《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析(學(xué)生版)

《電動(dòng)力學(xué)》知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析一、知識(shí)點(diǎn)歸納aBdt知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1：一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為：LH飛+J；（此為麥克斯V?B=0.韋方程組）；在沒有電荷和電流分布（p=0,J=0的情形）的自由空間（或均勻aB~dt介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為：L介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為：LH冷；（齊次的麥克斯韋方程組）V?D=0；V?B=0.知識(shí)點(diǎn)2：位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別。答：我們知道恒定電流是閉合的：V?J=0.（恒定電流）在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說(shuō)來(lái)，在非恒定情況下，由電荷守恒定律有VJVJ=-ap豐0.現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律：VxB=卩J.（@）取兩邊散度，由于0V-VxB三0，因此上式只有當(dāng)V-J=0時(shí)才能成立。在非恒定情形下，一般有V-J豐0，因而（@）式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，故應(yīng)修改（@）式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把（@）式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量J，它和電流DJ合起來(lái)構(gòu)成閉合的量V-J+J）=0,（*）并假設(shè)位移電流J與電流J一樣產(chǎn)DD生磁效應(yīng)，即把（@）修改為VxB=RJ+J）。此式兩邊的散度都等于零，因0D而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律

v-八鄉(xiāng)=0.v-八鄉(xiāng)=0.電荷密度P與電場(chǎng)散度有關(guān)系式V-E=E?兩式合起來(lái)0(得：V-J+￡3E、0dt丿二0?與（*）式比較可得JD的一個(gè)可能表示式T dEJ=￡ ?D0dt位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動(dòng)，而是電場(chǎng)的變化。它說(shuō)明，與磁場(chǎng)的變化會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生電場(chǎng)一樣，電場(chǎng)的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是電荷的流動(dòng)而產(chǎn)生的。JJ?dsJJ?ds￥V答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為：VVJ+空=dt恒定電流的連續(xù)性方程為：V?J二0知識(shí)點(diǎn)4：在有介質(zhì)存在的電磁場(chǎng)中，極化強(qiáng)度矢量p和磁化強(qiáng)度矢量M各的定義方法；P與p；M與j;E、D與p以及B、H與M的關(guān)系。P答：極化強(qiáng)度矢量p：由于存在兩類電介質(zhì)：一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù)電中心不重和，沒有電偶極矩。另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和，有分子電偶極矩，但是由于分子熱運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零，因而也沒有宏觀電偶極矩分布。在外場(chǎng)的作用下，前一類分子的正負(fù)電中心被拉開，后一類介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性，因此都出現(xiàn)宏觀電偶極矩分布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量P描述，它等于物理小體積AV內(nèi)的-Yp 一總電偶極矩與AV之比，P= J.p為第i個(gè)分子的電偶極矩，求和符號(hào)表示AVi對(duì)AV內(nèi)所有分子求和。磁化強(qiáng)度矢量M：介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀分子電流，由于分子電流取向的無(wú)規(guī)性，沒有外場(chǎng)時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外場(chǎng)作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成宏觀磁化電流密度J。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電M流i的小線圈，線圈面積為a,則與分子電流相應(yīng)的磁矩為：m=ia.介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積AV內(nèi)的總磁偶極矩與AV之比，

工工m

M=i.AVVxM,D=sE+P,H二知識(shí)點(diǎn)5：導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：nx答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：nxE=0,(n?D=cnxH=a.(n?B=0.丿。它們可以形象地表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識(shí)點(diǎn)6：在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)p不依賴于方位角?，這種情形下拉氏方程的通解。答知識(shí)點(diǎn)6：在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)p不依賴于方位角?，這種情形下拉氏方程的通解。答p(R,0,?)=工］a拉氏方bRn+nm-nm Rn+1丿n,m程在球坐標(biāo)中的-Pm(cos0)cosm?+工nn,m般解為：(

cnmRn+人｝Rn+1丿Pm(cosG)sinm?n式中a,b,c和d為任意的常數(shù)，在具體的問(wèn)題中由邊界條件定出。Pm(cos9)nmnmnmnm n為締合勒讓德函數(shù)。若該問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)P不依賴于rb)

aRnrb)

aRn+——n—(n Rn+1丿a和b是任意常數(shù)，由nnP(co?)P(a和b是任意常數(shù)，由nnnn邊界條件確定。知識(shí)點(diǎn)7：研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì)A的根據(jù)；矢勢(shì)A的意義。答：引入矢勢(shì)A的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無(wú)源性。矢勢(shì)A的意義為：它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A(x)值沒有直接的物理意義。知識(shí)點(diǎn)8：平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面，也就是說(shuō)在垂直于波的傳播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；(2)E和B同相，振幅比為v；(3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。

知識(shí)點(diǎn)9：電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴的因素。答：區(qū)別:（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒有能量的損耗，電磁波可以無(wú)衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo)體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場(chǎng)作用下，自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn)生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在導(dǎo)體中）。在傳播的過(guò)程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴于：電導(dǎo)率和頻率。知識(shí)點(diǎn)10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式。B=VxA答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式為：\E=_V_5A知識(shí)點(diǎn)11：推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。（ r、口v'4k8r0/r\-px'口v'4k8r0/r\答：推遲勢(shì)為：Jx',t——―C^v'rA（―C^v'r4兀TOC\o"1-5"\h\z□人 1Q2A_ 丁V2A— =—|lxJ\o"CurrentDocument"c2 Qt2 0口 1Q2申 p達(dá)朗貝爾方程為：\2申一 =達(dá)朗貝爾方程為：\c2Qt2 &（ 1 Q申'V?A+——=0c2 Qt 丿知識(shí)點(diǎn)12：愛因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過(guò)力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無(wú)法覺察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過(guò)的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑傧鄬?duì)于任何慣性系沿任一方向恒為c,并與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)13：相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式。

答：坐標(biāo)變換公式(洛倫茲變換式)：x-vtx'=x答：坐標(biāo)變換公式(洛倫茲變換式)：x-vtx'=x'+vt'；1-上|C2洛倫茲反變換式：z=z'vt-x

c2vt'+x'c2■1-V!' C2u-v x vuTOC\o"1-5"\h\z1— xC2- V2u1—-速度變換公式：＜y c2速度變換公式：＜vu1— xC2打V2u'1--z■C2vu1— xC2知識(shí)點(diǎn)14：導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性。基本假設(shè)為：光速不變?cè)?狹義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是c作為基本假設(shè)，這就是光速不變?cè)?、空間是均勻的并各向同性，時(shí)間是均勻的、運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系：伽利略變換是存在于經(jīng)典力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對(duì)論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系S'(即物體)運(yùn)動(dòng)的速度V?C時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換，也就是說(shuō)，若兩個(gè)慣性系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識(shí)點(diǎn)15：四維力學(xué)矢量及其形式。答：四維力學(xué)矢量為：(1)能量－動(dòng)量四維矢量(或簡(jiǎn)稱四維動(dòng)量)：(i、、亠亠，= dxdx、一，、p=p,—W(2)速度矢量：U=——=丫——(3)動(dòng)量矢量:p=mU(4)卩Ic丿 卩di dt m0m四維電流密度矢量：J=pU,J=J,icp)(5)四維空間矢量：x=(x,ict)(6)m0mmm

四維勢(shì)矢量：A廠7四維勢(shì)矢量：A廠7)反對(duì)稱電磁場(chǎng)四維張量：4—亠dx dx8)四維波矢量：知識(shí)點(diǎn)16：事件的間隔：答：以第一事件P為空時(shí)原點(diǎn)(0，0，0，0);第二事件Q的空時(shí)坐標(biāo)為：(x,y,z,t),這兩事件的間隔為：S2二C212—X2—y2—Z2二C212—r2式中的r=fx2+y2+z2為兩事件的空間距離。兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r=ct，因而s2=0(類光間隔)；若兩事件可用低于光速的作用來(lái)聯(lián)系，有r<ct，因而有s2>0(類時(shí)間隔)；(a)絕對(duì)未來(lái)；(b)絕對(duì)過(guò)去。若兩事件的空間距離超過(guò)光波在時(shí)間t所能傳播的距離，有r>ct，因而有s2<0(類空間隔)。知識(shí)點(diǎn)17：導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：(1)導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；(2)導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；(3)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：”常量；<沁8——=Y.、dn知識(shí)點(diǎn)18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：采用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：(1)庫(kù)侖規(guī)范：輔助條件為v.A=0.(2)洛倫茲規(guī)范：輔助條件為：v?A+丄竺=0.c2dt

了1a2av2A——例如：對(duì)于方程組： c2at2v2?了1a2av2A——例如：對(duì)于方程組： c2at2v2?+—v^A=-pat-v(v?A+丄譽(yù)）=-卩Jc2at 0（適用于般規(guī)范的方程組）。若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得：qc2dt2 c2dtv3?=-E8-0(v?A=0)v?=-yJ0v2A-1a2Ac2at2若采用洛倫茲規(guī)范，可得：v2申一c2at2此為達(dá)朗貝爾方程）。v?A+c2at答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說(shuō)，該區(qū)域是沒有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：LXo知識(shí)點(diǎn)20：動(dòng)鐘變慢：S'系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即S'系中同一地點(diǎn)x'二x'，先后21（t'豐t'）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔t'-1'在S系的觀測(cè):2121()V()(t'-1')+X'-x'丿—十 2 1 C2 2 1At—t—1-V!■c2=x1-V!■c2=x'1t'-t'?It—t=2 121?/x2AtIV21-C2(At=t'-1')V2 2 1:1-C2At稱為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔，At>At.知識(shí)點(diǎn)21：長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短）

尺相對(duì)于S'系靜止，在S'系中觀測(cè)l'=x'-x'在S系中觀測(cè)t二t即兩端位'2121J置同時(shí)測(cè)定?/X'-X'—"2"1_l=l1-^―(x'-x'=l,X-x=l)2 1 | V2 °\ C22 1 02 1Y1-云l稱為固有長(zhǎng)度，固有長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即l>l。00知識(shí)點(diǎn)22：電磁場(chǎng)邊值關(guān)系(也稱邊界上的場(chǎng)方程)nx(E-E)=0,21nx(H—H)=a,21n?(D-D)=c,21n?(B-B)=0.21知識(shí)點(diǎn)24：電磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：w=8E2=丄B2_￡￡平面電磁波的能流密度為：S=ExH=Ex(nxE)= E2n.能量密度和能流密度的平均值為：TOC\o"1-5"\h\z_ 1 1廠w=—sE2= B2,2 0 2H0-1 - - 1TS=Re(E*xH)= E2n.2 2\H0知識(shí)點(diǎn)25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn)：電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H不同時(shí)為橫波。通常選一種波模為E=o的波，稱為橫電波(TE)；z另一種波模為H=0的波，稱為橫磁波(TM)。z知識(shí)點(diǎn)26：截止頻率①定義:能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率w稱為該波模的截止頻率。c②計(jì)算公式:(m,n)②計(jì)算公式:(m,n)型的截止頻率為:wc,mn；若a>b,則TE1011波有最低截止頻率一w= =.若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為c2a，2兀 c，10 2a.jHS

相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：九二2a.（在波導(dǎo)中能夠通過(guò)的最大波長(zhǎng)為2a）c,10?E=—;知識(shí)點(diǎn)28：靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)： q0（此為微分表達(dá)式）xE=0.V?B=0;穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無(wú)源有旋場(chǎng)： ’（此為微分表達(dá)式）VxB=roj.I:1一知識(shí)點(diǎn)29:相對(duì)論速度變換式：q知識(shí)點(diǎn)29:相對(duì)論速度變換式：q■■?dt' 1-vuc2'xdx'u-vt= = x dt' vu1— c2lIV2'1—-,■C2其反變換式根據(jù)此式=dz_==dt' 1-vuc2xuxqu。yuz知識(shí)點(diǎn)30：麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。JE?dl=—JaB?dsat弋 a弋 aEj+8 ——oat?dsJB?dl=pJ答：麥克斯韋方程組積分式為：L 0?dsJE?ds=—JpdV8S oVJB?ds=0

麥克斯韋方程組微分式為：VxBa麥克斯韋方程組微分式為：VxBaBdtaE0atv?E=—&0v?B=0依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析1、證明題：1、試由畢奧一沙伐爾定律證明v?B=0證明由式=比JJ(x')xV丄dv證明由式=比JJ(x')xV丄dv'4兀 r又知：Vx[人')1]=fv1]_ r」ir丿xJ(x')因此uB=―Vx

4兀A=叮J人')dv'=vxA式中V?B=V?(VxA)=0所以原式得證。aA2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式E=5飛.證：在一般的變化情況中，電場(chǎng)E的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng)E]—方面受到電荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A在內(nèi)。B=VxB=VxA式代入VxE=—竺得：Vatxfe+aA]iat丿=0，該式表示矢量E+時(shí)是無(wú)旋場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)。描述，E盲=6。因此，在一般情況下電場(chǎng)的表示式為：E=—“盲.。即得證。

3、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式l二lJ-V2。0、C2答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物體沿X軸方向運(yùn)動(dòng)，以固定于物體上的參考系為&。若物體后端經(jīng)過(guò)P點(diǎn)（第1一事件）與前端經(jīng)過(guò)P點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于Y同時(shí)，則PP定義為S上測(cè)得的212物體長(zhǎng)度。物體兩端在&上的坐標(biāo)設(shè)為x'和x'。在E上P點(diǎn)的坐標(biāo)為x，P點(diǎn)12112的坐標(biāo)為x，兩端分別經(jīng)過(guò)P和P的時(shí)刻為t二t。對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲21212變換式得x'=xi—叫,x'=匸匸2，兩式相減，計(jì)及t=t，有TOC\o"1-5"\h\z1 1-上2 1_蘭 1 2C2 C2x'-x'—*匚（*）式中x-x為E上測(cè)得的物體長(zhǎng)度/（因?yàn)樽鴺?biāo)x和x是在E21 v2 21 12■1—C2上同時(shí)測(cè)得的），x'-x'為&上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度/。由于物體對(duì)y靜止，210所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻嚴(yán)沒有任何限制。由（*）式得1=2-C2。4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系E=-V申.答：由于靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，得：E?d1=0設(shè)C和C為由P點(diǎn)到P點(diǎn)的兩條不1212同路徑。C與一C合成閉合回路，因此fE?dl-fE?dl=012fE?fE?dl=fE?dl1因 此2 ，電荷由CCC1 C2P點(diǎn)移至P點(diǎn) 時(shí)電場(chǎng)與對(duì)路它徑只和兩端點(diǎn)有關(guān)。把單位正電12荷由P點(diǎn)移至P,電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為：fE?dl,這功定義為P點(diǎn)和P點(diǎn)的電1212P1勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì)P下降。由此，（p（P）-^（P）=-fE?dl由21P1這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒有物理意義的。相距為dl的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為 dp=-E?dl.由于d^=—dx+—dy+—dz=Vp?dl,因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)申的負(fù)梯度dx dy dzE=-Vp.5、 試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì)A的微分方程V2A=-心。答：已知恒定磁場(chǎng)方程VxB=卩J(1)(在均勻線性介質(zhì)內(nèi))，把0B=VxA(2)代入D得矢勢(shì)A的微分方程Vx(VxA)=卩J.由矢量分析公式Vx(VxA)=V(V?A)-V2A.若取A滿足規(guī)范條件V?A=0，得矢勢(shì)A的微分方V2A=—卩J-程(V?A=0)6、試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系6dP2-6竺=-62dp1dn證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為："X”2E (*)式可寫為D-D=b(@)n?'D一D厶b.(*) 2n1n21式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用D=6E及E=-Vp，可用標(biāo)勢(shì)將(@)表為：dp dp6 2-6 1=-b.2dp 1dn1勢(shì)的邊值關(guān)系即得證。7、試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程V2p=-E。6答：已知靜電場(chǎng)方程為：；VxE=0,⑴并知道E=-Vp.(3)在均勻各向同性線[V?D=P.(2)性介質(zhì)中，D=6E，將(3)式代入(2)得V2p=-P，p為自由電荷密度。6于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。

8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。V?E(x)=叢衛(wèi)8表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)dB(x)表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)答：麥克斯韋方程組＜VxE(x)=—答：麥克斯韋方程組＜V?B(x)=0” ()VxB(x)=卩j(x)+8卩dE—0 00dtdt導(dǎo)，得到d(VxB(x))=8dt卩竺理"，從上面兩個(gè)方程消去d(VXB"》，得到00dt2dtdt導(dǎo)，得到d(VxB(x))=8dt卩竺理"，從上面兩個(gè)方程消去d(VXB"》，得到00dt2dtV2E(x)V2E(x)-89、9、nx(E-E)=0；n?(D-DL；n?(B-B)=0.212121?.JD?ds=JpdVS V解：即：Asn-D-Asn-D=8as.解：???n-yd-D)=821fD-D=8TOC\o"1-5"\h\z2n 1n對(duì)于磁場(chǎng)B,把JB-ds=0應(yīng)用到邊界上無(wú)限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以上推導(dǎo)可得：b-b即:n-(b-B)=02n 1n 2 1作跨過(guò)介質(zhì)分界面的無(wú)限小狹長(zhǎng)的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)為Al,短邊邊長(zhǎng)為A'。因?yàn)镴E-dl=0,作沿狹長(zhǎng)矩形的E的路徑積分。由于A'比A小得多，當(dāng)A'T0時(shí)，E沿A'積分為二級(jí)小量，忽略沿Al'的路徑積分，沿界面切線方向積分為：EAl-EAl=0即：2t 1t

E-E-0,(*)。(*)可以用矢量形式表示為：怎-E丿t=0(@)2t 1t 21式中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。令矩形面法線方向單位矢量為t'，它與界面相切，顯然有t二nxt'(#)將(#)式代入(@)式，貝U(-E)(txt丄0,($)，利用混合積公式21A xC)=C.GxB),改寫(#)式為：t' -E)xnLo此式對(duì)任意t'都成立,21因此(-E)xn二o，此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。2110、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程v2E+k2E=o答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有D=SE,B*H，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程：E(X，t)=E()-iWt'代入麥?zhǔn)螧Vx,t丿=BVx)e-iwt.” °Bx” °BxE=--Qt6DQt方程組jVxH=V?D=0,VxE=iw^H,消去共同因子e-iwt后得fxH=-iW8E'在此注意一點(diǎn)。?E=0,?H=0.V.B=0.在w鼻0的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于V?(VxE)=0，因而V.H=0，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。取第一式旋度并用第二式得 Vx(VxE)=w2茁E 由Vx(VxE)=V(V?E)-V2E=-V2E，上式變?yōu)槭?,此為亥姆霍茲方[k=wj茁.程。11、 設(shè)A和9是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Z(x,t)(赫茲矢量)，若令9=V茲矢量)，若令9=V?Z,證明A=1QZc2Qt證明：A和甲滿足洛倫茲規(guī)范，故有▽?A+丄空=0.

c2dt申二—v?Z代入洛倫茲規(guī)范，有:▽?A+丄?◎（▽?Z）=0,即▽?A=v?（丄理c2dt （C2dt丿7 1dZ/.A= .c2dt2、2、計(jì)算題：1、真空中有一半徑為R接地導(dǎo)體球，距球心為a（a>R）處有一點(diǎn)電荷Q,求00空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷Q'來(lái)代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用。由對(duì)稱性，Q'應(yīng)在OQ連線上。關(guān)鍵是能否選擇Q'的大小和位置使得球面上申=0的條件使得滿足？考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求—+Q=0.式中r為Q到P的距離，rr'r'為Q'到P的距離。因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有—二-—二常數(shù)。（1）由圖可看rQ出，只要選Q'的位置使AOQ'P?AOPQ,則r'R二=7=常數(shù)。（2）設(shè)Q'距球心為b，兩三角形相似的條件為ra—=Ro,或b=竺.（3）由（1）和（2）式求出Q'=-RQ.（4）（3）和（4）式確Ra a a0定假想電荷Q'的位置和大小。由Q和鏡象電荷Q'激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上申=0的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn)p的電勢(shì)是:申=14K80r ar申=14K80r ar'14K80_QvR2+a2一2Racos0RoQa\R2+b2一2Rbcos0式中r為由Q到P點(diǎn)的距離，r'為由Q'到P點(diǎn)的距離，R為由球心0到P點(diǎn)的距離,0為OP與OQ的夾角。4、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場(chǎng)的散度。解：作半徑為r的球(與電荷球體同心)。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E,并沿徑向。當(dāng)r>a時(shí),球面所圍的總電荷為Q,由高斯定理得LE-ds=4兀r2E=—,80因而E= ,寫成矢量式得E= .(r>a)@)4兀8r2 4兀8r300若r<a,則球面所圍電荷為：-兀r3p=4兀r3J=亜3 3 4丁 a3兀a33應(yīng)用咼斯定理得：1：E-ds=4兀r2E=°丫.8a3

0由此得E二纟二.(r<a)*)4兀8a3

0現(xiàn)在計(jì)算電場(chǎng)的散度。當(dāng)r>a時(shí)E應(yīng)取(@)式，在這區(qū)域r豐0，由直接計(jì)算可得V- =0,(r豐0)r3因而 V?E=-^V-—=0.C>a)4兀8 r30當(dāng)r<a時(shí)E應(yīng)取Q式，由直接計(jì)算得V-E= V-r= =E(<a)4兀8a3 4兀8a3800010、靜止長(zhǎng)度為l的車廂，以速度V相對(duì)于地面S運(yùn)行，車廂的后壁以速度為U00向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解:S系的觀察者看到長(zhǎng)度為/V1-P2的車廂以VC=Vi)運(yùn)動(dòng)，又看到小球以0十u=ui追趕車廂。???小球從后壁到前壁所需的時(shí)間為：u-vvuAt=c2u+vu=l■u,