義務教育數學課程標準2022年版

1(2022年版)國家意志，在立德樹人中發(fā)揮著關鍵作用。2001年頒布的《義務教育課程設置實驗方案》和2011年頒布的義務教育各課程標準，堅持“上好學”,必須進一步明確“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”,優(yōu)化學校育人藍圖。當今世界科技進步2義務教育數學課程標準(2022年版)(一)堅持目標導向(二)堅持問題導向(三)堅持創(chuàng)新導向3(一)關于課程方案在保持義務教育階段九年9522總課時數不變的基礎上，調整優(yōu)化課選擇開設。將勞動、信息科技從綜合實踐活動課程中獨立出來。科(二)關于課程標準4義務教育數學課程標準(2022年版)1 2 5 5 2義務教育數學課程標準(2022年版) 122、課程理念和解決問題的能力(簡稱“四能”),形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。3評價不僅要關注學生數學學習結果，還要關注學生數學學習過4義務教育數學課程標準(2022年版)5(一)核心素養(yǎng)內涵6義務教育數學課程標準(2022年版)7事物的性質、關系和規(guī)律，并能解釋表達的合理性；能夠感悟數據的意義與價值，有意識地使用真實數據表達、解釋與分析現實世界中的不確定現象；欣賞數學語言的簡潔與優(yōu)美，逐步養(yǎng)成用數學語言表達與交流的習慣，形成跨學科的應用意識與實踐能力2.在小學與初中階段的主要表現小學階段，核心素養(yǎng)主要表現為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、核心素養(yǎng)的主要表現及其內涵如表1。數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟。能夠在真實情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序；能在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷；能初步體會并表達事物蘊含的簡單數量規(guī)律。數感是形成抽象能力的經驗基礎。建立數感有助于理解數的意義和數量關系，初步感受數學表達的簡潔與精確，增強好奇心，培養(yǎng)學習數學的興趣。小學量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。小學8義務教育數學課程標準(2022年版)符號意識符號意識主要是指能夠感悟符號的數學功能。知道符號表達的現實意義；能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規(guī)律；知道用符號表達的運算規(guī)律和推理結論具有一般性；初步體會符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式。符號意識是形成抽象能力和推理能力的經驗基礎。小學能力抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力。能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關系，并能夠用數學符號予以表達；能夠從具體的問題解決中概括出一般結論，形成數學的方法與策略。感悟數學抽象對于數學產生與發(fā)展的作用，感悟用數學的眼光觀察現實世界的意義，形成數學想象力，提高學習數學的興趣。初中能力運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發(fā)展。運算能力有助于形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度。小學與初中幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。小學與初中9內涵空間空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系；感知并描述圖形的運動和變化規(guī)律?？臻g觀念有助于理解現實生活中空間物體的形態(tài)與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。小學與初中意識推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題或結論；能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現一些初步的結論；通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程；對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，是形成推理能力的經驗基礎。小學能力推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據規(guī)則推出其他命題或結論的能力。理解邏輯推理在形成數學概念、法則、定理和解決問題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則；對于一些簡單問題，能通過特殊結果推斷一般結論；理解命題的結構與聯系，探索并表述論證過程；感悟數學的嚴謹性，初步形成邏輯表達與交流的習慣。推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神。初中數據意識數據意識主要是指對數據的意義和隨機性的感悟。知道在現實生活中，有許多問題應當先做調查研究，收集數據，感悟數據蘊含的信息；知道同樣的事情每次收集到的數據可能不同，而只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規(guī)律；知道同一組數據可以用不同方式表達，需要根據問題的背景選擇合適的方式。形成數據意識有助于理解生活中的隨機現象，逐步養(yǎng)成用數據說話的習慣。小學數據數據觀念主要是指對數據的意義和隨機性有比較清晰的認識。知道數據蘊含著信息，需要根據問題的背景和所要研究的問題確定數據收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機現象的變化趨勢及隨機事件發(fā)生的可能性大小。形成數據觀念有助于理解和表達生活中隨機現象發(fā)生的規(guī)律，感知大數據時代數據分析的重要性，養(yǎng)成重證據、講道理的科學態(tài)度。初中模型意識模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。模型意識有助于開展跨學科主題學習，增強對數學的應用意識，是形成模型觀念的經驗小學模型模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性。初中應用意識應用意識主要是指有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規(guī)律，解決現實世界中的問題。能夠感悟現實生活中蘊含著大量的與數量和圖形有關的問題，可以用數學的方法予以解決；初步了解數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用，通過跨學科主題學習建立不同學科之間的聯系。應用意識有助于用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養(yǎng)成理論聯系實際的習慣，發(fā)展實踐能力。小學與初中內涵意識創(chuàng)新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發(fā)現和提出有意義的數學問題。初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現數學關系與規(guī)律，提出數學命題與猜想，并加以驗證；勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數學問題。創(chuàng)新意識有助于形成獨立思考、敢于質疑的科學態(tài)度與理性精神。(二)總目標(3)對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學(三)學段目標"六三"學制1～2年級為第一學段，3～4年級為第二學段，5～6年義務教育數學課程標準(2022年版)2.第二學段(3～4年級)3.第三學段(5～6年級)體積和表面積；能用有序數對確定點的位置，進義務教育數學課程標準(2022年版)4.第四學段(7～9年級)“五四”學制第二學段(3～5年級)目標主要參照“六三”學制第三學段(5～6年級)目標制定，適當降低要學段(6～7年級)目標在“六三”學制第三學段(5～6年級)目標基礎上合理提高要求，結合“六三”學制第四學段(7～9年級)目義務教育階段數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個學習領域組成。數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率以數學核心內容和基本思想為主線循序漸進，每個學段的主題有所不同。綜合與實踐以培養(yǎng)學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題。根據學段目標的要求，四個學習領域的內容按學段逐步遞進，不同學段主題有所不同。具體安排如表2。(1～2年級)(3～4年級)(5～6年級)(7～9年級)數與1.數與運算2.數量關系1.數與運算2.數量關系1.數與運算2.數量關系1.數與式3.函數學段(1～2年級)(3～4年級)(5～6年級)(7～9年級)圖形與1.圖形的認識1.圖形的認識與2.圖形的位置與運動1.圖形的認識與2.圖形的位置與運動1.圖形的性質統(tǒng)計與1.數據分類1.數據的收集、1.數據的收集、的可能性1.抽樣與數據2.隨機事件的綜合與實踐重在解決實際問題，以跨學科主題學習為主，主要包括主題活動和項目學習等。第一、第二、第三學段主要采用主題式學習，將知識內融入主題活動中；第四學段可采用項目式學習。個方面呈現。內容要求主要描述學習的范圍和要求；學業(yè)要求主要明確學段結束時學習內容與相關核心素養(yǎng)所要達到的程度；教學提示主(一)數與代數數與代數是義務教育階段學生數學學習的重要領域，在小學階段包括“數與運算”和“數量關系”兩個主題。學段之間的內容相互關聯，由淺入深，層層遞進，螺旋上升，構成相對系統(tǒng)的知識結構。義務教育數學課程標準(2022年版)第一學段(1～2年級)【內容要求】系(例3)。【學業(yè)要求】【教學提示】義務教育數學課程標準(2022年版)再加1就是十，體會十的表達與1～9的不同是在新的位置上寫1,這個位置叫十位，十位上的1表示1個十，1個十用數字符號10表達。關系(例7)。在這樣的教學活動中，幫助學生形成初步的符號意識第二學段(3～4年級)【內容要求】【學業(yè)要求】義務教育數學課程標準(2022年版)【教學提示】大體分為與個數有關(總價=單價×數量)和與物理量有關(路程=第三學段(5～6年級)【內容要求】(1)知道2,3,5的倍數的特征，了解公倍數和最義務教育數學課程標準(2022年版)(3)結合具體情境理解整數除法與分數的關系(例16)。(4)能進行簡單的小數、分數四則運算和混合運算，感悟運算的2.數量關系(1)根據具體情境理解等式的基本性質(例17)。(2)在解決實際問題的過程中，會選擇合適的方法進行估算(例(3)在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性(例19)。(4)在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決(5)通過具體情境，認識成正比的量(例20);能探索規(guī)律或變化趨勢(如y=5x)(例21)。(6)能運用常見的數量關系解決實際問題，能合理解釋結果的實【學業(yè)要求】1.數與運算能找出2,3,5的倍數。在1～100的自然數中：能找出10以內自然數的所有倍數，10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數；能找出一個自然數的所有因數，兩個自然數的公因數和最大公因數；能能用直觀的方式表示分數和小數，能比較兩個分數的大小和兩個小數的大??；會進行小數和分數的轉化(不包括將循環(huán)小數轉化成分數)。能在實際情境中運用小數和分數解決問題，進一步發(fā)展符號意能進行簡單小數和分數的四則運算和混合運算(不超過三步),并說明運算過程。能在較復雜的真實情境中，選擇恰當的運算方法解2.數量關系能在具體問題中感受等式的基本性質(例17)。能在解決實際問題中運用恰當的方法進行估算，并能描述估算的能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關能在具體情境中判斷兩個量的比，會計算比值，理解比值相同的正比的量的實例；能根據給出的成正比關系的數據在方格紙上畫圖，了解y=kx(k≠0)的形式，能根據其中一個量的值計算另一個量能解決較復雜的真實問題，形成幾何直觀和初步的應用意識，提【教學提示】數與運算的教學。通過整數的運算，感悟整數的性質；通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟數的認識教學要引導學生根據數的意義，用列舉、計算、歸納等方法，探索2,3,5的倍數的特征，理解公因數和公倍數、奇數和偶義務教育數學課程標準(2022年版)與小數有關的數學文化(例22),理解、描述各數位上數字的意義，數量關系的教學。理解用字母表示的一般性，形成初步的代數達數量關系，通過運算或推理解決問題(例23),形成與發(fā)展學生的成正比的量教學要在具體情境中呈現兩個成正比的量的變化規(guī)(二)圖形與幾何第一學段(1～2年級)稱；能說出立體圖形中某一個面對應的平面圖形(物體的長度，并能借助工具測量生活中物體的長第二學段(3～4年級)【內容要求】(1)結合實例，感受平移、旋轉、軸對稱現象(例27)?！緦W業(yè)要求】觀感受三角形的周長(例29),知道什么是圖形的周長；會測量三角【教學提示】圖形的認識與測量的教學。將圖形的認識與圖形長方體的外表認識面，通過面的邊緣認識線段，感悟圖形抽象的線段，感知線段長度與兩點間距離的關系(例2義務教育數學課程標準(2022年版)第三學段(5～6年級)【內容要求】【學業(yè)要求】義務教育數學課程標準(2022年版)圖(例34),能把觀察的方向與相應形狀圖對應起來，形成空間【教學提示】義務教育數學課程標準(2022年版)(三)統(tǒng)計與概率第一學段(1～2年級)【內容要求】【學業(yè)要求】【教學提示】義務教育數學課程標準(2022年版)體會如何用數學語言表達現實世界，形成初步的數據意識(例38),第二學段(3～4年級)【內容要求】(5)探索平均數的意義，能解決有關的簡單(6)能在簡單的實際情境中，合理應用統(tǒng)計圖表和平均數(例【學業(yè)要求】【教學提示】第三學段(5～6年級)【內容要求】義務教育數學課程標準(2022年版)表(例44)?！緦W業(yè)要求】【教學提示】義務教育數學課程標準(2022年版)(四)綜合與實踐第一學段(1～2年級)【內容要求】義務教育數學課程標準(2022年版)一個含有數學知識的小故事，表達對數量關系的理解，感受數學知識與現實生活的聯系(例52)。能夠積極參與活動，在活動中能主動表達，并與他人交流，加深對數學知識的理解，感悟數學知識與現實生活的聯系，發(fā)展對數學的好奇心，提升學習數學的興趣，初步獲得一些數學活動經驗。動內容，比較準確地表達自己對數、數量、圖形、方位等數學知識的理解；能說明或演示自己玩過的數學游戲內容和規(guī)則，在教師的協助認識元、角、分，知道元、角、分之間的關系；會在真實或模擬的情境中合理使用人民幣；在教師的指導下能夠反思并述說購物的過程，時間在哪里。認識時、分、秒，能說出鐘表上的時間；了分、秒之間的關系，能結合生活經驗體會時間的長短；能將生活中的事件與時間建立聯系，感悟時間與過程之間的關系；形成對時間長短相對位置；會用東、南、西、北描述物體所在的方向；給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨別其余三個方向；了解物體間位度";能用身體上這些“長度"測量教室以及身邊某些物體的長度；識記錄自己的經歷；能結合生活經驗或者通過查閱資料，編寫含有數【教學提示】義務教育數學課程標準(2022年版)樣、富有趣味的活動，如紙的厚度(例53)、神第二學段(3～4年級)【內容要求】主題活動2:曹沖稱象的故事以“曹沖稱象”故事為依托，結合現實素材，感受并認識克、千克、噸，以及它們之間的關系，感受等量的等量相等(例15),發(fā)展主題活動3:尋找“寶藏”在生活情境中，認識東北、西北、東南、西南四個方向，了解“幾點鐘方向”,會描繪物體所在的方向，發(fā)展空間觀念(例56)。主題活動4:度量衡的故事知道中國在秦朝統(tǒng)一了度量衡，指導學生查閱資料，理解度量衡的意義，知道最初的度量方法都是借助日常用品，加深對量和計量單位的理解，豐富并發(fā)展量感(例57)。能夠積極參與活動，在活動中能獨立思考問題，主動與他人交流，加深對數學知識以及數學與其他學科關聯的理解；經歷解決簡單實際問題的過程，提高應用意識，積累數學活動經驗，感悟數學的年、月、日的秘密。知道24時記時法與鐘表上刻度的關系，能用24時記時法表示時間；知道年、月、日之間的關系，以及相關的簡單歷法知識；知道一年四季的重要性，了解中國古代是如何通過土結合現實素材，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算；理解“曹沖稱象”的基本原理是等量的等量相等，能針對具體問題與他人合作制訂稱重的實踐方案，并能在執(zhí)行方案的過程中不斷反思，認識東北、西北、東南、西南四個方向；能描繪圖上物體所在的方義務教育數學課程標準(2022年版)場景中嘗試以站立點為正中心(圓心),以鐘表盤12個小時的點位來元、角、分等人民幣的量，時、分、秒等時間的量，以及認識東、計具有操作性的活動。如制訂旅游計劃(例58)、你有多少根頭發(fā)、第三學段(5～6年級)【內容要求】第三學段綜合與實踐包括主題活動和項目學習，涉及“了解負發(fā)展數感(例59)。主題活動2:校園平面圖主題活動3:體育中的數學項目學習1:營養(yǎng)午餐項目學習2:水是生命之源【學業(yè)要求】能夠積極參與活動，在活動中能獨立思考問題，主動與他人交義務教育數學課程標準(2022年版)應的扇形統(tǒng)計圖；第3～4學時，收集學校食這樣的項目式學習，可以采用“課內+課外、校內+校外、集礎、不同需求的學生都可以參與活動，普遍提(一)數與代數義務教育數學課程標準(2022年版)基本的數量關系(相等關系和不等關系),是一類應用廣泛的數學工第四學段(7～9年級)【內容要求】(1)有理數①理解負數的意義(例64);理解有理數的意義，能用數軸上的(2)實數數的平方根，會用立方運算求千以內完全立方數(及對應的負整數)僅限于數)加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則(3)代數式④了解整數指數冪的意義和基本性質；會用科學記數法表示⑦能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因⑧了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分和通分；能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算。⑨了解代數推理(例66)。2.方程與不等式(1)方程與方程組①能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程。②掌握等式的基本性質；能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程。③掌握消元法，能解二元一次方程組。④*能解簡單的三元一次方程組。⑤理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。⑥會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等。⑦了解一元二次方程的根與系數的關系(例67)。⑧能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。(2)不等式與不等式組①結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質。②能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集；會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。③能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。(1)函數的概念理解函數值的意義(例69)。(2)一次函數(3)二次函數(4)反比例函數①結合具體情境體會反比例函數的意義(例72),能根據已知條義務教育數學課程標準(2022年版)②能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式(k≠0)探【學業(yè)要求】(1)有理數理解負數的意義，會用正數和負數表示具體情境中具有相反意義的量；理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，能借助數軸體會相反數和絕對值的意義，初步體會數形結合的思想方法；能比較有理數的大小，能求有理數的相反數和絕對值；會運用乘方的意義準確進行有理數的乘方運算；能熟練地對有理數進行加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主),理解有理數的運算律，(2)實數了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成，感悟數的擴充；初步認識實數與數軸上的點具有一一對應關系，能用數軸上的點表示一些具體的實數，能比較實數的大?。荒芙柚鷶递S理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數、絕對值；知道平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示平方根、算術平方根、立方根；知道乘方與開方互為逆運算，會用乘方運算求百以內完全平方數的平方根和千以內完全立方數的立方根(及對應的負整數),會用計算器計算平方根和立方根；能用有理數估計一個無理數的大致范圍；初步認識近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，會按問題的要求進行簡單的近似計算，會對結果取近似值；會用二次根式(根號下僅限于數)的加、減、乘、除運算法則進行簡單的四則運算。(3)代數式進行冪的運算；會用科學記數法表示數(包括在計算器上表示);理式分解(指數為正整數);知道分式的分母不能為零，能利用分式的基本性質進行約分、通分，并化簡分式，能對簡單的分式進行加、(1)方程與方程組(1)函數的概念(2)一次函數(3)二次函數會通過分析實際問題的情境確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義；會用描點法畫出二次函數的圖象，會利用一些特殊點畫出二次函數的草圖；通過圖象了解二次函數的性質，知道二次函數的系數與圖象形狀和對稱軸的關系。會根據二次函數的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標；會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，得出二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，解決簡單的實際問題。知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖象求一元二次方(4)反比例函數結合具體情境用實例體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式；會用描點法畫出反比例函數的圖象；知道當k>0和k<0時反比例函數圖象的整體特征；能用反【教學提示】初中階段數與代數領域包括“數與式”“方程與不等式”和“函數"三個主題，是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物的性質、關系和規(guī)律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能數與式的教學。教師應把握數與式的整體性，一方面，通過負數、有理數和實數的認識，幫助學生進一步感悟數是對數量的抽象，知道絕對值是對數量大小和線段長度的表達，進而體會實數與數軸上的點一一對應的數形結合的意義，會進行實數的運算；另一方面，通過代數式和代數式運算的教學，讓學生進一步理解字母表示數的意義務教育數學課程標準(2022年版)理，如代數運算規(guī)律的論證(例66)、韋達定理的論證(例67)、基于圖象的函數想象(例68);能在比較復雜的情境中，提升學生發(fā)現(二)圖形與幾何第四學段(7～9年級)【內容要求】義務教育數學課程標準(2022年版)⑦能用尺規(guī)作圖：作一個角等于已知角；作一個角的平分線。(2)相交線與平行線①理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的補角相等的性質。②理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知③能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線(例73)。④掌握基本事實：同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知⑧掌握平行線基本事實I:過直線外一點有且只有一條直線與這⑨掌握平行線基本事實Ⅱ:兩條直線被第三條直線所截，如果同⑩探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等(或同旁內角互補),那么這兩條直線平行。?掌握平行線的性質定理I:兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。*了解定理的證明(例74)。?探索并證明平行線的性質定理Ⅱ:兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等(或同旁內角互補)。(3)三角形④理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對腰三角形。探索等邊三角形的性質定理：等邊義務教育數學課程標準(2022年版)(5)圓①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的②探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩③探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角⑤了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念(例75)。⑥能用尺規(guī)作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外⑦*能用尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線(例76)。⑧*探索并證明切線長定理：過圓外一點的兩條切線長相等。(6)定義、命題、定理②結合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一③知道證明的意義和證明的必要性(例77),知道數學思維要合乎邏輯(例78),知道可以用不同的形式表述證明的過程，會用綜合④了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤義務教育數學課程標準(2022年版)的(例79)。⑤通過實例體會反證法的含義(例74)。(1)圖形的軸對稱①通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質：成軸對②能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定③理解軸對稱圖形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多(2)圖形的旋轉①通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉。探索它的基本性質：一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等(例80)。②了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中(3)圖形的平移過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)(4)圖形的相似①了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、③掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段④了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三⑤了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于⑦會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題(例81)。⑧利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA,⑨會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數⑩能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單(5)圖形的投影②會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能②在實際問題中，能建立適當的平面直角坐標系，描述物體(2)圖形的運動與坐標④在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標(有一個頂點為原點)分別擴大或縮小相同倍【學業(yè)要求】3.圖形與坐標義務教育數學課程標準(2022年版)【教學提示】讓學生感悟圖形軸對稱、旋轉、平移變化的基本特征(例82),知道(三)統(tǒng)計與概率義務教育數學課程標準(2022年版)第四學段(7～9年級)【內容要求】(1)體會抽樣的必要性，通過實例認識簡單對數據進行分類的方法(例85)。位數的意義(例86)?！緦W業(yè)要求】義務教育數學課程標準(2022年版)【教學提示】據的數字特征分析相關問題；引導學生通過對這樣的教學實踐活動會涉及大量的數據計算(例84和例85),建第四學段(7～9年級)【內容要求】義務教育數學課程標準(2022年版)的語言表達現實世界”的核心素養(yǎng)(例89至例91)?！緦W業(yè)要求】【教學提示】項目式學習的關鍵是發(fā)掘合適的項目，要關注問題是否是現實還要關注學生是否能夠提出問題；要關注解決(一)學業(yè)質量內涵(二)學業(yè)質量描述學的思維與數學的語言分析和解決問題"的過程中所形成的模型觀學業(yè)質量描述學段年級)能結合具體情境，認識萬以內的數及其大小關系，描述四則運算的含義，能進行簡單的整數四則運算，形成初步的數感、運算能力和符號意識；能結合現實生活中的事物，認識并描述常見的立體圖形和平面圖形特征，會對常見物體的長度進行測量，形成初步的空間觀念和量感；能對物體、圖形或數據按照一定的標準分類，形成初步的數據意識。認識貨幣單位、時間單位和基本方向，嘗試用數學方法解決問題，積累數學活動經驗，形成初步的量感和應用意識。結合現實生活情境，嘗試用數學語言描述生活中的實際問題，運用所學的數學知識和方法解決問題，形成初步的數感、量感和應用意識。通過操作、游戲、制作等豐富多彩的活動，對數學產生一定的好奇心，形成學習數學的興趣和初步的合作交流意識與獨立思考的學習習慣。學段年級)認識自然數，能結合具體情境初步認識小數和分數，能進行整數四則運算和簡單的小數、分數加減運算，形成數感、運算能力和初步的推理意識；能認識常見的三角形和四邊形，會測的周長和面積，了解圖形的平移、旋轉和軸對稱，形成空間觀念、量感和初步的幾何直觀；能分析與表達數據中蘊含的信據統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，形成初步的數據意識。進一步認識時間單位和方向，認識質量單位，嘗試應用數學和其他學科知識與方法解決問題，積累數學活動經驗，形成量感、推理意識和應用意識。結合現實生活，能嘗試運用所學的數學知識和方法描述、表達、學業(yè)質量描述學段年級)分析、解釋實際問題，運用常見的數量關系解決問題，形成量感和初步的應用意識，以及分析問題與解決問題的能力。經歷數學學習的過程，通過操作、游戲等豐富多彩的活動，對數學形成一定的求知欲，具有學習數學的興趣，初究等良好的學習習慣。學段年級)認識自然數的一些特征，理解小數和分數，能進行簡單的小數和分數四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，形成數感和運算能力；能用字母表示數量關系和規(guī)律，理解常見的數量關系，形成符號意識；能認識常見的立體圖形和平面圖形，計算圖形的周長、面積(或表面積)、體積，能描述圖形的位置和運動，形成量感、空間觀念和幾何直觀；知道數據的統(tǒng)計意義，能對一些隨機現象發(fā)生的可能性大小作定性描述，形成數據意識和推理意識。了解負數，應用數學和其他學科知識與方法解決問題，形成數感、量感、模型意識、應用意識和創(chuàng)新意識。能從數學與生活情境中，在教師的指導下，初步學會用數學的眼光觀察，嘗試、探索發(fā)現并提出問題，將所學的數學知生活中的問題，形成初步的模型意識和應用意識。對數學形成一定的好奇心與求知欲，具有學習數學成良好的學習態(tài)度和習慣。初步建立學好數學的值，在解決問題的過程中逐步克服困難，初步形成一定的應用意識和創(chuàng)新意識。第四學段年級)能從生活情境、數學情境中抽象概括出數與式、方程與不等式、函數的概念和規(guī)則，掌握相關的運算求解方法，合一定的運算能力、推理能力和抽象能力；知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質進行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強幾何直觀、空間觀念和數、頻率和概率的意義，能夠進行簡單的數據分合運用數學和其他學科知識與方法解決問題，積累核心素養(yǎng)。能從具體的生活與科技情境中，抽象出函數、方程、不等式等數學表達形式，用數學的眼光發(fā)現問題并提出(或轉化為)數學問題，用數學業(yè)質量描述第四學段年級)學的思維探索、分析和解決具體情境中的現實生活問題，給出數學描述和解釋，運用數學的語言與思想方法，綜合運用多個領域的知識，提出設計思路，制訂解決方案。能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進行評估，并對結果的實際意義作出解釋。能夠知道解決問題方法的多樣性，具備一定的應用意識和模型意識，初步會用數學語言表達與交流。感悟數學的價值，能夠從問題解決的過程中獲得數學活動經驗，產生對數學的好奇心和求知欲，增強學習數學的興趣，建立學習數學的自信心。能夠在解決問題的過程中，學會獨立思考、合作探究，形成批判質疑、克服困難、勇于擔當的科學精神，具備一定的創(chuàng)新意識?！拔逅?學制學段學業(yè)質量標準參照“五四”學制學段目標確定(3)教學目標的設定要體現整體性和階段性核心素養(yǎng)是在長期的教學過程中逐漸形成的，核心素養(yǎng)在不同學段的主要表現體現了核心素養(yǎng)的階段性和各階段之間的一致性。要依據核心素養(yǎng)的內涵和不同學段的主要表現，結合具體的教學內容，全面分析主題、單元和課時的特征，基于主題、單元整體設計教學目標，圍繞單元目標細化具體課時的教學目標。充分發(fā)揮核心素養(yǎng)導向的教學目標對教學過程的指導作用，在實現知識進階的同時，體現核為實現核心素養(yǎng)導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間(1)注重教學內容的結構化教學內容是落實教學目標、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體。在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖；另一方面強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。通過合適的主題整合教學內容,幫助學生學會用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展例如，對小學階段“數與運算”主題，在理解整數、小數、分數(2)注重教學內容與核心素養(yǎng)的關聯在教學過程中，不僅要注重具體內容與核心素養(yǎng)之間的關聯，還例如：在圖形與幾何領域的“圖形的認識”主線，第一學段，要義務教育數學課程標準(2022年版)(1)豐富教學方式合學生年齡特點和認知加工特點的素材(例31中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感(例55和例解決真實問題的能力，樹立學好數學的自信心，養(yǎng)成良好的學習(1)明確教學目標義務教育數學課程標準(2022年版)(2)設計教學活動項目學習教學所涉及的問題主要是現實世界中具有開放性的問(3)關注教學評價(1)改進教學方式(2)促進自主學習(二)評價建議(1)評價方式豐富選擇適當的評價方式。例如，可以通過課堂觀義務教育數學課程標準(2022年版)(2)評價維度多元(3)評價主體多樣(1)考試性質和目的(2)命題原則(3)命題規(guī)劃義務教育數學課程標準(2022年版)決及多學科融合類試題(例93);試卷呈現避免套路化。(4)試題命制(三)教材編寫建議(1)科學論證(2)拓展視野(3)強化功能義務教育數學課程標準(2022年版)(五)教學研究與教師培訓(1)區(qū)域教研建議聚焦關鍵問題。樹立研究意識，圍繞課程實施中的重點難點問(2)校本教研建議義務教育數學課程標準(2022年版)解決教學中的問題。充分發(fā)揮各級骨干教師的精心設計培訓內容。培訓內容的設計應著眼新理念，強化整體5,每個下珠代表1。每串算珠從右至左依次代表十進位值制的個位、表示0。例如，513和602在算盤上的表示如圖1。義務教育數學課程標準(2022年版)例2感悟大小關系小陽和小冬用邊擺邊說。數一數，想一想，他們說的話對嗎?樣多，5<7,7>5?！菊f明】相等和不等是數的兩個基本關系。在數量一樣多、較多和較少的具體情境中，引導學生感悟數的相等和不等關系，知道可以用符號=,>,<分別表示數與數之間的相等、大于和小于關系，感悟大小關系的傳遞性：如果8>6,6>3,那么8>3。對于關系傳遞性，只要例3運算與運算之間的關系二年級(3)班有8個學習小組，每組5人，這個班一共有多少人?【說明】如圖3,針對問題背景，讓學生經歷用圖形表示數量關系的過程，理解乘法運算以及乘法與加法的關系。還可以用類似的方法，讓學生感悟減法運算以及減法是加法的逆運算，感悟除法運算以及除法是乘法的逆運算。例4用不同符號表示變化規(guī)律在下列橫線上填上合適的數字、字母或圖形，并說明理由。;【說明】啟發(fā)學生在解決問題的過程中探索規(guī)律。引導學生感悟對具有規(guī)律性的事物，無論是用數字還是用字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同。例5借助圖形發(fā)現運算規(guī)律在表4中，標出橫排和豎排上兩個數相加等于10的格子，再分別標出相加等于6,9的格子，你能發(fā)現什么規(guī)律?987654321+123456789義務教育數學課程標準(2022年版)將數50,98,38,10,51排序，用符號>,<表示。用大得多、圖4第(1)題是小華完成的，你能像他一樣完成其他兩道題嗎?生可以感受由數量抽象到數、由數量的多少關系抽象為數的大小關例8感悟從未知到已知的轉化學校圖書館為學生購買圖書，其中數學繪本每本14元。如果買12本，需要付多少元?【說明】在知道兩位數乘一位數的基礎上，引導學生探索兩位數重點是理解從一位數乘法到兩位數乘法算理和算法的遷移。學生已知14×10的計算方法和14×2的計算方法，探索14×12的計算方法?？梢砸龑W生將12分解成(10+2),然后利用橫式體現算理，14×12=14×(10+2)=14×10+14×2,就可以把未知轉化為已知；在分析的基礎上建立乘法運算豎式，從算理過渡到算法。在這樣的過程中，發(fā)展學生的運算能力和推理意識。此外，可以引導學生借比較和的大小?！菊f明】把兩個同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，通過比較各自1份面積大小的方法，引導學生直觀理解分數的大小。然后，進一步把這兩個圓都平均分成6份，通過,,,所’,幫助學生理解分數單位之間的關系，知道只有在相同單位下才能比較分數的大小。這個法則與整數比較大小的法則是一義務教育數學課程標準(2022年版)如，202103321表示“2021年入學的(3)班的第32號同學，該同學學校組織987名學生去公園游玩。如果公園的門票每張8元，8000元夠不夠?境選擇適當的單位是估算的關鍵。例如，在此例中把987人看成1000人，8000元是夠的，這里適當的單位是“10利用計算器計算15×15,25×25,…,95×95,并探索規(guī)律。某展覽中心周六和周日有一個藝術展，圖5記錄了參觀人數。下午成人133人下午中小學生115人根據記錄的參觀人數，你能提出哪些問題?【說明】通過這個例子討論“總量=分量+分量”的數量關系，例如，周六上午57人、下午64人都是中小學生參觀人數的分量，分量和57+64=121(人)是周六的中小學生參觀人數總量。周六的中小學生參觀人數總量又是周六參觀人數的分量。啟發(fā)學生提出許多類似問題，關注學生思維的邏輯。通過這個例子，學生也可以提出相應的減法問題，即“分量=總量一分量”的數量關系，只需要把其中的聯歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎?【說明】在例4借助符號表示規(guī)律的基礎上，感知通過規(guī)律可以義務教育數學課程標準(2022年版)(1)我也來稱象(2)各種各樣的秤(3)都來稱一稱生活中各類物品的質量，經歷度量的過程，體會誤差，歸納估測的方例16除法可以寫成分數的形式為什么4÷2可以寫【說明】首先，可以通過除法運算的意義和分數的意義理解它們之間的等價關系。前者可以表示把4個蘋果平均分給2個人，每人分到2個；后者可以表示4個蘋果的,等價于2個蘋果。其次，通過算理進行一般性說明。怎樣知道“4÷2=△”中的"△"是多少?由于除法是乘法的逆運算，它等價于“4=△×2”。根據等式的基本性質，等式兩邊同乘后等式不變，計算得到△。根據基本事實“等量的等量相等”,所以成立。例17等式的基本性質觀察下面兩組等式，你有什么發(fā)現?與同伴交流，嘗試解釋你的【說明】這兩組等式表達了等式的兩個基本性質。第一組是等式的基本性質I,即“等式兩邊同時加或減同一個數，等式兩邊仍然相等"。第二組是等式的基本性質Ⅱ,即“等式兩邊乘同一個數，或除義務教育數學課程標準(2022年版)李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了2袋面，每袋30.4元；又買了1塊牛肉，用了19.4元。她還想買1條魚，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元。請幫助李阿少元),如果下界超過15.8元，就夠買小魚。對于估計下界的問題，購物金額要適當地放大。例如，買1袋面不超過31元，買2袋面不超過62元；買牛肉不超過20元；總共不超過62+20=82(元),至少還剩100-82=18(元)。所以，李阿姨剩余的錢買1條小魚是夠少元),如果上界不到25.2元，就不夠買大魚。對于估計上界的問題，購物金額要適當地縮小。例如，買1袋面至少要30元，買2袋面至少要60元；買牛肉至少要19元；總共至少要60+19=79(元),至多還剩100-79=21(元)。所以，李阿姨剩余的錢不夠買1條大魚。(1)小華比小明多5張漫畫卡。如果小明有8張，小華有幾張?如果小明有12張呢?如果小明有若干張，怎樣用字母表示小華有多(3)如圖6,1張餐桌可坐4人，2張餐桌拼在一起可坐6人，3圖6(1)教學時，可以先從具體數量入手：小明有8張、12張時，義務教育數學課程標準(2022年版)表5買蘋果的數量及總價數量/千克12345·5·觀察表5可以發(fā)現，隨著購買蘋果數量的增多，總價也增多，這兩個量變化的最基本特征是：總價與數量的比值保持不變。可以把這個關系表示為,或者用符號表示為,這時稱y和x為例21探索數量之間的變化規(guī)律王阿姨去超市買蘋果，每千克蘋果5元，購買2千克、3千克……分別需要多少元?探索其中的規(guī)律?！菊f明】這是例20的延續(xù)。從例20的說明中可以知道，為了保證兩個數量的比值保持不變，這兩個數量必須一起變化。顯然，也可以把這個表達式轉化為y=5x的形式。這樣的表達能夠更好地體現“隨著購買蘋果數量的增多，總價也增多”的變化規(guī)律，這就是初中例22圓周率的故事通過講述祖沖之計算圓周率的故事，讓學生感知圓周率的逼近過程，同時，也理解小數的十進制名稱的表達，感受中國古代數學家的【說明】據《隋書》卷十六《志》第十一《律歷》記載，南北朝以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈肭二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！畷麨椤毒Y術》,學官莫能究其深奧，是故廢而不理。因此，祖沖之得到圓周率在3.1415926和3.1415927之間；根據不同的需要，可近似取作(約率)或(密率)。由此可以看到，祖沖之得到的圓周率精確到小數點后第6位，這個結果領先世界約1000年之久。特別值得指出，類似自然數的單位(如個、十、百、千、萬等),祖沖之清晰地表達、定義了十進制的小數單位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小數點后七位。由此可見，中國古代人民對于小例23用字母表示數量關系回顧例19(3)的情境，請用字母表示餐桌數與人數之間的關系。【說明】引導學生用不同的字母分別表示餐桌數和人數，建立二者之間的關系。例如，用a表示餐桌數，b表示人數。根據問題的背引導學生理解，如果知道兩個量中的一個量，就可以通過對關系式的四則運算得到另一個量。在上式中，如果a=2,那么b=6;如果a=3,那么b=8。反之亦然。在這樣的過程中，啟感悟可以用字母表示數量關系，讓學生初步經歷通過具體數值的計算例24找出對應圖形如圖7,用第一行的立體圖形模型能描出第二行的哪個平面圖形?連一連?！菊f明】讓學生通過一些操作活動，感受立體圖形與對應的平面圖形的關系，感受圖形的特征，形成空間觀念。還可以讓學生采用類例25理解長度單位1支鉛筆大約長()厘米；1米約相當于()支鉛筆長；無障礙坡道的寬度應不小于90();學校操場上的旗桿高15()?！菊f明】讓學生結合日常生活經驗，在實際情境中理解長度單位的意義，選擇合適的長度單位，進行物體長度的比較。在教學中，讓用無刻度的直尺(或不看直尺的刻度)和圓規(guī)，作一條與給定線【說明】讓學生通過幾何作圖的方法，在操作過程中形成對幾何圖形的感覺，感受兩點確定一條線段的意義；體會用直尺可以確定直線，用圓規(guī)的兩腳可以確定線段的長短。具體方法：利用直尺畫一條直線，用圓規(guī)確定給定線段的長度，在直線上確定兩個端點，從而作出與給定線段等長的線段。教學中，可以讓學生發(fā)揮想象力，用直尺和圓規(guī)構建各種可以實現的圖形。例如，作一個給定邊長的等邊三角例27認識平移和旋轉(1)在下列現象中，哪些是平移?哪些是旋轉?(2)在圖8中，哪些圖形通過平移可以互相重合?【說明】引導學生結合熟悉的生活情境，認識平移、旋轉。能結合生活經驗，理解平移和旋轉前后圖形的變與不變，進而通過平移和例28圖形的共性與區(qū)別如圖9,通過相應的圖形認識四邊形，辨別其中的平行四邊形、義務教育數學課程標準(2022年版)圖10例30圖畫還原打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫組成的平面圖畫(如圖11),請學圖11(1)完成還原積木的任務一定要從簡單到復雜。如圖11,先打組織學生分組收集日常生活中常見的圖形(如圖12),觀察是否義務教育數學課程標準(2022年版)圖12給出幾組線段(每組三條),有的能構成三角形，有的不能構成三角圖13【說明】在教學活動中，可以培養(yǎng)學生有規(guī)劃做事的習慣和判斷結論的能力。例如，可以數出圖形包含的完整小正方形的數量，或者數出圖形包含的以及邊緣接觸到的所有小正方形的數量，用數量估計圖形的面積。引導學生發(fā)現，第一種方法估計的面積比實際面積小，第二種方法估計的面積比實際面積大，由此作出結論，實際面積在這對于學有余力的學生，還可以引導他們理解：如果將小正方形等例34從不同方向觀察物體觀察圖14中用積木搭成的物體：圖14在圖15中指出分別從前面、右面、上面觀察時看到的圖形?！菊f明】在教學活動中，引導學生先猜想，然后通過觀察驗證自圖15(1)鼓勵學生自己制訂分類標準，感悟分類標準與數據信息之間的關聯。例如，按照性別分類可以知道男、女同學的多少，按照出生年月分類可以知道同學的年齡狀況，等等。(2)可以以小組為單位制訂分類標準，設計調查方案，進行調查研究，收集數據，完成分類。(3)嘗試運用各種方式(如文字、圖畫、表格等)呈現小組的調查結果，講述調查的過程和結論。(4)在這樣的教學過程中，要引導學生進行小組內的交流和全班內的積極配合，培養(yǎng)協同意識和交往能力。例38逐層分類如圖16,桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應當如何確定分類標準?根據分類標準，可以把這些扣子分成幾類?然后具體操作，并用文字、圖畫或表格等方式把結果記錄下來。義務教育數學課程標準(2022年版)例39調查研究組別1號第一組均數作為一個統(tǒng)計量，能夠刻畫一組數據的集中趨勢，介于“最大高與最矮相差多少(極差),大部分同學的身高是多少(眾數)等；學回家的時間；等等。在這樣的過程中，培養(yǎng)學生做事的嚴謹性，在(2)指導學生析取信息。啟發(fā)學生感知，雖然每天上學時間可能不同，但通過一周的記錄可以知道大概需要多少時間，可以知道上學途中所需要的最長時間和最短時間等。在這樣的過程中，讓學生感悟(3)組織學生進行交流。引導學生比較自己與他人的數據加工結果，獲得整體信息：同學上學途中所需的平均時間，大多數同學上學途中所需時間，上學途中所需的最長時間和最短時間；還可以將上學時間分段，統(tǒng)計每個時間段的人數，利用條形統(tǒng)計圖進行表達。在這通過閱讀資料，知道中國空間技術研究院從1970年到2020年的50年里已經向太空成功發(fā)射了300個航天器，俗稱為“三百星”。根據發(fā)射一個“百星”所用年數，體會用平均數進行表達的統(tǒng)計意義，【閱讀資料】摘編自《人民日報》2021年1月18日《科技視點》1970年4月24日，中國發(fā)射了獨立自主研制的第一顆航天器東方紅一號衛(wèi)星，邁出了走向太空的第一步。2020年11月24日到12月17日，嫦娥五號完成了23天的月球采樣返回之旅，創(chuàng)造了中國航技術研究院研制并成功發(fā)射了300個航天器，俗稱為“三百星”,包括第一顆人造衛(wèi)星、第一艘飛船、第一顆導航衛(wèi)星、第一顆月球探測星”用了41年時間，完成第二個“百星”用了6年時間，而達成第三個“百星”只用了3年時間。義務教育數學課程標準(2022年版)題。50年發(fā)射300星，可以求出平均每年發(fā)射6顆星，即300÷50=據的方案。顯然方案有多種：把2018年某月的(1)如表7,先只出示1號和2號同學的套中次數。讓學生經過關鍵是要找到套中次數與套圈總次數的關系(命中率)才能進行(2)出示3號和4號同學的套圈總次數和套中次數，讓學生自主表7套中套圈1號92號53號64號學生(大于或等于75%)都能夠達標，少數(小于25%)沒有達標準"的研究過程，寫出有自己特色的“小論文"。開展將體育活動、形狀的?教室大不大?教室內有多少桌子、椅子?桌子是什么形狀拿一個?積木是什么形狀的?在數學活動中幼選一個最喜歡的與他人分享。指導學生有條理義務教育數學課程標準(2022年版)(1)籌備購物街(2)貨幣小講堂(1)時間是什么依據學生的生活經驗，以講故事的形式，讓學生表述1分鐘、1秒、1小時所刻畫的過程的長短。例如，回顧運動會跑步的場景，100米比賽成績需要用秒度量，1500米比賽成績需要用分度量，馬(2)時間在哪里(3)1分鐘能做什么(4)計時工具義務教育數學課程標準(2022年版)(1)我的教室(2)我的學校(3)我的房間(1)發(fā)現身體上的“長度”(2)用身體上的尺子測量(3)交流我們的發(fā)現義務教育數學課程標準(2022年版)(1)說說“我的生活”(2)畫出“數學故事”(3)組織“我們的故事會”(1)1本數學書有多厚一量，1本數學書(即約50張紙)的厚度大約是多少。(2)2本、5本、10本數學書有多厚當2本、5本、10本數學書摞在一起時，用手比畫它們的厚度，(3)1200張(或者更多)紙大約有多厚請學生合作，動手摞20多本數學書(假設1本數學書約50張引導學生思考并積極表達：如果是圖畫本中的1200張紙摞在一起，可能有多厚?如果將1200張其他類型的紙摞在一起，可能有【說明】學生依托生活經驗，了解24時記時法，會用24時記時(1)我的一天時間規(guī)劃結合多個生活情境，指導學生理解12時記時法和24時記時法的義務教育數學課程標準(2022年版)(2)日歷中的發(fā)現(3)年、月、日知多少(4)制作月歷牌(1)了解土圭之法(2)了解二十四節(jié)氣例56尋找“寶藏”義務教育數學課程標準(2022年版)(1)尋找“寶藏”指導學生查閱工具書(如成語詞典),從中找到帶有計量單位的(3)組織主題墻報展在真實情境中，引導學生經歷從數學的角度概括事物的關鍵要義務教育數學課程標準(2022年版)(3)組織展覽，交流反思(1)體育信息窗計劃，查找、梳理、篩選信息，從中發(fā)現數學的應用，提出數學(2)體育報告會例62營養(yǎng)午餐引導學生結合生活經驗提出問題，通過經歷調查研究、解決實際問題的過程，感悟設計調查方案的重要性，知道如何利用百分數等數學知識和科學、營養(yǎng)學等知識解決問題，積累用統(tǒng)計方法解決現實生【說明】在人體每天攝取的總能量中，午餐約占40%。膳食中營養(yǎng)的均衡攝入與學生身體健康密切相關。引導學生通過對午餐中各種營養(yǎng)物質的計算和分析，以及對營養(yǎng)午餐食譜的設計，發(fā)展問題解決(1)結合經驗提出項目學習要解決的問題引導學生回顧自己了解的營養(yǎng)膳食的信息，如少鹽少油、葷素搭配等，提出感興趣的問題，如“各種食物所包含的營養(yǎng)物質主要有哪些?”“我們最近的午餐營養(yǎng)搭配是否合理?”等。后面的學習圍繞主(2)查閱資料，了解營養(yǎng)膳食的知識指導學生查閱資料，進一步了解人體每日的營養(yǎng)需求，如“10歲兒童每日午餐中應獲取的合理熱量”;了解如大米、面粉、青菜、馬鈴薯、牛肉、雞肉等常見食材中的營養(yǎng)物質含量。指導學生借助圖表等方式比較數據，感受均衡營養(yǎng)、合理膳食的重要性。學生可以分(3)計算一周午餐食譜的營養(yǎng)情況指導學生記錄最近一周學校餐廳或者自己家庭的午餐食譜，分工合作，對照前面的數據表，計算這一周午餐的營養(yǎng)構成情況，分析并(4)設計一周營養(yǎng)午餐食譜根據前面的學習，設計一周營養(yǎng)午餐食譜，并通過海報等形式進(4)制訂節(jié)水方案元1世紀),魏晉時期偉大的數學家劉徽(生卒年不詳)和唐代杰出義務教育數學課程標準(2022年版)(1)abcd=1000a+100b+10c+d=(9在論證過程中，讓學生進一步提升符號意識，養(yǎng)成利用數學符號(2)引導學生用歸納的方法，依次計算發(fā)現個位上數字是5的兩 2a5"=(10a+5)2=100a2+2×50a+25=在歸納的過程中引導學生發(fā)現，依次計算或嘗試是合理的、有利例67一元二次方程的根與系數的關系知道一元二次方程的根與系數的關系，能通過系數表示方程的的關鍵是用字母表示方程的系數，可以寫出方程根的一般表達式；知設ax2+bx+c=0(a≠0)為一元二次方程，將方程變化為,于是，當b2-4ac≥0時方程有兩個根：o義務教育數學課程標準(2022年版)學生在這樣的過程中，感悟符號表達對于數學發(fā)展的作用，積累例68通過圖象分析函數關系如圖17,對于給定圖象能夠想象出圖象所表示的函數關系?！菊f明】在許多情況下，有效的教學不僅能從條件推演結果，也對于圖17給出的圖象，可以想象這樣的情節(jié)。小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原來的速度返回，如圖17(a)所示；父親在報亭看報10分鐘，然后用15分鐘返回家，如圖17(b)所示。在這樣的過程中，加深學生對函例69得到函數表達式如圖18,正三角形ABC的邊長為1,D是BC邊上的一點，過D作AB邊的垂線，交AB于G,用x表示線段AG的長度。顯然，Rt△GBD的面積y是線段長度x的函數，試給出這個函數的表達式?！菊f明】這是一個典型的用代數式表達幾何結論的問題，有利于首先確定自變量x的取值范圍。由于△ABC是正三角形，容易GB的長度為(1-x),斜邊DB的長度為2(1-x),根據勾股定理，例70溫度的計量全世界大部分國家都采用攝氏溫標預報天氣，但美國、英國等國家仍然采用華氏溫標。請學生查閱資料，分析兩種溫標計量值的對應【說明】引導學生查閱相關資料，給出計量值的對應表，如得到表8中的數據。攝氏溫度值x/℃0啟發(fā)學生在平面直角坐標系中描出相應的點，因為表8中攝氏溫度值是從0開始，所以設攝氏溫度值為橫坐標比較方便?？梢钥吹?，義務教育數學課程標準(2022年版)兩種溫標計量值的關系是一次的，讓學生給出該一次函數的表達式：;還可以讓學生推算0F的攝氏溫度，華氏溫度值是否可這個例子的分析，有助于學生理解函數表達式中的系數可以通過特殊點的取值確定；還有助于學生理解直線y=x的特殊意義，感悟例71二次函數的最大值或最小值如圖19,計劃利用長為a米的繩子圍一個矩形圍欄，其中一邊是墻。試確定其余三條邊，使得圍欄圍出的面積圖19面積為米，于是，矩形的。學生通過這個實例分析，可以進一步熟悉求二次函數最大值的方例72反比例函數的引入嘗試由xy=k(k≠0)所表示的關系過渡到反比例函數【說明】因為小學階段不講反比例關系，所以初中階段最好能通痕重合，因此，點M是線段AB的中點，∠AMC=∠BMC=90°。(2)這是上一個作圖問題的直接推論。設給定的點P和給定的直線l如圖20(b),以P為圓心作圓弧交直線l于A和B兩點，然義務教育數學課程標準(2022年版)如圖21,設l?//l?,l截l?和l?于點P和Q,證明∠1=∠2。圖21交于兩點。如圖22(a),直線l與◎O交于兩點P和Q,連接圖22義務教育數學課程標準(2022年版)如圖23,作線段OP的中點A(可以參考例73),以A為圓心，圖23大素數的方法，這就是計算形如2*-1的數，其中p是素數。他斷言，當p=2,3,5,7,13,17,1確的，這是第8個梅森素數。但是，到了1903年事情發(fā)生了變化。后來，人們用計算機驗證梅森素數，使超大素數的搜索成為可梅森素數，這個數字是282589933-1,是一個24862【說明】例66(2)要求學生發(fā)現并證明個位上數字是5的兩位數推理。如圖24,考慮一個幾何的例子。圖24義務教育數學課程標準(2022年版)題)或類比(更多用于幾何問題)推斷一般情況下類似結論成立。在經過數學證明(包括數學計算)的驗證，數學證明方法包括三段論、證的過程是從特殊到一般，是歸納推理；推斷的過(1)如圖25,設AC=AC',在△ABC和△ABC'中，AC=AC',圖25(2)如圖26,在△ABC和△AB'C'中，BC//B'C',∠B=∠B'圖26例80圖形中心旋轉的變與不變在一個平面上，確定旋轉中心和旋轉角，通過多邊形中心旋轉的如圖27,在平面上，確定旋轉中心O和旋轉角θ,點P與中心O連接得到線段OP,讓線段OP繞點O逆時針旋轉θ角，得到線段OP'。這樣，稱點P'為點P通過中心旋轉得到的點。可以看到，旋轉前后線段的長度沒有發(fā)生變化，即OP=OP'。因此，通過中心旋轉，雖然點P的位置發(fā)生了變化，但旋轉前后的點到旋轉中心的距圖27現在，考慮一個多邊形的旋轉。如圖28,四邊形ABCD繞點O順時針旋轉α角，得到四邊形A'B'C'D',因為圖形上的每個點都繞點O順時針旋轉了同一個角度α,到點O的距離都保持不變，從而義務教育數學課程標準(2022年版)過程中，圖形上任意兩點間的距離保持不變。圖28例81利用圖形的相似解決問題在現實生活中，對于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理【說明】如圖29,右邊是一個高樓的示意圖。可以組織一個教學圖29在距高樓MN為b米的點B處豎立一個長度為l米的直桿AB,讓學生調整自己的位置，使得他直立時眼睛C、直桿頂點A和高樓頂點M三點共線。測量人與直桿的距離DB,記為a米；測量學生眼睛高度CD,記為h米。設高樓的高度MN為x米，由相似三角形可0例82勾股定理的直觀證明使用動態(tài)幾何軟件設計教學活動，利用面積的不變性幫助學生體【說明】在本活動中，首先呈現由四個相同的直角三角形(直角邊分別記為a和b)拼出的邊長為(a+b)的正方形(如圖30),直角三角形的邊長可動態(tài)調整(拖動點Q,a和b可以取任意長度，如圖31)。然后，左、右拖動滑塊平移和旋轉直角三角形，改變它們的位置，兩兩拼合直角三角形，在大正方形中拼出兩個形狀相同的矩形，讓學生從直觀上體會到圖31中邊長為c的白色正方形面積與圖33中邊如圖30,教師呈現四個相同的直角三角形(陰影部分),拖動SR上的分割點Q,可以同時改變所有直角邊的長度(如圖31)?？梢越柚鷨栴}引領學生通過觀察、操作，直觀得到證明過程，感義務教育數學課程標準(2022年版)滑塊圖31問題1:圖31中白色部分是什么形狀呢?它的面積是多少?問題2:拖動滑塊向左移動，觀察軟件畫面的動態(tài)效果，說一說滑塊圖32問題3:將滑塊拖動到最左端時，四個直角三角形的位置如圖圖33問題4:想一想，圖31中白色部分的面積與圖33中兩塊白色部分的面積之和相等嗎?說出你的理由。例83設計調查方案了解本年