第09章梁的應力

第九章梁的應力9-1平面彎曲的概念及實例9-2梁的正應力9-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式9-4梁的切應力（可刪去）9-5梁的強度條件9-6提高梁彎曲強度的主要途徑9-1平面彎曲的概念及實例1、彎曲：當桿件受到垂直于桿軸線的外力（即橫向力）或力偶作用時，桿的軸線由直線變成曲線的變形。縱向對稱平面、平面彎曲

工程上常見的梁，其橫截面都具有一根對稱軸y?？v向對稱面—由對稱軸和梁的軸線組成的平面。平面彎曲：梁由直線在縱向對稱平面內變成曲線的彎曲。9-2梁的正應力純彎曲梁段：CD段橫力彎曲梁段：AC、BD段9-2-1純彎曲時的變形現(xiàn)象與假設梁橫截面上的變形規(guī)律：（2）在變形前，與梁軸線垂直的橫向直線m-m和n-n變形后仍保持為直線，且仍與彎曲后的梁軸線保持垂直。

（1）縱向線a-a和b-b，由直線彎曲為曲線。-內凹一側的縱向線bb縮短，-外凸一側的縱向線aa伸長。中性層既不伸長也不縮短。

純彎曲直梁的受力變形的兩個假設：（1）平面假設：認為梁的橫截面在彎曲后仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線保持垂直。（2）單向受力假設(纖維互不擠壓假設)：認為梁的各縱向纖維之間沒有因純彎曲而引起相互擠壓作用，則橫截面上各點處的縱向線段均處于單向應力狀態(tài)。9-2-2正應力公式推導綜合考慮：幾何關系

物理關系靜力學&幾何方面r——中性層處曲率半徑微段梁dx上a-a處沿軸線x方向應變?yōu)椋?）式表明，梁在純彎曲時，其縱向纖維的線應變與纖維距中性層的距離y成正比。

——曲率

&物理方面該式表明，梁橫截面上任一點的正應力與該點距中性軸的距離y成正比，而且距中性軸等遠處的各點正應力相等。

若純彎曲梁內的應力不超過材料的比例極限，且材料的拉伸與壓縮彈性模量相同時,由胡克定律，即得&靜力學方面因為即得到中性軸(Z軸)，過形心。結合物理方程：等直梁在純彎曲條件下橫截面上任一點正應力公式為:

—為梁的橫截面對中性軸的慣性矩；

—為梁的抗彎剛度。

sx的符號確定方法：

(1)將彎矩M和坐標y的正負號同時代入；(2)以中性層為界，變形后梁凸出邊的應力必為拉應力，而凹入邊的應力則為壓應力。

（2）對于細長梁即

，橫截面上的剪力對正應力分布和最大值的影響一般在5％以內，因此橫力彎曲時橫截面上的正應力,下式亦適用（1）上式雖由矩形截面梁導出，但也適用于所有截面形狀對稱于y軸的梁，如工字形、T字形、圓形截面梁等例如圖（a）所示的簡支梁為56a號工字型鋼，截面簡化尺寸如圖（b）所示。若梁上作用有集中力P＝125kN，試求：

（1）不計自重，該梁危險截面上的最大正應力；

（2）不計自重，該梁危險截面上翼緣與腹板交界處a點正應力。解（1）首先不考慮梁自重，作出梁的彎矩（c）

危險截面應在梁段CD中任一截面。利用型鋼表，可查得56a號工字鋼的截面幾何性質：

危險截面上的最大正應力（2）危險截面上翼緣與腹板交界處a點的正應力9-3常用截面的慣性矩、平行移軸公式▲矩形截面的慣性矩Iz

b/2b/2Cydyzyh/2h/2根據(jù)慣性矩定義有：

a)慣性矩▲圓形截面的慣性矩Iz

dzyρyzc同理，空心圓截面對中性軸的慣性矩為D為空心圓截面的外徑，α為內、外徑的比值。&形心和靜矩形心(Centroids)坐標公式：

靜矩又稱面積矩則有&組合截面的慣性矩計算將組合截面A劃分為n個簡單圖形，設每個簡單圖形面積分別為A1、A2、……An。根據(jù)慣性矩定義及積分的概念，組合截面A對某一軸的慣性矩等于每個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和，即：慣性矩的組合公式

&平行移軸定理zyz0yy0dCdA（1）截面對任一軸（不通過形心）的慣性矩，等于截面對平行于該軸的形心軸的慣性矩與一附加項之和，該附加項等于截面面積與兩軸距離平方之積。（2）該附加項恒為正，則截面對形心軸的慣性矩最小。例計算圖示T形截面的形心和過它的

形心z軸的慣性矩。解：選參考坐標系oz′y′

（2）計算截面慣性矩9-4梁的切應力（要求）一般在橫力彎曲時，梁截面上既有彎矩，又有剪力。當梁的跨度很?。ㄩL高比：l/h<5)或在支座附近有很大的集中力作用，這時梁的最大彎矩比較小，而剪力卻很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，這時剪應力可達到相當大的數(shù)值，剪應力就不能忽略了。就有必要考慮梁截面上的剪應力影響。

&矩形截面梁的彎曲剪應力Iz代表整個橫截面對中性軸矩z的慣性距；而Sz*則代表y處橫線一側的部分截面對z軸的靜距。對于矩形截面矩形截面梁的彎曲剪應力沿截面高度呈拋物線分布；在截面的上、下邊緣處(y=h/2)剪應力τ=0；在中性軸(y=0),剪應力最大，是平均剪應力力的1.5倍。&工字形截面梁的彎曲剪應力腹板上的彎曲剪應力沿腹板高度方向也是呈二次拋物線分布，在中性軸處(y=0)，剪應力最大，在腹板與翼緣的交接處(y=±h/2)，剪應力最小。剪力主要由腹板承受，彎矩主要由翼緣承受。&圓形截面梁的彎曲剪應力在中性軸上，剪應力為最大值τmax

一般公式：（b為AB弦長度）例梁截面如圖所示，橫截面上剪力FQ=15KN。試計算該截面的最大彎曲剪應力，以及腹板與翼緣交接處的彎曲剪應力。截面的慣性矩Iz=8.84×10?6m4。最大彎曲剪應力發(fā)生在中性軸上。中性軸一側的部分截面對中性軸的靜矩為：解：1.最大彎曲剪應力。最大彎曲剪應力：

(2).腹板、翼緣交接處的彎曲剪應力交接處的彎曲剪應力9-5梁的強度條件為了保證梁的安全工作，梁最大應力不能超出一定的限度，也即，梁必須要同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。(1)彎曲正應力強度條件彎曲正應力強度條件為：要求梁內的最大彎曲正應力σmax不超過材料在單向受力時的許用應力[σ]利用上述強度條件，可以對梁進行三方面的計算：正應力強度校核、截面選擇和確定容許荷載。Wz：彎曲截面系數(shù)。（2）彎曲剪應力強度條件最大彎曲剪應力作用點處于純剪切狀態(tài)，相應的強度條件為：要求梁內的最大彎曲剪應力τmax不超過材料在純剪切時的許用剪應力[τ]例圖所示外伸梁，用鑄鐵制成，橫截面為T字形，并承受均布荷載q作用。試校該梁的強度。已知荷載集度q=25N/mm，截面形心離底邊與頂邊的距離分別為y1=45mm和y2=95mm，慣性矩Iz=8.84×10-6m4，許用拉應力[σt]=35MPa，許用壓應力[σc]=140Mpa。解：（1）危險截面與危險點判斷。梁的彎矩如圖示，在橫截面D與B上，分別作用有最大正彎矩與最大負彎矩，因此，該二截面均為危險截面。截面D與B的彎曲正應力分布分別如圖示。截面D的a點與截面B的d點處均受壓；而截面D的b點與截面B的c點處均受拉。

即梁內的最在彎曲壓應力σc,max發(fā)生在截面D的a點處。至于最大彎曲拉應力σt,max,究竟發(fā)生在b點處，還是c點處，則須經計算后才能確定。由于|MD|>|MB|，|ya|>|yd|,因此|σa|>|σd|（2）強度校核。梁的彎曲強度符合要求

例懸臂工字鋼梁AB，長l=1.2m，在自由端有一集中荷載F，工字鋼的型號為18號，已知鋼的許用應力[σ]=170Mpa，略去梁的自重，(1)試計算集中荷載F的最大許可值。(2)若集中荷載為45kN，確定工字鋼的型號。解：1.梁的彎矩圖如圖示，最大彎矩在靠近固定端處，其絕對值為：Mmax=Fl=1.2FN·mF的最大許可值為：由附錄中查得，18號工字鋼的抗彎截面模量為Wz=185×103mm3公式：1.2F≤(185×10-6)(170×106)(2)最大彎矩值Mmax=Fl=1.2×45×103=54×103N·m按強度條件計算所需抗彎截面系數(shù)為：查附錄可知，22b號工字鋼的抗彎截面模量為325cm3，所以可選用22b號工字鋼。9-6提高梁彎曲強度的主要途徑在橫力彎曲中，控制梁強度的主要因素是梁的最大正應力，梁的正應力強度條件最大正應力與M成正比，與Wz成反比。所以提高彎曲強度要從提高Wz和降低M值入手。（1）合理安排梁的受力情況(支座、荷載)(2)選用合理的截面形狀如：設正方形邊長為a，矩形的寬度為b，高度為h,且b/h=1/3。若兩截面面積相等，即A1=A2,a2=bh.正方形截面的抗彎截面模量為矩形截面的抗彎截面模量為兩者之比為：

一般地把梁的抗彎截面模量W與其橫截面面積A之比作為選定合理截面形狀的一個指標。在A不變的條件下，W愈大愈好。即WZ/A越大越合理。對同樣矩形，有平放時：豎放時：因為h>b

，所以豎放比平放有較高的抗彎能力，更為合理。

常見截面的WZ/A值截面形狀

0.167h0.125d