第三章：靜定梁和靜定剛架

第三章靜定梁和靜定剛架

主要任務

：要求靈活運用隔離體的平衡條件，熟練掌握靜定梁內力圖的作法。分析方法：按構造特點將結構拆成桿單元，把結構的受力分析問題轉化為桿件的受力分析問題。1.反力以整體為研究對象，利用靜力平衡條件求支座反力（簡支梁、外伸梁）3-1單跨靜定梁三個支座反力整體隔離體——平衡方程求解隔離體受力圖a.全部聯(lián)系（約束）要截斷，以相應的約束力代替b.全部所受的力要畫全（荷載、約束力）c.未知力按正方向假設，已知力按實際方向畫（包括前面步驟求出的力）

——未知力結果符號即未知力符號（正，負）

——M的方向確定桿件的受拉面2.內力

(1)截面法，取隔離體利用靜力平衡條件求截面內力(a)ABF1FBmnKFAYFAXF2(b)F1AFNFSKFAXMFAY內力符號規(guī)定：（2）M、FS、FN圖正負號規(guī)定FNFNFFFSFSFSFSMMMM

①彎矩M：對梁而言，使桿件上凹者為正（也即下側纖維受拉為正），反之為負。一般情況下作內力圖時，規(guī)定彎矩圖縱標畫在受拉一側，不標注正負號。

②剪力FS：使截開后保留部分產生順時針旋轉者為正，反之為負。

③軸力FN

：拉為正，壓為負。剪力圖和軸力圖可繪在桿軸的任意一側，但必須標注正負號。

（2）在q(x)＝常量段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。其凹下去的曲線象鍋底一樣兜住q(x)的箭頭。

（3）集中力作用點兩側，剪力值有突變、彎矩圖形成尖點；集中力偶作用點兩側，彎矩值突變、剪力值無變化。

（1）在無荷區(qū)段q(x)＝０，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。3.內力與外力間的微分關系及內力圖形狀判斷l(xiāng)/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載作用點M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。2、集中力矩作用點M圖有一突變，力矩為順時針向下突變；Q圖沒有變化。3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；Q圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜幾種典型彎矩圖和剪力圖繪制內力圖的一般步驟：（1）求反力：三個平衡方程（2）分段：不連續(xù)點（集中力及力偶作用點，均布荷載的起止點）（3）定點：截面法求內力（4）連線：直線或曲線

畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mm=12kN.mq=6kN/mFAFB4m解：取整體BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs圖M圖B6kN18kN⊕○－⊕3m5512kN.m24kN.m27kN.mFAFs2AAC：MBFs4CB：MC左Fs3MC右AFA55Fs5M5FBq例畫圖示梁的剪力圖和彎矩圖。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整體Fs圖M圖2mB4455DAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs圖M圖2mB4455DFA33Fs3M3AP⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

圖M圖2mB4455DFA44Fs

4M4AP⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m例畫圖示梁的內力圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整體，FAFC4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs圖M圖(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕FAl/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載作用點M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。2、集中力矩作用點M圖有一突變，力矩為順時針向下突變；Q圖沒有變化。3、均布荷載作用段M圖為拋物線，荷載向下曲線亦向下凸；Q圖為斜直線，荷載向下直線由左向右下斜幾種典型彎矩圖和剪力圖3m3m4kN4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m（1）集中荷載作用下（2）集中力偶作用下（3）疊加得彎矩圖分段疊加法作彎矩圖分段疊加法對直桿任何區(qū)段都適用。MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM任意直桿段——適用疊加法作M圖（1）求控制截面值

外力不連續(xù)點

（F,M作用點，

q的起點，終點等）

（考慮全部荷載）（2）分段畫彎矩圖 控制截面間無荷載

——連直線 控制截面間有荷載(q、F)

——連虛線，

——再疊加標準M0圖5．繪制內力圖的一般步驟（1）求反力（懸臂梁可不求）（2）分段

——外力不連續(xù)點：q端點，F、M作用點（3）定點

——求控制截面內力值（全部荷載）（4）連線

——按微分關系連直線 曲線：連虛線，疊加簡支梁M0圖例用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖2m8kN.m解：將梁分為AC，BC兩段。先求支座反力。FAFB例用疊加法畫圖示梁的彎矩圖。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM圖16kN.m4kN.m⊕2m8kN.m⊕4kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN作剪力圖作彎矩圖CE段有均布荷載，利用疊加法作彎矩圖，D截面的彎矩值為：由數學計算：CE段Mmax=36.1kN·m（2）作彎矩圖

CE段有均布荷載，利用疊加法作彎矩圖D截面的彎矩值為：由數學計算：CE段Mmax=36.1kN·m（2）作彎矩圖例題:試繪制圖示外伸梁的內力圖。

解：（1）計算支座反力

校核：（2）作彎矩圖選擇A、C、D、B、E為控制截面，計算出其彎矩值。（3）作剪力圖選擇A、C、D、B、E為控制截面，計算出其剪力值。60202.532.52510KN/m4m20KN30KN.m2mVB=33.75KNCBADEM(KN.m)Q(KN)2m3m2013.7526.25VA=26.25kNHA=0*斜梁的內力計算

計算斜梁或斜桿的方法仍然是截面法。與水平桿相比，不同點在于斜梁或斜桿的軸線是傾斜的。計算其軸力和剪力時，應將各力分別向截面的法向、切向投影。

工程中，斜梁和斜桿是常遇到的，如樓梯梁、剛架中的斜梁等。斜梁受均布荷載時有兩種表示方法：（1）按水平方向分布的形式給出（人群、雪荷載等），用q表示。（2）按沿軸線方向分布方式給出（自重、恒載），用q’表示。[例題]試繪制圖示斜梁內力圖。（1）求支座反力：αVAHACDql/3l/3l/3ABVB（2）AC段受力圖：（3）AD段受力圖：αVAVAcosαVAsinαHAHAcosαHAsinαQCMCNCCHAcosααVAVAcosαVAsinαHAHAsinαQCMCNCCDql2cosα/3ql2/3ql2sinα/31.定義

公路橋梁

§3.2多跨靜定梁多跨靜定梁：若干單跨梁用中間鉸相聯(lián),并用若干支座與基礎相聯(lián)而組成的靜定梁。ABCD房屋建筑結構中的木檁條

2.靜定多跨梁的特點(1)幾何組成：附屬部分由基本部分及附屬部分組成層次圖附屬部分是支承在基本部分的，要分清構造層次圖。F1（2）受力分析（b）（a）F1VBVCF2F2■基本部分上的荷載不影響附屬部分受力?！龈綄俨糠稚系暮奢d影響基本部分受力。3.多跨靜定梁基本組成形式

a.基本－附屬部分——交互排列

b.基本－附屬部分——依次排列多跨靜定梁的計算原則計算的次序與構造的次序相反。內力圖：將各單跨梁的內力圖連在一起，就是多跨梁的內力圖。對多跨靜定梁進行受力分析:

荷載在基本部分上，只基本部分受力，附屬部分不受力；荷載在附屬部分上，除附屬部分受力外，基本部分也受力。組成次序：先固定基本部分，后固定附屬部分。保證幾何不變。計算原則：先計算附屬部分，后計算基本部分。保證方程求解。例3-2試作圖示多跨靜定梁的內力圖。解：(1)多跨梁各部分的關系:(2)對各部分進行受力分析：基本部分附屬部分先附屬，后基本1018105先求控制截面彎矩，再區(qū)段疊加12MG=-5*4+7.5*2=-5G由彎矩圖斜率或桿段平衡條件得剪力圖2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC2025520502020k

N/mFGH1020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m構造關系圖205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M圖（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540例3-3：圖示多跨靜定梁全長受均布荷載q，各跨長度均為l。欲使梁上最大正、負彎矩的絕對值相等，試確定鉸B、E的位置。(優(yōu)化設計題）由MC=M1，可求得x多跨簡支梁

多跨靜定梁與一系列簡支梁相比，材料用量可減少，但構造要復雜些。=>MC=0.0858ql2例3-4作圖示多跨靜定梁的內力圖，并求出各支座的反力。方法：懸臂部分直接畫；中間鉸處的彎矩必定為零；無荷載區(qū)域彎矩為直線，剪力相同則彎矩斜率相同，疊加法(BC段)。由彎矩圖到剪力圖方法同前如何求支座C反力?注意:支座C左,右截面剪力方向

剛架是由梁和柱以剛性結點相連組成的，其優(yōu)點是將梁柱形成一個剛性整體，使結構具有較大的剛度，內力分布也比較均勻合理，便于形成大空間。(a)(b)(c)(d)(e)

下圖是常見的幾種剛架：圖（a）是車站雨蓬，圖（b）是多層多跨房屋，圖（c）是具有部分鉸結點的剛架。剛架結構優(yōu)點：（1）內部有效使用空間大；（2）結構整體性好、剛度大；（3）內力分布均勻，受力合理。3.3靜定平面剛架平面剛架結構特點：靜定剛架的計算方法

先求出支座反力,然后采用截面法,由平衡條件求出各桿端的內力,就可畫出內力（彎矩,剪力和軸力）圖。內力正負號的規(guī)定：

軸力以拉力為正；彎矩不定義正負號，只將彎矩圖畫在受拉纖維的一側。剪力以對該截面有順時針轉動的趨勢為正；

軸力圖與剪力圖可畫在桿件的任一側,須注明正負號。原則上與靜定梁相同2.剛架的支座反力圖示三鉸剛架有四個未知反力整體平衡方程求FyA

和FyB利用右半邊剛架作隔離體，則圖示剛架為多跨剛架剛架的組成次序為：先固定右邊，再固定左邊計算反力的次序應為：先算左邊，再算右邊考慮GE部分再考慮整體平衡例3-5

試作圖示靜定剛架的內力圖。1.求反力48kN42kN22kN2.分段作彎矩圖(單位：kN*m)12619248MCA如何求?14412剛結點力矩平衡條件由彎矩圖=>剪力圖由剪力圖=>軸力圖3.作剪力圖4.作軸力圖剛結點投影平衡條件例3-5作圖示門式剛架的內力圖。解：（1）求支反力（2）作M圖，如圖(a)。（3）作FQ圖，取隔離體如圖(d)、(e)。

由隔離體平衡條件求桿端剪力，并作圖(b)。（4）作FN圖，取隔離體如圖(f)、(g)

由結點平衡條件求桿端軸力，并作圖(c)。（5）校核：取結點C驗算平衡條件顯然滿足！例3-7試作圖示剛架的彎矩圖附屬部分基本部分§3-4

少求或不求反力繪制彎矩圖

靜定剛架常?？缮偾蠡虿磺蠓戳L制彎矩圖。

例如：1.

懸臂部分及簡支梁部分，彎矩圖可先繪出。2.

充分利用彎矩圖的形狀特征(直線、零值)。3.

剛結點處的力矩平衡條件。4.

用疊加法作彎矩圖。5.

平行于桿軸的力及外力偶產生的彎矩為常數。6.

與桿軸重合的力不產生彎矩等。

以例說明如下作M圖——本課程最重要的基本功之一方法：1．標準單跨梁：懸臂、簡支

例3—8繪制剛架的彎矩圖。解：由剛架整體平衡條件∑FX=0得FBH=5kN(←)此時不需再求豎向反力便可繪出彎矩圖。有：MA=0,MEC=0MCE=20kN·m（外）MCD=20kN·m（外）MB=0MDB=30kN·m（外）MDC=40kN·m（外）5kNE2020304075450返回例3—9作剛架的彎矩圖。PaPaPaPaPaPa解：此剛架為多剛片結構，可按“先附屬后基本”的順序計算。這里，我們不求反力直接作彎矩圖。0§3-5靜定結構特性（1）靜力解答唯一性

——全部反力、內力可用平衡條件唯一確定（2）非荷載因素（溫度改變，支座位移等）

——不引起內力（3）平衡力系的影響平衡力系組成的荷載

——作用于靜定結構的某一幾何