學(xué)環(huán)節(jié),為學(xué)生提供探究交流的空間,發(fā)展學(xué)生的思維能力.教材中直接給出了正弦的概念,而概念的形成過(guò)程的探索留給了學(xué)生,在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)復(fù)習(xí)特殊直角三角形的性質(zhì),為學(xué)生探究活動(dòng)做好鋪墊,然后給出特殊的直角三角形,學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),探索出結(jié)論“在直角三角形中,當(dāng)一個(gè)銳角確定時(shí),這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比是固定值”,然后教師引導(dǎo)學(xué)生思考,對(duì)于一般的直角三角形是否具有這樣的性質(zhì).學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作,合作探究,完成嚴(yán)格的理論證明,從而得到結(jié)論的正確性,很自然地引出正弦的概念.在課堂上以問(wèn)題引導(dǎo)的形式讓學(xué)生積極參與課堂,親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間,讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、思考、與他人合作及歸納總結(jié),從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,使數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的提升.如圖,在下列網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,O都在格點(diǎn)上,則∠AOB的正弦值是()A.31010B.12C.1〔解析〕如圖,作AC⊥OB,交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.則AC=2,AO=22+4sin∠AOB=ACAO=225=第課時(shí)1.探索直角三角形的銳角確定時(shí),它的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,從而引出余弦、正切的概念.2.了解銳角三角函數(shù)的概念,理解銳角的余弦、正切的概念并能根據(jù)余弦、正切的概念進(jìn)行計(jì)算.1.結(jié)合正弦的概念探索銳角的余弦、正切的概念的形成,培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比推理的能力.2.通過(guò)探究銳角的余弦、正切的概念的形成,體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.3.通過(guò)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù),體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過(guò)觀察、思考、交流、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.通過(guò)主動(dòng)探索,合作交流,增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí),體驗(yàn)成功的快樂(lè),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.3.培養(yǎng)學(xué)生敢于發(fā)表自己的想法,勇于質(zhì)疑,養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【重點(diǎn)】理解余弦、正切的概念,并會(huì)求銳角的余弦值、正切值.【難點(diǎn)】類(lèi)比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.導(dǎo)入一:【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1.在直角三角形中,當(dāng)一個(gè)銳角的大小一定時(shí),它的對(duì)邊與斜邊的比有什么規(guī)律?2.什么是正弦?如何求一個(gè)角的正弦?3.探究正弦的概念時(shí),我們用了什么方法?導(dǎo)入二:觀察兩個(gè)大小不同的三角板,當(dāng)角是30°,45°,60°時(shí),它們的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比有什么規(guī)律?談?wù)勀愕目捶?[過(guò)渡語(yǔ)]類(lèi)比探究正弦的方法,在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),它的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比也是固定的值,這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)復(fù)習(xí)提問(wèn),回憶上節(jié)課的探究方法,用類(lèi)比的方法探究本節(jié)課的內(nèi)容,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.計(jì)算直角三角板中特殊角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比,歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算、觀察、猜想的能力.一、新知探究思路一【思考】在不同的直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)相同時(shí),它們的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比是同一個(gè)固定值嗎?【師生活動(dòng)】教師提示類(lèi)比上節(jié)課的證明思路,學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程,學(xué)生代表板書(shū),教師規(guī)范證明過(guò)程.已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α.求證:ACAB=A'C'A【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,共同得出結(jié)論,教師對(duì)學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng).【板書(shū)】證明:因?yàn)椤螩=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C',因此,ACA'C'=ABA同理可得BCB'C'=ACA【思考】大家能不能得出銳角B的度數(shù)一定時(shí),∠B的鄰邊與斜邊、∠B的對(duì)邊與鄰邊的比是不是一個(gè)固定值呢?學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng).【課件展示】1.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.2.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值.思路二如圖,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠AC1B1=∠AC2B2=90°.【思考】(1)Rt△AB1C1與Rt△AB2C2之間有什么關(guān)系?(Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2)(2)AC1AB1與AC2AB2,B(3)在射線AB1上任取一點(diǎn)B3,過(guò)B3作B3C3⊥AC1,垂足為C3,則AC1AB1與AC3AB3,B(4)根據(jù)以上思考,你得到什么結(jié)論?(直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定不變的)(5)如果改變∠A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結(jié)論.【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題,學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納結(jié)論,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng).【課件展示】1.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的鄰邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值.2.在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值.[設(shè)計(jì)意圖]在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)小組合作交流,類(lèi)比上節(jié)課探究問(wèn)題的方法,經(jīng)過(guò)觀察、討論、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng),歸納出結(jié)論,為歸納理解三角函數(shù)的定義做好鋪墊,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.二、形成概念[過(guò)渡語(yǔ)]在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時(shí),角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比是固定值,我們把這兩個(gè)固定值分別定義為余弦和正切.【課件展示】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=∠A的鄰邊斜邊同樣,把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=∠A的對(duì)邊∠【思考】當(dāng)∠A的大小變化時(shí),sinA,cosA,tanA是否變化?對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值,sinA,cosA和tanA是否有唯一的值和它對(duì)應(yīng)?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考回答,教師引導(dǎo)點(diǎn)評(píng).歸納:sinA,cosA,tanA都是∠A的函數(shù).【課件】銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).[設(shè)計(jì)意圖]教師根據(jù)上邊的總結(jié)驗(yàn)證,類(lèi)比正弦的概念形成,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)理解余弦、正切的概念,教師可以強(qiáng)調(diào)概念中需注意的事項(xiàng),加深學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.【思考】(1)根據(jù)余弦、正切的定義,要求cosA,tanA的值必須求出哪條邊的長(zhǎng)?(2)怎樣求出AC的長(zhǎng)?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后回答問(wèn)題,然后書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程,小組交流結(jié)果,小組代表板書(shū)過(guò)程.【課件展示】解:由勾股定理得AC=AB2-所以sinA=BCAB=610=cosA=ACAB=810=tanA=BCAC=68=(補(bǔ)充拓展)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=35,求cosA,tanB的值【解析】(1)已知sinA和BC的值,根據(jù)正弦的定義,可以求出三角形的哪條邊長(zhǎng)?(2)你能不能求出三角形的第三條邊長(zhǎng)?(3)根據(jù)余弦、正切的定義,你能求出cosA,tanB的值嗎?【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考完成,小組內(nèi)交流答案,教師幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng).解:∵sinA=BCAB,∴AB=BCsinA=6×又∵AC=AB2-∴cosA=ACAB=45,tanB=ACBC[設(shè)計(jì)意圖]在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下,學(xué)生獨(dú)立思考完成,教師對(duì)學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng),讓學(xué)生根據(jù)概念求出各三角函數(shù)值,加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握,同時(shí)讓學(xué)生綜合運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)的概念進(jìn)行有關(guān)計(jì)算,培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.[知識(shí)拓展](1)余弦和正切都是一個(gè)比值,沒(méi)有單位.(2)余弦值和正切值只與角的大小有關(guān),而與三角形的大小無(wú)關(guān).(3)cosA,tanA都是一個(gè)整體符號(hào),不能寫(xiě)成cos·A,tan·A.(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí),角的符號(hào)“∠”不能省略,如tan∠ABC.(5)在Rt△ABC中,∠C=90°,由于sinA=BCAB=ac,cosA=ACAB=bc,sinB=ACAB=bc,costanA=BCAC=ab,tanB=ACBC=ba,因此,sinA=cosB,cosA=sinB,tanA在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2.∵sinA=ac,cosA=bc,tanA=∴sin2A+cos2A=1,tanA=sinA1.在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí),無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何,∠A的鄰邊與斜邊的比、對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值.2.余弦、正切的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc.把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=3.三角函數(shù)的定義:銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,則cosA的值是()A.154B.14C.152.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,則下列選項(xiàng)正確的是()A=125A=1213A=3.如圖,A,B,C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B',則tanB'的值為.

4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,cosA=33,AB=12,求△ABC的面積【答案與解析】解析:根據(jù)余弦的定義可得cosA=ACAB=14解析:由勾股定理可得BC=AB2-AC2=5,∴sinA=BCAB=513,cosA=ACAB=3.13解析:由旋轉(zhuǎn)可得∠B'=∠B,所以tanB'=tanB=14.解:∵cosA=ACAB=33,AB=12,∴AC=4由勾股定理可得BC=AB2-AC∴S△ABC=12AC·BC=12×43×46=24第2課時(shí)1.新知探究2.形成概念在Rt△ABC中,∠C=90°,則cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc,tanA=3.例題講解例1例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則tanB的值是()A.35B.34C.452.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,則tanA的值是()B.12C.553.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,則AC等于(B.3234.如圖,若cosα=1010,則sinα的值為(A.101023.35.小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),將如圖的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以求出°的角的正切值是()A.3+1B.2+1D.56.如圖,將∠AOB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,則tan∠AOB=.

7.如圖,AB是☉O的直徑,AB=15,AC=9,連接BC,則tan∠ADC=.

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=23,AB=26.求cosB及AC的長(zhǎng)【能力提升】9.如圖,A,B,C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1).若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置,得到△AC'B',使A,C,B'三點(diǎn)共線,則tan∠B'CB的值為.

10.如圖,AB是☉O的直徑,且AB=5,CD是☉O的弦,AD與BC相交于點(diǎn)E,若CD=2,則cos∠BED=.

11.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC邊上的中線,sin∠CAM=35,則tanB的值是12.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cos∠DAC.(1)求證：AC=BD.(2)若sinC=1213,BC=12,求AD的長(zhǎng)【拓展探究】13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),AC=2,CD=1,設(shè)∠CAD=α.(1)求sinα,cosα,tanα的值；(2)若∠B=∠CAD,求BD的長(zhǎng).【答案與解析】解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=AB2-BC2=4,∴tanB解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴tanA=BCAC=12解析:∵tanA=BCAC=43,BC=8,∴AC=BCtanA=3解析:∵cosα=α的鄰邊斜邊=1010,∴設(shè)α的鄰邊長(zhǎng)為10k,斜邊長(zhǎng)為10k,由勾股定理可得α的對(duì)邊長(zhǎng)為(10k)2-(10k)2=3解析:注意折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),也就是說(shuō)△ABE和△AEF都是等腰三角形,進(jìn)而得到°的角為∠FAB.設(shè)AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=2x,于是BF=(2+1)x.在直角三角形ABF中,tan∠FAB=BFAB=(2+1)°.故選B.6.12解析:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB,垂足為D,如圖.在Rt△AOD中,AD=1,OD=2,則tan∠AOB=ADOD=7.34解析:∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AB=15,AC=9,∴根據(jù)勾股定理,得BC=12∵∠ADC和∠ABC是同弧所對(duì)的圓周角,∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC=ACBC=912=8.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tanA=BCAC=23,∴設(shè)BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=13k,∴13k=26,∴k=213,∴BC=2k=413,AC=3k=613,∴cosB=BCAB=41326=21313.∴AC解析:如圖,連接BD,由正方形網(wǎng)格利用勾股定理得BC=10,CD=2,BD=22,則CD2+BD2=BC2,所以CD⊥BD,則tan∠B'CB=22210.25解析:如圖,連接BD,則∠ADB=90°,易知∠CDA=∠ABC,∠C=∠A,∴△CED∽△AEB∴EDEB=CDAB=25.在Rt△BED中,∠EDB=90°,∴cos∠BED=ED11.23解析:在Rt△AMC中,sin∠CAM=MCAM=35,設(shè)MC=3x,AM=5x,則AC=AM2-MC2=4x.由題意知M是BC的中點(diǎn),∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC12.(1)證明:∵AD是BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tanB=ADBD,cos∠DAC=ADAC.又∵tanB=cos∠DAC,∴ADBD=ADAC(2)解:在Rt△ADC中,sinC=ADAC=1213,故可設(shè)AD=12k,AC=13k,∴CD=AC∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴18k=12,∴k=23,∴AD=12k=12×2313.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD=AC2+(1)sinα=CDAD=15=55,cosα=ACAD=25=255(2)在Rt△ABC中,tanB=ACBC,即tanα=2BC=12,∴BC=4,∴BD=BC-本節(jié)課的主要內(nèi)容是在上節(jié)課的基礎(chǔ)上,用類(lèi)比的方法探究余弦和正切的定義,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課探究正弦的方法和技巧,為本節(jié)課學(xué)生的自主學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).在探究活動(dòng)中,教師引導(dǎo)學(xué)生仿照研究銳角的正弦的思路和方法,自己完成銳角的余弦、正切的探索過(guò)程,從而得到余弦和正切的概念.例題的分析和解答以學(xué)生為主體,通過(guò)小組合作交流完成,教師及時(shí)點(diǎn)撥,加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握的同時(shí),提高了學(xué)生的解題能力,并規(guī)范了教學(xué)過(guò)程.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是三個(gè)銳角三角函數(shù),在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),只注重了學(xué)生的活動(dòng)的設(shè)計(jì),考慮到學(xué)生基礎(chǔ)較差,對(duì)函數(shù)的理解較難,所以沒(méi)有將函數(shù)與定義過(guò)多的聯(lián)系,三角函數(shù)的定義是高中知識(shí)的基礎(chǔ),所以?xún)H僅讓學(xué)生停留在會(huì)應(yīng)用定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,在以后的教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生加深對(duì)三角函數(shù)的定義的理解和掌握.本節(jié)課的重點(diǎn)是通過(guò)探究得到直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值,從而得到銳角的余弦和正切的定義,并根據(jù)定義能進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算,在教學(xué)中以復(fù)習(xí)銳角的正弦的定義及探究方法、生活實(shí)例導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,然后把課堂大膽交給學(xué)生,類(lèi)比上節(jié)課的探究方法,通過(guò)自主探究、小組合作等數(shù)學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生探究出結(jié)論,歸納三角函數(shù)的定義,讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂(lè),人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué).本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中,重點(diǎn)是探究余弦、正切兩個(gè)三角函數(shù)的定義,通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)課正弦的概念及探究方法,讓學(xué)生類(lèi)比“直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值”的證明方法,獨(dú)立完成猜想“直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時(shí),這個(gè)銳角的鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比都是固定值”,然后通過(guò)小組交流,順利完成證明過(guò)程,從而歸納余弦、正切的定義.在例題的設(shè)計(jì)中,學(xué)生在解答教師提出的一系列問(wèn)題的引導(dǎo)下,獨(dú)立思考,有困難的學(xué)生通過(guò)小組合作交流,加深對(duì)概念的理解和掌握.總之,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,以學(xué)生活動(dòng)為主,在設(shè)計(jì)的各個(gè)活動(dòng)中,學(xué)生掌握了知識(shí),提高了學(xué)習(xí)能力.如圖,沿AE折疊矩形紙片ABCD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處.已知AB=8,BC=10,則tan∠EFC的值為()A.34B.43C.35〔解析〕根據(jù)題意可知在Rt△ABF中,有AB=8,AF=AD=10,則BF=6,易知∠EFC=∠BAF,故tan∠EFC=tan∠BAF=68=34第課時(shí)1.能推導(dǎo)并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù).2.能熟練計(jì)算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.1.通過(guò)探索特殊角的三角函數(shù)值的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力.2.通過(guò)推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,了解知識(shí)間的聯(lián)系,提升綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.3.經(jīng)歷特殊角的三角函數(shù)值的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.1.在探索特殊角的三角函數(shù)值中,學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題的能力.2.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過(guò)程,探索特殊三角函數(shù)值,讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心.【重點(diǎn)】熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,能熟練計(jì)算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.【難點(diǎn)】30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義.導(dǎo)入一:如圖,這是一塊三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=米,那么這塊三角形的草皮面積為多少呢?如圖,這是一塊三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=米,那么這塊三角形草皮的面積為多少呢?【師生活動(dòng)】學(xué)生思考后,小組合作交流,回答解決方法,教師點(diǎn)評(píng),導(dǎo)出新課.結(jié)合學(xué)生回答,教師分析:過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線CD,垂足為D,∵sinA=CDAC,∴CDACsin60°.[過(guò)渡語(yǔ)]AC是已知的,假如sin60°能夠知道,CD就可求,那么這個(gè)問(wèn)題就得到解決.本節(jié)課我們就一同來(lái)探討30°,45°,60°角的三角函數(shù)值.導(dǎo)入二:【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1.什么是銳角的正弦、余弦、正切?2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性質(zhì)?3.你還記得我們探究銳角的正弦的概念時(shí)所得的30°,45°角的正弦嗎?4.你還能推導(dǎo)出30°,45°,60°角的其他三角函數(shù)值嗎?[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)生活實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生的求知欲望,感受生活中處處有數(shù)學(xué),復(fù)習(xí)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的概念,為本節(jié)課特殊角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)打下基礎(chǔ),做好鋪墊,讓學(xué)生從已有的知識(shí)體系中很自然地構(gòu)建出新知識(shí).[過(guò)渡語(yǔ)]探究30°,45°,60°角的三角函數(shù)值就是我們本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容.一、實(shí)踐探究思路一動(dòng)手操作:畫(huà)出含有30°,45°角的直角三角形,分別求出30°,45°,60°角的所有三角函數(shù)值.【師生活動(dòng)】學(xué)生畫(huà)圖,根據(jù)直角三角形的知識(shí)和三角函數(shù)的定義,獨(dú)立推導(dǎo)各三角函數(shù)值,然后小組成員交流推導(dǎo)結(jié)果,教師提示可以用字母表示三角形的一條邊長(zhǎng),然后計(jì)算各三角函數(shù)值,對(duì)學(xué)生推導(dǎo)的結(jié)果教師作出點(diǎn)評(píng),共同完成下列表格.【課件展示】銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA313【思考】觀察表格中特殊角的三角函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?【師生活動(dòng)】學(xué)生進(jìn)行小組討論,教師巡視中幫助有困難的學(xué)生,并對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng),只要學(xué)生說(shuō)得有理,就要給予肯定和鼓勵(lì).【結(jié)論】(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,故sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),其中α為銳角.(3)0<sinA<1,0<cosA<1.思路二【思考】(1)在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊和斜邊之間有什么關(guān)系?(2)設(shè)30°角的對(duì)邊為k,你能用k表示三角形的各邊長(zhǎng)嗎?(3)利用三角函數(shù)的定義,分別求出30°,60°角的各三角函數(shù)值.(4)含有45°角的直角三角形有什么特點(diǎn)?(5)設(shè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為k,你能用k表示直角三角形的斜邊嗎?(6)利用三角函數(shù)的定義,求出45°角各三角函數(shù)值.【師生活動(dòng)】學(xué)生逐步回答教師提出的問(wèn)題,通過(guò)計(jì)算得出30°,45°,60°角的各三角函數(shù)值.師生共同完成下表:【課件展示】銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA313【思考】(1)觀察表格中數(shù)據(jù),當(dāng)銳角α增大時(shí),它的正弦、余弦、正切怎樣變化?(2)表格中哪些角的三角函數(shù)值是相等的?(3)根據(jù)(2)猜想正確結(jié)論.(4)觀察表格中數(shù)據(jù),銳角α的正弦、余弦值與1之間的大小有何關(guān)系?【師生活動(dòng)】學(xué)生進(jìn)行小組討論,教師巡視中幫助有困難的學(xué)生,并對(duì)學(xué)生的回答作出點(diǎn)評(píng),只要學(xué)生說(shuō)得有理,就要給予肯定和鼓勵(lì).【結(jié)論】(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,故sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),其中α為銳角.(3)0<sinA<1,0<cosA<1.[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生在教師提出的問(wèn)題的引導(dǎo)下,完成特殊角的三角函數(shù)值的推導(dǎo),并通過(guò)觀察得到銳角三角函數(shù)的一些性質(zhì).學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖、計(jì)算驗(yàn)證得出結(jié)論,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握,同時(shí)學(xué)生之間的討論、交流,增強(qiáng)了學(xué)生之間的合作能力.二、例題講解求下列各式的值.(1)cos260°+sin260°；(2)cos45°sin45°-tan45°教師引導(dǎo)思考:(1)你知道cos260°與sin260°表示的意義嗎?(cos260°表示(cos60°)2,sin260°表示(sin60°)2)(2)cos60°,sin60°,cos45°,sin45°,tan45°各等于什么值?(3)將各三角函數(shù)值代入,計(jì)算各代數(shù)式的值.【師生活動(dòng)】教師邊提問(wèn)邊解答該題,同時(shí)板書(shū)解題過(guò)程,教師強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn).解:(1)cos260°+sin260°=122+3(2)cos45°sin45°-tan45°=22÷2(1)如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,BC=3,求∠A的度數(shù)；(2)如圖(2),AO是圓錐的高,OB是底面半徑,AO=3OB,求α的度數(shù).【思考】(1)圖(1)中,在Rt△ABC中,邊長(zhǎng)AB,BC與∠A有什么關(guān)系?sinA=BCAB=36(2)哪個(gè)銳角的正弦值等于22?sin45°=(3)圖(2)中,在Rt△AOB中,OB,AO與α有什么關(guān)系?tanα=OAOB=(4)哪個(gè)銳角的正切值等于3?(tan60°=3)【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考后,小組合作交流,完成解答過(guò)程,小組代表板書(shū)解題過(guò)程,教師點(diǎn)評(píng),師生共同歸納解題方法.解:(1)∵sinA=BCAB=36=22,∴∠(2)∵tanα=OAOB=3OBOB=3,∴【歸納】要求一個(gè)直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù),可以先求它的某一個(gè)三角函數(shù)的值,如果這個(gè)值是一個(gè)特殊值,那么我們就可以求出這個(gè)角的度數(shù).[設(shè)計(jì)意圖]在教師的引導(dǎo)下完成例題的分析和解答,正確認(rèn)識(shí)特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握由特殊角求三角函數(shù)值,由特殊三角函數(shù)值求出對(duì)應(yīng)角的度數(shù),通過(guò)探索解題過(guò)程,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,通過(guò)對(duì)題型方法技巧的總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力.[知識(shí)拓展](1)結(jié)合圖形(如圖)及其中的數(shù)據(jù)和三角函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值,從而記住結(jié)果.(2)對(duì)于其他相關(guān)角的三角函數(shù)值,往往用定義求解,15°,°,75°角等.(3)等邊三角形、等腰直角三角形及與30°,45°,60°角相關(guān)聯(lián)的其他三角形問(wèn)題,常常要用特殊角的三角函數(shù)值解答.1.特殊角的三角函數(shù)值:銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA3132.求含有特殊角的三角函數(shù)的代數(shù)式.3.已知特殊的三角函數(shù)值求特殊角.1.計(jì)算3tan30°的值等于()A.33C.33D.2.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,若sinA=12,且∠B=90°-∠A,則sinB等于(A.12B.22C.3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,sinA=12,cosB=22,則△ABC的形狀為4.計(jì)算：(1)2sin30°-2cos45°；(2)tan30°-sin60°·sin30°；(3)(1-3tan30°)【答案與解析】解析:3tan30°=3×33=3.解析:∵sinA=12,∴∠A=30°.又∠B=90°-∠A,∴∠B=60°,∴sinB=sin60°=323.鈍角解析:∵sinA=12,cosB=22,∴∠A=30°,∠B=45°.又∠A+∠B+∠∴∠C=105°,∴△ABC為鈍角三角形.4.解:(1)2sin30°-2cos45°=2×12-2×22(2)tan30°-sin60°·sin30°=33-32×12=33-(3)(1-3tan30°)2=1-3×332=第3課時(shí)1.實(shí)踐探究特殊角的三角函數(shù)值2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】60°的值等于()A.12B.22C.322.計(jì)算2sin45°的結(jié)果等于()A.2C.22D.3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,且sinA=12,cosB=32,則△ABC是(A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定4.點(diǎn)M(-sin60°,cos60°)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.32,12-5.若α為銳角,且3tan(90°-α)=3,則α為()°°°°6.若sinα=22,則銳角α=.若2cosα=1,則銳角α=7.計(jì)算sin30°cos30°-tan30°=.

8.在△ABC中,若銳角A,B滿足cosA-12+sinB-2229.計(jì)算：(1)|2-3|-(2015-π)0+2sin60°+13(2)14-1+|1-3|-2710.如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6.求BC的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))【能力提升】11.如圖,以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與射線OM交于點(diǎn)A,再以A為圓心,AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)B,畫(huà)射線OB,則cos∠AOB的值等于.

12.菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖,∠AOC=45°,OC=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

13.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,∠B=60°,∠C=45°,BC=2,求AC的長(zhǎng).【拓展探究】14.閱讀下面的材料,先完成閱讀填空,再按要求答題.sin30°=12,cos30°=32,則sin230°+cos230°=sin45°=22,cos45°=22,則sin245°+cos245°=sin60°=32,cos60°=12,則sin260°+cos260°=.……觀察上述等式,猜想:對(duì)任意銳角A,都有sin2A+cos2A=.④

(1)如圖,在銳角三角形ABC中,利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想；(2)已知∠A為銳角(cosA>0)且sinA=35,求cos【答案與解析】解析:cos60°=12.解析:2sin45°=2×22=1.解析:由sinA=12,cosB=32,得∠A=30°,∠B=30°.∵∠A+∠B+∠∴∠C=120°,∴△ABC是鈍角三角形.故選C.解析:∵sin60°=32,cos60°=12,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為-32,12,∴點(diǎn)解析:∵3tan(90°-α)=3,∴tan(90°-α)=33,∴90°-α=30°,∴α=60°.°60°解析:由sinα=22,得α=45°.由2cosα=1,得cosα=12,∴α312解析:sin30°cos30°-tan30°=12×32-3°解析:由cosA-12+sinB-222=0,得cosA-12=0,sinB-22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠9.解:(1)原式=2-3-1+2×32+3=1+3=4.(2)原式=4+3-1-33×33=4+3-1-3=10.解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.在Rt△ABD中,∠B=45°,∴AD=BD.設(shè)AD=x.∵AB=6,∴x2+x2=62,解得x=32,即AD=BD=32.在Rt△ACD中,∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,tan30°=CDAD,即CD32=33,∴CD=6.∴BC=BD+DC=311.12解析:連接AB.由圖可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos60°=1212.(2+1,1)解析:如圖,作CD⊥OA于D.由題意可得OA=OC=BC=2,∠AOC=45°,∴CD=OCsin45°=1,OD=OCcos45°=1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2+1,1).13.解:在Rt△ACD中,cosC=CDAC,∴CD=ACcosC.∵∠C=45°,∴CD=22AC,∴AD=CD=2∵∠B=60°,∴tanB=ADBD=3,∴BD=22AC3=66AC.∵BC=BD+DC=2,∴22AC+66AC14.解:1111(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D.在Rt△ADB中,sinA=BDAB,cosA=ADAB,由勾股定理得BD2+AD2=AB2,∴BDAB2+ADAB2=1,∴sin2(2)∵∠A為銳角(cosA>0),sinA=35,sin2A+cos2A=1,∴cosA=1-sin2本節(jié)課通過(guò)復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義,為特殊角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)打下基礎(chǔ),同時(shí)以生活實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系緊密,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)特殊角所在直角三角形邊之間的關(guān)系及勾股定理和三角函數(shù)的定義,推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值,內(nèi)容比較簡(jiǎn)單,學(xué)生獨(dú)立完成后,小組交流答案,通過(guò)教師引導(dǎo)填寫(xiě)表格,加深學(xué)生對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的記憶,學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦,提高了分析問(wèn)題的能力.例題中求代數(shù)式的值,學(xué)生獨(dú)立完成,教師點(diǎn)評(píng),再次加深對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的記憶,整節(jié)課課堂氣氛活躍,人人學(xué)到有價(jià)值的數(shù)學(xué).本節(jié)課的重點(diǎn)是探究特殊角的各三角函數(shù)值,并能計(jì)算和特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的代數(shù)式,學(xué)生能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)完成本節(jié)課的學(xué)習(xí),大多數(shù)學(xué)生在課堂上表現(xiàn)積極活躍,但在推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值后,沒(méi)有給學(xué)生足夠的時(shí)間去記憶,應(yīng)該同桌之間或組內(nèi)成員之間互相出題,重點(diǎn)考查特殊角的三角函數(shù)值的記憶,為后邊的學(xué)習(xí)做好鋪墊.特殊角的三角函數(shù)值是需要記憶的知識(shí),但教學(xué)設(shè)計(jì)不能讓學(xué)生單純的記憶,而是要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).以情景導(dǎo)入新課,引起學(xué)生的思考,讓學(xué)生嘗試求特殊角的三角函數(shù)值,通過(guò)學(xué)生動(dòng)手推導(dǎo),認(rèn)識(shí)角的度數(shù)與三角函數(shù)值之間的相互轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)銳角的三角函數(shù)值之間的規(guī)律,并歸納總結(jié),提高學(xué)生觀察、思考、歸納的能力.例題的講解以學(xué)生活動(dòng)為主,教師對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤作出點(diǎn)評(píng),加深對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的記憶,并規(guī)范書(shū)寫(xiě)過(guò)程,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)精神.第課時(shí)1.讓學(xué)生熟識(shí)計(jì)算器一些功能鍵的使用.2.會(huì)熟練運(yùn)用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值來(lái)求角.1.自己熟悉計(jì)算器,在教師的指導(dǎo)下求一般銳角三角函數(shù)值,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活息息相關(guān).2.認(rèn)識(shí)使用計(jì)算器可以解決部分復(fù)雜問(wèn)題,通過(guò)求值探討三角函數(shù)問(wèn)題的某些規(guī)律,提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力.1.通過(guò)計(jì)算器的使用,了解科學(xué)在人們?nèi)粘Ｉ钪械闹匾饔?激勵(lì)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、學(xué)好文化知識(shí).2.讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、自主探究和合作交流,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,獲得知識(shí),體驗(yàn)成功,享受學(xué)習(xí)樂(lè)趣.【重點(diǎn)】運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角的問(wèn)題.【難點(diǎn)】運(yùn)用計(jì)算器處理三角函數(shù)中的值或角的問(wèn)題.導(dǎo)入一:如圖,工件上有一V形槽,AC=BC.測(cè)得它的上口寬AB為20mm,深CD為mm,求V形角(∠ACB)的大小.根據(jù)題意可得∠ACB=2∠ACD.在Rt△ACD中,tan∠ACD=ADCD=1019.2[過(guò)渡語(yǔ)]∠ACD的正切值不是特殊值,我們能不能求這個(gè)角呢?這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.導(dǎo)入二:【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1.列表寫(xiě)出30°,45°,60°角的三個(gè)三角函數(shù)值.2.通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí),我們知道當(dāng)銳角A是30°,45°,60°時(shí),可以求出它的三個(gè)三角函數(shù)值,如果銳角A不是這些特殊角,怎樣得到它的三角函數(shù)值呢?[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)生活實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活緊密相關(guān),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,通過(guò)復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值,引導(dǎo)學(xué)生思考不是特殊角的三角函數(shù)值如何求解,自然地引出本節(jié)課的內(nèi)容,讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).[過(guò)渡語(yǔ)]我們可以用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值,已知角的三角函數(shù)值也可以用計(jì)算器求出這個(gè)銳角,讓我們一起用計(jì)算器解決這些問(wèn)題吧!一、共同探究:用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值求出下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin18°；(2)cos21°28'30″；(3)tan30°36'.思路一通過(guò)自主學(xué)習(xí)完成求值.【師生活動(dòng)】獨(dú)立閱讀計(jì)算器的使用說(shuō)明,然后小組合作交流,按照使用說(shuō)明共同完成,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的答案作出點(diǎn)評(píng).解:(1)sin18°≈.(2)cos21°28'30″≈.(3)tan30°36'≈.【學(xué)生活動(dòng)】組長(zhǎng)出四個(gè)求銳角的三角函數(shù)值的題,小組成員用計(jì)算器完成后,小組內(nèi)交流答案.思路二教師結(jié)合計(jì)算器使用說(shuō)明講述用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值的方法.〔解析〕(1)利用計(jì)算器的sin鍵,并輸入角度值18,得到結(jié)果sin18°≈.(2)方法1:利用計(jì)算器的cos鍵,并輸入角的度、分、秒值(可以使用°'″鍵),得到結(jié)果cos21°28'30″≈.方法2:因?yàn)?1°28'30″=°,所以可以利用計(jì)算器的cos鍵,輸入角度值,得到結(jié)果cos21°28'30″≈.(3)方法1:利用計(jì)算器的tan鍵,并輸入角的度、分值(可以使用°'″鍵),得到結(jié)果tan30°36'≈.方法2:因?yàn)?0°36'=°,所以可以利用計(jì)算器的tan鍵,輸入角度值,得到結(jié)果tan30°36'≈.【學(xué)生活動(dòng)】組長(zhǎng)出四個(gè)求銳角的三角函數(shù)值的題,小組成員用計(jì)算器完成后,小組內(nèi)交流答案.[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生自主學(xué)習(xí)計(jì)算器使用說(shuō)明后,通過(guò)小組討論交流,學(xué)會(huì)用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值,培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及操作能力.二、共同探究:已知銳角的三角函數(shù)值求角度已知下列銳角三角函數(shù)值,求出其對(duì)應(yīng)的銳角的度數(shù).(1)sinA=；(2)cosA=；(3)tanA=.【師生活動(dòng)】獨(dú)立閱讀計(jì)算器的使用說(shuō)明,然后小組合作交流,按照使用說(shuō)明共同完成,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的答案作出點(diǎn)評(píng).解:(1)約為°或30°7'9″.(2)約為°或45°0'31″.(3)約為52°.【師生活動(dòng)】歸納操作方法,教師點(diǎn)評(píng).[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生閱讀計(jì)算器使用說(shuō)明書(shū)后,小組合作交流操作方法,歸納操作步驟,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作交流能力,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力.三、例題講解用計(jì)算器求出下列各角的三角函數(shù)值,說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn),并嘗試驗(yàn)證.(1)sin62°25'30″；(2)sin80°；(3)sin12°25'；(4)cos27°34'30″；(5)cos10°；(6)cos77°35'.【師生活動(dòng)】學(xué)生分別求出各三角函數(shù)值,然后觀察,尋找規(guī)律,小組內(nèi)合作交流答案,教師巡視過(guò)程中幫助有困難的學(xué)生,對(duì)學(xué)生的答案作出點(diǎn)評(píng),共同歸納出正確結(jié)論.【結(jié)論】(1)銳角α的正弦值隨著α的增大而增大；(2)sinα=cos(90°-α),其中α為銳角.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)例題的操作計(jì)算,加深用計(jì)算器求角的三角函數(shù)值的操作過(guò)程,觀察各銳角的三角函數(shù)值,探究歸納規(guī)律,讓學(xué)生明白許多數(shù)學(xué)規(guī)律可以運(yùn)用先進(jìn)的計(jì)算手段去發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納能力.[知識(shí)拓展](1)用計(jì)算器可以求出銳角的正弦值、余弦值、正切值,由于計(jì)算器的類(lèi)型不同,因此使用方法也不同,所以要根據(jù)計(jì)算器的使用說(shuō)明書(shū)來(lái)選擇按鍵順序.(2)使用計(jì)算器求出的值多數(shù)是近似值,具體計(jì)算中必須按要求確定近似值.(3)由于不同計(jì)算器的操作步驟不同,計(jì)算銳角的度數(shù)時(shí),若需要將單位表示為“度”“分”“秒”,最后需要按鍵°'″或組合鍵2ndF°'″.1.用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值.2.已知銳角的三角函數(shù)值用計(jì)算器求角度.1.用計(jì)算器求sin62°20'的值正確的是()2.已知tanA=,則∠A約為()°°°°3.用計(jì)算器求三角函數(shù)值(精確到.(1)sin23°≈；(2)tan54°53'40″≈.

4.已知sinα=,cosβ=,則α+β≈.(精確到1')

5.用計(jì)算器求銳角α(精確到1″).(1)若cosα=,則α≈；(2)若tan(2α+10°31'7″)=,則銳角α≈.

【答案與解析】解析:按計(jì)算器使用說(shuō)明依次按鍵得sin62°20'≈.故選A.解析:按計(jì)算器使說(shuō)明依次按鍵得∠A≈18°.故選B.3.(1)(2)解析:用計(jì)算器求得sin23°≈,tan54°53'40″≈.4.48°24'解析:用計(jì)算器分別求出α和β的值