球的表面積和體積【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（Word含解析）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)球的表面積和體積同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________一．選擇題若球的半徑為2，則此球的表面積是(????)A.12π B.16π C.16π3 D.若圓錐的高擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，底面半徑縮短為原來(lái)的12，則圓錐的體積

(

)A.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍 B.縮小為原來(lái)的12

C.縮小為原來(lái)的16 若一個(gè)四面體的各棱長(zhǎng)都為2，且該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為

(

)A.3π B.4π C.33π 一個(gè)球的外切正方體的全面積等于24，則此球的體積為(????)A.43π B.23 C.π《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中有很多對(duì)幾何體體積的研究，已知某囤積糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為32π，高為h的圓柱，上面是一個(gè)底面積為32π，高為h的圓錐，若該容器有外接球，則外接球的體積為(????)A.36π B.6423π C.288π已知實(shí)心鐵球的半徑為R，將鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R、高為h的圓柱，則hR=(

)A.32 B.43 C.54在球內(nèi)有相距1?cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別是5π?cm2和8π?cm2，若球心不在截面之間，則球的表面積是

A.36π?cm2 B.27π?cm2 C.若頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(

)A.16π B.20π C.24π D.32π過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(????)A.316 B.916 C.38已知正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積相等，它們的表面積分別為S正，S柱，S球，則下列不正確的是

(A.S正<S球<S柱 B.半徑為6的球的兩個(gè)內(nèi)接圓錐有公共的底面，若兩個(gè)圓錐的體積之和為球的體積的38，則這兩個(gè)圓錐的高之差的絕對(duì)值為

(

)A.2 B.4 C.6 D.8一平面截一球得到直徑是6?cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4?cm，則該球的體積是(????)A.100π3cm3 B.208π3c(多選)如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說(shuō)法正確的是(????)體積之比32B.體積之比23

C.表面積之比32二．填空題圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是______cm．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=1，AC=3已知球的表面積為4π，則它的半徑等于

，它的內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積的最大值為

．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24?cm，深為8?cm的空穴，則該球的表面積為________cm2．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________________．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2，則兩圓的圓心距等于______．已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為52π，AB=1.若△ABC外接圓圓心O1在AC上，半徑r1=1，則外接球球心到O三．解答題如圖，圓柱的底面半徑為r，球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．

(1)計(jì)算圓柱的表面積；(2)計(jì)算圓錐、球、圓柱的體積之比．

正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為26，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求：

(1)棱錐的表面積；

(2)內(nèi)切球的表面積與體積．

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】

本題考查球的表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合已知球的半徑為2直接代入球的表面積公式計(jì)算即可．

【解答】

解：因?yàn)榍虻陌霃綖?．

所以球的表面積為．

故選B．

2.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查圓錐的體積公式，屬基礎(chǔ)題．

先求出原來(lái)圓錐的體積，再求出變化之后圓錐的體積，即可解得此題．

【解答】解：設(shè)原圓錐的高為h，底面半徑為r，

體積為V=13πr2h，

則變換后的圓錐的高為2h，底面半徑為12r，

體積為13【解析】【分析】

本題主要考查球的應(yīng)用，熟悉球的表面積公式是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

將四面體補(bǔ)成正方體，求出半徑即可求解．

【解答】

解：如圖，將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)是1，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為3，

則此球的表面積為：4π(32)2=3π，

故選A．

【解析】解：設(shè)球的半徑為R，則正方體的棱長(zhǎng)為2R，

所以球的外切正方體的全面積等于6×2R×2R=24，解得R=1．

故此球的體積為V=43πR3=43π．

故選：A．

【解析】【分析】

本題考查外接球的體積的求法，考查圓柱、圓錐及外接球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

根據(jù)圓柱與圓錐和球的對(duì)稱性知其外接球的直徑是3h，利用勾股定理求得h和外接球的半徑，再計(jì)算外接球的體積．

【解答】

解：如圖所示，根據(jù)圓柱與圓錐和球的對(duì)稱性知，

其外接球的直徑是2R=3h，

設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l=h，

則πr2=32π，解得r=42，

又l2+(2r)2=(3h)2，

∴h2+(82)2=9h2，

解得h=4【解析】【分析】

本題考查圓柱的高與球半徑的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

由球和圓柱的體積相等，有43πR3=πR2h，由此能求出結(jié)果．

【解答】

解：由球和圓柱的體積相等，有43πR3=π【解析】解：由題意畫軸截面圖，

截面的面積為5π，半徑為5，

截面的面積為8π的圓的半徑是22，

設(shè)球心到大截面圓的距離為d，

球的半徑為r，則5+(d+1)2=8+d2，

∴d=1，∴r=3，

∴球面的面積是4πr2=36π

故選：A．【解析】【分析】

本題考查學(xué)生空間想象能力，四棱柱的體積，球的表面積，屬于基礎(chǔ)題．

先求正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，然后求其對(duì)角線，就是球的直徑，再求其表面積．

【解答】

解：正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長(zhǎng)為2，

正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為22+22+42=26，

∴球的半徑為6，球的表面積是，【解析】【分析】

本題考查球表面積的計(jì)算，考查球的特定截面圓的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

由題意設(shè)出球的半徑，圓的半徑，利用勾股定理找出圓的半徑和球的半徑的關(guān)系，然后可求球的表面積，截面面積，再求二者之比．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為R，圓的半徑r，

由圖可知，R2=14R2+r2，

∴34R2=r2，∴S球【解析】【分析】

本題考查正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積、表面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．利用正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積、表面積公式，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：正方體的棱長(zhǎng)為a，體積V=a3，S正=6a2=63V2，

等邊圓柱(軸截面是正方形)的高為2h，體積V=π?h2?2h=2π【解析】【解析】

本題考查圓錐與球的體積，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．

設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，上面圓錐的高為h，在△OO1C中，求得r2=2Rh-h2.寫出兩個(gè)圓錐的體積和，再由體積比求得h與R的關(guān)系得答案．

【解答】

解：

設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，上面圓錐的高為h，

則下面圓錐的高為2R-h，

在△OO1C中，有R2=r2+(R-h)2，得2Rh=r2+h2．

兩個(gè)圓錐體積和為V1=13πr2?2R=1【解析】【分析】

本題考查球的體積，考查計(jì)算能力．利用條件：球心到這個(gè)平面的距離是4cm、截面圓的半徑、球的半徑、求出球的半徑，然后求出球的體積．

【解答】

解：一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，

就是小圓的直徑為6，

又球心到這個(gè)平面的距離是4cm，

所以球的半徑是：5cm，

所以球的體積是：43π×53=500π3cm【解析】【分析】

本題考查球和圓柱的體積以及表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，分別計(jì)算球和圓柱的體積以及表面積，再求比值，即可得到答案．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，

∴V圓柱=πR2×2R=2πR3，V球=43πR3．

∴V【解析】【分析】

本題考查幾何體的體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題．

設(shè)出球的半徑，三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可．

【解答】

解：設(shè)球半徑為r，則由3V球+V水=V柱可得3×43π【解析】解：由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AB=1，AC=3，∠BAC=π2，

可得BC=2，

設(shè)底面ABC的小圓半徑為r，則2=2r，可得r=1；

連接兩個(gè)底面中心的連線，中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線就是球的半徑R，

則R=12+(22)2=2

∴外接球的表面積S=4πR2【解析】【分析】本題主要考查空間幾何體的特稱、長(zhǎng)方體與球的表面積，考查了空間想象能力，屬于中檔題．由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，由題意得R=1，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以a2所以長(zhǎng)方體的表面積S=2ab+2bc+2ca≤a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”號(hào)成立．故答案為1；8．

17.【答案】676π【解析】【分析】

本題考查球的幾何特征，球的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)球的半徑為Rcm，由將球取出，留下空穴的直徑為24cm，深8cm，可得截面圓的半徑r=12cm，球心距d=R-8cm，進(jìn)而由勾股定理可構(gòu)造關(guān)于R的方程，可求得R，利用球的表面積公式求解即可．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為Rcm，

由將球取出，留下空穴的直徑為24cm，深8cm

則截面圓的半徑r=12cm，球心距d=R-8cm，

由R2=r2+d2得：R2=144+(R-8)2，

即208-16R=0，【解析】【分析】本題考查長(zhǎng)方體的外接球的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為R，則2R=32+22+12=14，由此求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為R，則2R=【解析】解：設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則OO1EO2為矩形，

于是對(duì)角線O1O2=OE，而OE=OA2-AK【解析】【分析】

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

由題意可得，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，由其外接球的表面積求得側(cè)棱長(zhǎng)，即可求解外接球球心到O1的距離以及棱柱體積．

【解答】

解：如圖，

∵△ABC外接圓的圓心O1在AC上，

∴O1

為AC的中點(diǎn)，且△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形，

由半徑r1=1，得AC=2，又AB=1，∴BC=3．

把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，設(shè)BB1=x，

則其外接球的半徑R=1212+(3)2+x2．

又直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為52π，

∴4πR2=52π，即R=13．

∴12x2+4=13，解得x=43．

則接球球心到O1的距離為為AA12=23，

∴【解析】(Ⅰ)由已知可得圓柱和圓錐的高為h=2r，圓錐和球的底面半徑為r，直接由圓柱表面積公式求得圓柱的表面積；

(Ⅱ)分別求出圖中圓錐、球、圓柱的體積，作比得答案．

本題考查柱、錐、球體積的求法，考查圓柱表面積的求法，是中檔題．

22.【答案】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，

連接并延長(zhǎng)AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的