第一章線性系統(tǒng)分析-2013

信息光學(xué)楊衛(wèi)平云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院yangwpkm@126.co133988563962023/2/11QQ：553655747參考文獻(xiàn)J.W.Goodman.IntroductiontoFourierOptics[M].RobertsandCompanyPublishers,ThirdEdition2.呂乃光.傅里葉光學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007,第二版.5.宋菲君.近代光學(xué)信息處理[M].北京:北京大學(xué)出版社,1998.3.陳家壁等.光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2002.4.謝敬輝等.物理光學(xué)教程[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2005.2023/2/12作業(yè)P321.4用寬度為a的狹縫，對(duì)平面上光強(qiáng)分布掃描，在狹縫后用光電探測(cè)器，求輸出強(qiáng)度分布。補(bǔ)充題2023/2/13前言

光學(xué)是一門較早發(fā)展的學(xué)科，它在科學(xué)(量子論、相對(duì)論）與技術(shù)的發(fā)展史上占有重要地位。近幾十年來，由于光學(xué)自身的發(fā)展以及和其它科學(xué)技術(shù)（如電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等）的廣泛結(jié)合與相互滲透，傳統(tǒng)的光學(xué)在理論方法和實(shí)際應(yīng)用(如信息的存貯,光纖通信)上都有了許多重大的突破和進(jìn)展，形成了許多新的分支學(xué)科或邊緣學(xué)科。2023/2/14光學(xué)的研究范圍2023/2/15光波傳播規(guī)律的科學(xué)（天文，顯微，視光學(xué)，自然奇觀）光波與物質(zhì)的相互作用（光合，照片膠卷，輻射與生物，光電子）2023/2/16中國墨子小孔成像古希臘歐幾里德《反射光學(xué)》古代的光學(xué)2023/2/171608，望遠(yuǎn)鏡，荷蘭，李普塞1612，顯微鏡，荷蘭，姜森1860，光譜分析儀，德國，基爾霍夫光學(xué)儀器2023/2/18哈勃望遠(yuǎn)鏡2023/2/1919世紀(jì)末期世界科學(xué)幾大發(fā)現(xiàn)相對(duì)論量子力學(xué)麥克斯韋方程組門捷列夫的元素周期表1935年F.Zernike相襯原理的提出;1948年D.Gabor全息照相術(shù)的發(fā)明;1955年H.H.Hopkins光學(xué)傳遞函數(shù)理論的建立（評(píng)價(jià)鏡頭）;1960年T.H.Maiman紅寶石激光器的誕生。1961年，中國的第一臺(tái)激光器（長春光機(jī)所）

它們是現(xiàn)代光學(xué)發(fā)展中的幾件大事，連同60年代以后由于各種激光器的研制成功而迅速發(fā)展起來的非線性光學(xué)、纖維光學(xué)、集成光學(xué)等諸方面，使現(xiàn)代光學(xué)廣泛地活躍在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的許多部門。2023/2/110現(xiàn)代光學(xué)的幾大發(fā)展2023/2/1111961年，我國第一臺(tái)激光器2023/2/112光學(xué)照相的發(fā)展I（振幅，光強(qiáng)），1792，黑白照相λ（波長，頻率），1908，彩色照片Φ（位相），1935，相襯顯微鏡I，λ，Φ，全息照相CT計(jì)算機(jī)技術(shù)，1979諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)2023/2/113近代光學(xué)與信息科學(xué)90%的信息通過視覺古代烽火臺(tái)光波，承載，傳播，記錄，萃取，顯示信息光纖通信技術(shù)光驅(qū)外設(shè)，光盤存儲(chǔ)技術(shù)空間光學(xué)與航空技術(shù)

表征現(xiàn)代光學(xué)重大進(jìn)展的另一件大事，是P.M.Duffieux1946年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支——傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。它應(yīng)用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。

它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻譜被改變的觀點(diǎn)評(píng)價(jià)非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。信息光學(xué)促進(jìn)了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展。可以認(rèn)為它是光學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通訊理論的交叉學(xué)科。2023/2/114

光學(xué)薄膜和光學(xué)晶體是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中不可缺少的重要器件，用途非常廣泛。研究光在光學(xué)薄膜中的反射、折射、偏振及光譜特性，以及晶體對(duì)光波的雙折射和偏振效應(yīng)，分別構(gòu)成了薄膜光學(xué)和晶體光學(xué)的重要內(nèi)容，也是現(xiàn)代光學(xué)的重要組成部分。

當(dāng)今社會(huì)是信息社會(huì),信息技術(shù)正在改變著人類社會(huì)。在各種各樣的信息技術(shù)中,光信息技術(shù)的地位越來越重要,作用也越來越突出。在信息的產(chǎn)生、采集、顯示、傳輸、存貯以及處理的各個(gè)環(huán)節(jié)中，光信息技術(shù)都扮演著重要的角色。光信息科學(xué)與技術(shù)是光學(xué)和信息科學(xué)相結(jié)合的一門學(xué)科。2023/2/1152023/2/116信息光學(xué)的研究傅里葉光學(xué)（傅里葉級(jí)數(shù)）線性系統(tǒng)理論引入現(xiàn)代光學(xué)光的傳播，衍射，成像從空域到頻域光學(xué)信息處理應(yīng)用，高密度存儲(chǔ)光學(xué)測(cè)量技術(shù)光信息科學(xué)與技術(shù)與應(yīng)用介紹一、光信息科學(xué)基礎(chǔ)

1、線性系統(tǒng)理論

2、光學(xué)變換理論

3、光傳播理論

4、光成像理論基礎(chǔ)篇二、光信息技術(shù)基礎(chǔ)

1、激光技術(shù)

2、空間光調(diào)制器2023/2/117基本技術(shù)篇一、光信息的采集和顯示技術(shù)光信息的采集

1、光電信息變換法：光電信息有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系，如數(shù)碼相機(jī)。

2、光信息編碼法----按一定的規(guī)律把圖像的信息映射到某一空間，再把映射信息轉(zhuǎn)化為電信息或光信息。這里的電信息（光信息）對(duì)應(yīng)的不是圖像本身的信息，而是映射信息，因此在重現(xiàn)過程中直接重現(xiàn)的往往不是圖像本身，而是其映射的結(jié)果。如果需要重現(xiàn)圖像的話，就必須通過一定的重建方法來實(shí)現(xiàn)。這種方法常用于光學(xué)信息處理。比如，通過傅里葉變換，空間信息變?yōu)轭l域信息。2023/2/118光信息顯示1、CRT——陰極射線顯示器（電子束掃描），傳統(tǒng)的電視機(jī)，電腦顯示器。2、液晶顯示器

結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在兩片敷有透明導(dǎo)電電極的平板玻璃夾層中裝入一種具有液體性質(zhì)而光學(xué)上具有晶體性質(zhì)的物體（液晶），在透明電極上加上幾伏至幾十伏的電壓，電極之間的透光率、色彩、反射率就會(huì)發(fā)變化。液晶顯示器的突出優(yōu)點(diǎn)是電壓低，功率小，可與集成電路配套使用，體積小。此外，在明亮的條件下能得到使人滿意的對(duì)比度、色彩。但它的工作溫度范圍小，一般在0~50度，目前制作大面積的平板顯示器有一定的困難。2023/2/1193、等離子顯示板

在兩塊平板玻璃中封入電離發(fā)光的氣體，在透明電極上加上幾百伏的電壓，電極之間電場(chǎng)使氣體電離發(fā)光。它最適用于組裝成大屏幕顯示屏，多用于體育場(chǎng)、軍事指揮中心。二、光信息的傳輸技術(shù)1、光纖通信技術(shù)2、無源導(dǎo)波器件光纖連接器、光分路耦合器、波分復(fù)用器件、光隔離器、光開關(guān)。2023/2/120三、光信息存貯技術(shù)1、光盤的存貯原理只讀存貯光盤、可擦重寫相變光盤、直接重寫相變光盤、可擦重寫磁光光盤。2、相變光盤的結(jié)構(gòu)及制備3、光盤存貯器設(shè)備中的光學(xué)系統(tǒng)2023/2/1212023/2/122人民日?qǐng)?bào)全文數(shù)據(jù)庫（1993）2023/2/123激光體全息高密度存儲(chǔ)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)2023/2/124激光全息防偽人民幣（建國50周年紀(jì)念幣）2023/2/125四、光信息的加工及其處理技術(shù)1、空間濾波2、照相圖像的恢復(fù)3、假彩色編碼--用黑白膠片保存彩色像4、圖像增強(qiáng)五、光學(xué)圖像特征識(shí)別2023/2/126空間濾波的應(yīng)用2023/2/127相干光學(xué)信息處理實(shí)驗(yàn)圖像相減的實(shí)驗(yàn)結(jié)果微分濾波（邊緣增強(qiáng)）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果2023/2/128

調(diào)制實(shí)驗(yàn)的彩照其它應(yīng)用技術(shù)篇一、光學(xué)計(jì)量技術(shù)1、全息干涉計(jì)量2、全息散斑計(jì)量二、全息術(shù)1、白光再現(xiàn)全息圖2、計(jì)算全息3、模壓全息技術(shù)三、層析成像技術(shù)1、投影數(shù)據(jù)和拉冬變換2、圖像的重建3、圖像的光學(xué)模擬重現(xiàn)2023/2/1292023/2/130奧迪轎車車身在線三維測(cè)量系統(tǒng)2023/2/131激光測(cè)距與激光雷達(dá)（1）2023/2/132激光測(cè)距與激光雷達(dá)（2）2023/2/133長度測(cè)量四、條形碼技術(shù)條形碼系統(tǒng)是按照特定格式組合起來的一組寬度不同的平行線條，其線條和間隔代表了某些數(shù)字符號(hào)，用以表示某些信息。這種代碼非常容易使用簡(jiǎn)便的閱讀器裝置進(jìn)行識(shí)別，經(jīng)過閱讀設(shè)備的光電轉(zhuǎn)換的信號(hào)只需經(jīng)過簡(jiǎn)單的接口電路即能輸送到微型機(jī)等數(shù)據(jù)處理裝置，進(jìn)行信息的處理。2023/2/134五、紅外技術(shù)紅外技術(shù)一開始主要用于軍事方面，近年來隨著紅外技術(shù)的發(fā)展，特別是一些新型的紅外探測(cè)器和成像器件的陸續(xù)問世及其成本的不斷下降，使得紅外技術(shù)的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展。在一些技術(shù)發(fā)達(dá)的國家，紅外技術(shù)不僅用于軍事、科學(xué)研究、工農(nóng)生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)等方面，而已進(jìn)入人們的日常生活中。六、高速激光印刷系統(tǒng)2023/2/135進(jìn)展篇一、光纖通信新技術(shù)1、光纖接入網(wǎng)2、相干光通信3、光復(fù)用技術(shù)4、全光傳輸5、光孤子通信二、光信息存儲(chǔ)新進(jìn)展

1、新型光信息存貯2、全息信息存貯2023/2/136四、二元光學(xué)又稱衍射光學(xué)，光學(xué)元器件的大小在微米的量級(jí)，可以構(gòu)成大量光學(xué)器件陣列。三、光計(jì)算1、模擬光計(jì)算2、數(shù)字光計(jì)算2023/2/13716相位級(jí)CdTe（鉻銻）微透鏡陣列電子掃描顯微圖2023/2/138第一章線性系統(tǒng)分析

一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)可以用一個(gè)有輸入和輸出的方框圖來表示。光學(xué)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的作用可以是線性的，也可以是非線性的。對(duì)于非線性系統(tǒng)，目前還沒有通用的技術(shù)來求解。雖然任何一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)都不是嚴(yán)格線性的，但在一定的條件下，許多光學(xué)系統(tǒng)可以作為線性系統(tǒng)來處理。另外，由于光學(xué)系統(tǒng)幾乎都是用二維空間變量來描述，所以我們首先介紹二維線性系統(tǒng)的一些基本知識(shí)。系統(tǒng)h(x,y)輸入輸出2023/2/139g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)1.1光學(xué)中常用的幾種初等函數(shù)

一、矩形函數(shù)矩形函數(shù)的定義為函數(shù)圖像如下圖所示01位移量2023/2/140高度為1，中心位于x=x0，寬度和面積都等于a縮放量二維矩形函數(shù)可表示成一維矩形函數(shù)的乘積式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原點(diǎn)為中心的ab矩形范圍內(nèi)，函數(shù)值為1，其它地方為零。物理應(yīng)用：光學(xué)上常用矩形函數(shù)表示不透明屏上的矩形孔、狹縫的透過率。它與其它函數(shù)相乘時(shí)，可限制函數(shù)自變量的取值范圍，起到截取函數(shù)的作用，故又稱為“門函數(shù)”。如表示一個(gè)只出現(xiàn)在區(qū)間2023/2/141當(dāng)有因子時(shí)，它的0點(diǎn)出現(xiàn)在x0na。當(dāng)沒有因子時(shí)，0點(diǎn)出現(xiàn)在x0na。因此，有因子時(shí)確定零點(diǎn)的位置更方便。

二、sinc函數(shù)（Bracewell）

一維sinc函數(shù)的定義為式中a>0,函數(shù)在x=x0處有最大值1。對(duì)于x0=0,該函數(shù)在原點(diǎn)處有最大值1。二個(gè)第一級(jí)零值之間的寬度為2a,函數(shù)圖像如圖所示零點(diǎn)位于2023/2/142二維sinc函數(shù)的定義為物理應(yīng)用：sinc函數(shù)常用來描述矩孔或單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，且與rect函數(shù)互為傅里葉變換。2023/2/143

三、階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義為10階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時(shí)，如x>0，則積等于原函數(shù)，在x<0的部分，其積為零。因而階躍函數(shù)的作用如同一個(gè)開關(guān)，可開啟或關(guān)閉另一函數(shù)。2023/2/144

四、符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)的定義為10-1符號(hào)函數(shù)與某函數(shù)相乘，可以使該函數(shù)在某點(diǎn)的極性（正負(fù)號(hào)）發(fā)生翻轉(zhuǎn)。2023/2/145

五、三角函數(shù)一維三角函數(shù)的定義為10式中a>0,函數(shù)圖形是底邊寬為2a，高為1的三角形。物理應(yīng)用：三角形函數(shù)可表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。2023/2/146六、圓域函數(shù)圓域函數(shù)的定義為函數(shù)圖形呈圓柱形，底半徑為a，高度為1。極坐標(biāo)下的形式為物理應(yīng)用：圓域函數(shù)常用來描述無限大不透明屏上圓孔的透過率2023/2/147七、高斯函數(shù)高斯函數(shù)的定義為二維高斯函數(shù)的形式是曲面下的體積為aba>0。當(dāng)x0=0時(shí)，函數(shù)在原點(diǎn)處有最大值1。高斯圖形中曲線下的面積為a。式中2023/2/148性質(zhì)：①是一個(gè)光滑的函數(shù)，即它的一切導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。②一個(gè)高斯函數(shù)的傅里葉變換是另一個(gè)高斯函數(shù)。曲面下的體積為aba=1,b=1時(shí)極坐標(biāo)下物理應(yīng)用：高斯函數(shù)在統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中經(jīng)常用到。高斯函數(shù)在光學(xué)中常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束，有時(shí)也用于光學(xué)信息處理中的切趾術(shù)。2023/2/1492023/2/150高斯光束1.2函數(shù)

在物理學(xué)和工程技術(shù)中常用狄拉克提出的函數(shù)描述某種極限狀態(tài)和高度集中的物理量。例如，在電學(xué)中常用函數(shù)表示點(diǎn)電荷，而在光學(xué)中，函數(shù)表示的是點(diǎn)光源。函數(shù)不是普通函數(shù)，是廣義函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣完全由數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，其屬性完全由它在積分中的作用表現(xiàn)出來。從應(yīng)用的角度看，也可以把函數(shù)與普通函數(shù)聯(lián)系起來，用普通函數(shù)描述它的性質(zhì)。下面介紹三種最基本的函數(shù)定義。一、函數(shù)定義2023/2/151定義A定義B定義A對(duì)函數(shù)給出了類似普通函數(shù)形式的定義，然而定義式描述的圖像并不普通，它是一個(gè)在原點(diǎn)以外處處為零，而在原點(diǎn)處出現(xiàn)無窮大的函數(shù)。2023/2/152定義B是把函數(shù)看作一些普通函數(shù)構(gòu)成的序列的極限。下圖給出了一維矩形函數(shù)序列和高斯函數(shù)序列的例子，隨著N的增大，所取的矩形函數(shù)和高斯函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線將變得越來越窄，峰值卻越來越高，而曲線下的面積始終保持為1。當(dāng)N時(shí)，它們的函數(shù)曲線趨近于定義A中的“脈沖”。gn(x,y)的具體形式是多種多樣的，常用的有矩形函數(shù)，高斯函數(shù)和sinc(x,y)函數(shù)。2023/2/153back2023/2/154定義C

中f(x,y)在原點(diǎn)處連續(xù)。該式表明函數(shù)在積分域中的作用就是賦與函數(shù)在x=0,y=0處的數(shù)值f(0,0)。這是廣義函數(shù)的定義方式，具有普遍意義。不同形式的函數(shù)，只要它們?cè)诜e分中的作用和上式相同，就可認(rèn)為它們與函數(shù)相等，這一性質(zhì)在理論推導(dǎo)中經(jīng)常用到。定義C2023/2/155廣義函數(shù)與檢驗(yàn)函數(shù)

廣義函數(shù)不便于像普通函數(shù)那樣做加、減、乘、除，的運(yùn)算，只有積分時(shí)才能得到定值，總要經(jīng)過積分式才能作用與另一函數(shù)。(x，y)在積分中也和普通函數(shù)不同。普通積分遇到函數(shù)值為時(shí)就不可積，積分限為-0到+0時(shí)積分值為0。但用函數(shù)，積分中可得f(0，0)

。2023/2/156

設(shè)有兩個(gè)廣義函數(shù)f1(x，y)和f2(x，y)，在同時(shí)滿足下面兩式時(shí)

即f1(x，y)對(duì)(x，y)的作用和f2(x，y)對(duì)(x，y)的作用都得到同一個(gè)數(shù)N時(shí)，就認(rèn)為f1(x，y)=f2(x，y)。

即這時(shí)，(x，y)是用來檢驗(yàn)廣義函數(shù)的效果的，叫做“檢驗(yàn)函數(shù)”。檢驗(yàn)函數(shù)應(yīng)滿足：（1）是連續(xù)的，并處處可微；（2）當(dāng)x,y時(shí)，(x，y)下降足夠快。大于某一值時(shí)，(x，y)和它的一切導(dǎo)數(shù)都等于0，或至少比收斂得快。N為任意整數(shù)。就是說，(x，y)在一段（x,y）的有限范圍以外基本上都等于0。2023/2/157二、函數(shù)的表示和性質(zhì)112、篩選性質(zhì)1、函數(shù)和其它函數(shù)的乘積3、坐標(biāo)縮放性質(zhì)2023/2/1584、可分離變量性質(zhì)5、函數(shù)是偶函數(shù)三、梳狀函數(shù)光學(xué)上，單位光通量間隔為1個(gè)單位的點(diǎn)光源線陣的亮度，可用一個(gè)一維梳狀函數(shù)表示：n為整數(shù)梳狀函數(shù)也是廣義函數(shù)，其性質(zhì)可由函數(shù)的性質(zhì)推出。2023/2/159利用坐標(biāo)縮放性質(zhì)，可以把間隔為x0的等間距脈沖序列表示為梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積是因此，可以利用梳狀函數(shù)對(duì)普通函數(shù)作等間距抽樣。在x和y方向間隔分別為a和b的二維脈沖序列表示為2023/2/160ab2023/2/1611.3二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個(gè)變量x,y的函數(shù)f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個(gè)自變量的函數(shù)。變換F2023/2/162振幅譜相位譜功率譜類似地，函數(shù)f(x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：上式稱為F（，）的二維傅里葉逆變換。正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號(hào)和積分變量不同而已。我們可以用傅里葉變換對(duì)偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。=-1{}F-1（）FF()2023/2/163二、傅里葉變換存在的條件（1）函數(shù)f(x,y)必須對(duì)整個(gè)XY平面絕對(duì)可積，即（2）函數(shù)f(x,y)必須在XY平面上的每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小點(diǎn)。（3）函數(shù)f(x,y)必須沒有無窮大間斷點(diǎn)。2023/2/164

上述三個(gè)存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。這是因?yàn)?，從?yīng)用的角度看，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。但需說明的，為了物理學(xué)上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示實(shí)際的物理圖形，對(duì)這些有用的函數(shù)而言，上面的三個(gè)條件中的一個(gè)或多個(gè)可能均不成立。例如階躍函數(shù)，函數(shù)等就不滿足存在條件。

因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有必要對(duì)傅里葉變換的定義作一些推廣。2023/2/165三、廣義傅里葉變換

對(duì)于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個(gè)序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個(gè)相應(yīng)的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。2023/2/1662023/2/167設(shè)f(x)是一個(gè)無法確定狹義傅氏變換的函數(shù)，如f(x)和一個(gè)函數(shù)序列fn(x)(n=1,2,…)具有如下關(guān)系并且對(duì)函數(shù)序列中的每一個(gè)函數(shù)fn(x)來說，它的狹義傅氏變換都存在，且當(dāng)n時(shí)，函數(shù)序列F()也有確定的極限，則稱該極限為函數(shù)在極限意義下的傅氏變換。2023/2/168例題：求函數(shù)f(x,y)=1的傅里葉變換解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。01先求矩形函數(shù)的傅里葉變換{rect(y)}{rect(x)}FF請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo)2023/2/169rect函數(shù)和sinc函數(shù)是一對(duì)Fourier變換對(duì)在廣義下的傅氏變換，允許交換幾分運(yùn)算和求極限運(yùn)算的次序2023/2/170f(x,y)=1所以1的傅里葉變換是函數(shù)。函數(shù)定義問題：函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？-1F物理圖像f(x,y)=1請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo)2023/2/171函數(shù)定義所以：2023/2/172對(duì)任一常數(shù)來說，如果不借助函數(shù)，其極限意義下的傅氏變換難以確定。這是因?yàn)椋罕M管可以用適當(dāng)定義的函數(shù)序列極限描寫任一函數(shù)，并且構(gòu)成該函數(shù)序列的主函數(shù)都存在傅氏變換，但相應(yīng)的傅氏變換序列的極限，在通常以一下并不存在。例：對(duì)常數(shù)1來說，可以看成是F{rect(x/N)}=，當(dāng)N時(shí)，矩形高度始終等于1，

曲線高度也。2023/2/173這就是說，所得的傅氏變換序列不存在通常意義下的確定的極限。從而，對(duì)常數(shù)1來說，難于確定其極限意義下的傅氏變換。如果引入函數(shù)概念，則由構(gòu)成上述傅氏變換序列，隨著，而以()為極限，即，可將常數(shù)1的極限意義下的傅氏變換確定為()。例子：求梳狀函數(shù)comb(x/a)的傅里葉變換因?yàn)槭岷瘮?shù)是周期性函數(shù)，可將其展開為傅里葉級(jí)數(shù)其中2023/2/174所以，梳函數(shù)的傅里葉變換為F其間隔為?2023/2/1752023/2/176[1]趙軍芳.傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用[J].國外電子測(cè)量技術(shù),2004,(6):17-20.[2]熊元新,陳允平.離散傅里葉變換的定義研究[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2006,39(1):89-91+142.[3]張憲超,武繼剛,蔣增榮等.離散傅里葉變換的算術(shù)傅里葉變換算法[J].電子學(xué)報(bào),2000,28(5):107-107.[4]朱,王富東.利用MATLAB實(shí)現(xiàn)二維圖像傅立葉變換算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2006,23(12):Readings1.4卷積與相關(guān)（ConvolutionandCorrelation）一、卷積的定義h(x,y)一個(gè)線性系統(tǒng)的由輸入與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積給出。于是，在理論上，如果知道了系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，則僅僅實(shí)行一個(gè)卷積，就能夠?qū)θ魏屋斎雭碛?jì)算系統(tǒng)的輸出。2023/2/178兩個(gè)函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的卷積的定義為：它是包含兩個(gè)參量的二重?zé)o窮積分，這里的參變量x,y和積分變量，均為實(shí)數(shù)，但函數(shù)f(x,y)和h(x,y)可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。“”號(hào)表示卷積運(yùn)算。1、卷積的定義2、卷積運(yùn)算的例子例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)f(x)和h(x),求其卷積2023/2/179求卷積的圖解方法：（1）變?cè)簩(x)和h(x)變?yōu)閒()和h()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）鏡像：將h()h(-)，只要將h()曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。2023/2/180（3）對(duì)任一x(-,+)，只要將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）計(jì)算所對(duì)應(yīng)的曲線下的面積2023/2/181（5）選擇新的x值，重復(fù)（4）。為了得到卷積，需對(duì)-,+的每一個(gè)x值求其卷積值。2023/2/182綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積2023/2/183上述卷積的圖解方法，概括起來有四個(gè)步驟：折疊、位移、相乘和積分。圖解方法在系統(tǒng)分析中是很有用的，它使我們能直觀理解許多抽象的關(guān)系。在直接計(jì)算卷積積分時(shí)，圖解方法也有助于確定積分限。為了加深印象，再看一個(gè)例子。例：如圖，已知兩個(gè)函數(shù)f(x)和h(x),求其求卷積2023/2/184解：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒()和h()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h()h(-)只要將h()曲線相對(duì)縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。2023/2/185（3）、將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)，因此g(x)=02023/2/186例：求兩個(gè)矩形函數(shù)的卷積，參閱教材P12頁，下面給出結(jié)論3、卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)：假設(shè)函數(shù)只在一個(gè)有限區(qū)間不為零，這個(gè)區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度。一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)的和。最常見的效果就是一個(gè)函數(shù)“加寬”了另一個(gè)函數(shù)。（2）平滑效應(yīng)：被卷積的函數(shù)經(jīng)過卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。2023/2/1872023/2/188作為一級(jí)近似，常將光柵看成由寬度無限小的刻度組成的線族，因而透射函數(shù)可以用一族函數(shù)來表示。如果把每條刻線換成寬度有限的，并有確定的透射輪廓的刻線，則總的透射可看作這族函數(shù)和表征一條縫的寬化的函數(shù)卷積的結(jié)果。例1.衍射光柵例2.衍射光柵一個(gè)點(diǎn)光源照在手上，在屏上可以看見清晰的像。如果兩個(gè)點(diǎn)光源照在手上，則屏上的像會(huì)出現(xiàn)重影。這就是兩個(gè)點(diǎn)光源與手的卷積效果。例3.光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)的過程用矩形函數(shù)表示狹縫的透過率h(x),并對(duì)光強(qiáng)的空間分布f(x)掃描，在狹縫后面用光電探測(cè)器記錄光強(qiáng)分布g(x)。這一掃描記錄過程包含了平移、相乘、積分幾個(gè)環(huán)節(jié)，由于h(x)是偶函數(shù)，折疊不發(fā)生變化。因而這是一個(gè)卷積運(yùn)算過程。當(dāng)狹縫很窄，g(x)越接近于f(x)。當(dāng)狹縫越寬，平滑效應(yīng)就越嚴(yán)重，g(x)中已失去f(x)的細(xì)節(jié)。2023/2/1892023/2/190設(shè)f(x)是一個(gè)變化很劇烈的函數(shù)，h(x)是寬度為a的矩形函數(shù)，則，是以某區(qū)段內(nèi)的積分值來表示卷積函數(shù)在某點(diǎn)x的值。這樣，卷積的結(jié)果將比原來函數(shù)f(x)本身的起伏變得平緩，但是經(jīng)過卷積運(yùn)算后，函數(shù)的細(xì)微結(jié)果在一定程度上被消除了。4、卷積運(yùn)算的基本性質(zhì)（1）分配律（2）交換律（3）結(jié)合律（4）平移不變性已知?jiǎng)t2023/2/191令5、函數(shù)f(x,y)與函數(shù)的卷積2023/2/192說明：任意函數(shù)f(x,y)與（x,y)函數(shù)的卷積等于函數(shù)本身.任意函數(shù)f(x,y)與（x-x0,y-y0)函數(shù)的卷積等于函數(shù)被平移到脈沖所在的空間位置上（x0,y0）處。==2023/2/193函數(shù)f(x,y)與多個(gè)脈沖函數(shù)的卷積可在每個(gè)脈沖位置上產(chǎn)生f(x,y)的波形。這一性質(zhì)有助于我們描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu)，例如，雙縫、多縫、光柵等衍射屏的透過率函數(shù)。=2023/2/1942023/2/195思考題卷積的物理意義是什么？/~signals/convolve/index.html自行演算1.rect函數(shù)的傅氏變換2.三角函數(shù)的傅氏變換3.高斯函數(shù)的傅氏變換4.指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換（可以得到一個(gè)含參量廣義積分的結(jié)果）二、相關(guān)1、互相關(guān)的定義（有限能量函數(shù)的相關(guān)）兩個(gè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)定義為★式中f﹡是函數(shù)f的復(fù)共軛，★號(hào)表示相關(guān)運(yùn)算。令我們可得互相關(guān)定義的另一種形式2023/2/1962、互相關(guān)的卷積表達(dá)式互相關(guān)與卷積是不同的兩種運(yùn)算，參與互相關(guān)的兩個(gè)函數(shù)都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。若f(x,y)是實(shí)偶函數(shù)，則★2023/2/1972、互相關(guān)的性質(zhì)（1）證明：令2023/2/198（2）證明：引用許瓦茲不等式其中和一般為復(fù)數(shù)，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=k時(shí)才成立，k是復(fù)常數(shù)。令2023/2/199模在原點(diǎn)最大則由許瓦茲不等式得因?yàn)?023/2/1100原點(diǎn)的移動(dòng)并不改變積分的數(shù)值2、自相關(guān)1、定義：時(shí)互相關(guān)成為自相關(guān)★當(dāng)2023/2/1101（3）歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)=歸一化自相關(guān)函數(shù)2023/2/1102關(guān)于互相關(guān)和自相關(guān)的說明互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度。兩個(gè)完全不同的、毫無關(guān)系的信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個(gè)信號(hào)由于某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)的位置上就存在非零的互相關(guān)。在x0處由于信號(hào)相似程度大，因而出現(xiàn)相關(guān)峰值?！?023/2/1103自相關(guān)是自變量相差x時(shí)，函數(shù)值間相關(guān)的量度。在表征不規(guī)則函數(shù)的性質(zhì)時(shí)特別有用。當(dāng)x=0,y=0，f(,)f*(-x,-y)就等于|f(,)|2。對(duì)于每個(gè)(,)點(diǎn)，這值總是正的，自相關(guān)最大。當(dāng)信號(hào)相對(duì)本身有平移時(shí)，就改變了位移為零時(shí)具有的逐點(diǎn)相似性，自相關(guān)的模減小。但是只要信號(hào)本身在不同位置存在相似結(jié)構(gòu)，相應(yīng)部位還會(huì)產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值，當(dāng)位移足夠大時(shí)，自相關(guān)值可能趨于零?！?023/2/11041-5傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理一、傅里葉變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則即兩個(gè)函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。FFF2023/2/11052、迭次傅里葉變換對(duì)二元函數(shù)作二次傅里葉變換，可得其倒立像3、坐標(biāo)縮放性質(zhì)4、位移定理FFFFFF2023/2/1106函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會(huì)導(dǎo)致頻域位移。相移位移ffffff2023/2/1107相移位移相移頻移5、體積對(duì)應(yīng)關(guān)系2023/2/11086、復(fù)共軛傅里葉變換若f(x,y)為實(shí)函數(shù)，顯然有稱具有厄米對(duì)稱性二、傅里葉變換的基本定理1、卷積定理FF2023/2/1109說明：空域兩個(gè)函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積或卷積時(shí)，利用卷積定理可由簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個(gè)函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對(duì)乘積作逆變換。2、相關(guān)定理（維納-辛欽定理）（1）互相關(guān)定理★FFFFF2023/2/1110f(x)與g(x)的互譜能量密度2023/2/1111因此，互相關(guān)定理表明，兩個(gè)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)與它們的互能密度構(gòu)成傅氏變換對(duì)。（2）自相關(guān)定理★稱為信號(hào)f(x,y)的能譜密度F因此，自相關(guān)定理表明，一個(gè)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與能量譜密度構(gòu)成傅氏變換對(duì)。2023/2/1112例：求指數(shù)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。

解：當(dāng)0時(shí)，積分區(qū)間為[,)，所以當(dāng)0時(shí)，積分區(qū)間為[0,)，所以可見，當(dāng)-<<時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可合寫為：能量譜密度為：表示某種能量表示某種能量2023/2/11133、巴塞伐定理和廣義巴塞伐定理在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明對(duì)能量的計(jì)算，既可以在空域進(jìn)行，也可以在頻域進(jìn)行。從物理上看，這是能量守恒的體現(xiàn)，故也稱為能量積分定理。G*(,)不是g(x,y)的傅氏變換，是G(,)共軛2023/2/1114巴塞伐定理可以用來計(jì)算較復(fù)雜的積分，例如：4、傅里葉積分定理5、導(dǎo)數(shù)定理設(shè)則有-1FF=-1FFFFF2023/2/1115證明：F-1F2023/2/1116F2023/2/11175、矩定理2023/2/1118給定一個(gè)函數(shù)f(x)和它的傅氏變換F()，利用導(dǎo)數(shù)定理，令=0，并用(-j2)m除這個(gè)方程的兩邊，得到稱為f(x)dem階矩。f(x)的m階矩正比于它的傅里葉變換的m階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)的值2023/2/1119由導(dǎo)數(shù)定理可得下面的零階、一階和二階矩定理（1）零階矩定理函數(shù)f(x)的零階矩就是函數(shù)f(x)對(duì)應(yīng)曲線下的面積。該定理提供了計(jì)算某些函數(shù)對(duì)應(yīng)的面積的簡(jiǎn)便方法。例如，J0(2x)覆蓋的面積2023/2/1120（2）一階矩定理函數(shù)f(x)的一階矩可以有各種具體意義。例如：在力學(xué)里它可以表示力矩；在概率論中，當(dāng)f(x)表示隨機(jī)變量的概率密度時(shí)，其一階矩就是該隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)均值（數(shù)學(xué)期望）。（3）二階矩定理2023/2/1121二階矩在力學(xué)中可表示慣性矩或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在概率論中表示均方值。2023/2/1122例題：？例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換FF2023/2/1123例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換FF2023/2/1124例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換FF2023/2/1125例題：求三角函數(shù)的傅里葉變換利用卷積定理FFFFF2023/2/1126下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數(shù)的傅里葉變換。這種方法，用圖形表示出函數(shù)在空間域和頻率域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分析思路直觀且便于記憶。*0-112023/2/1127例：求極坐標(biāo)內(nèi)的二維傅里葉變換。同理上面極坐標(biāo)下的傅里葉變換的形式是相當(dāng)復(fù)雜的，但是當(dāng)g具有圓對(duì)稱性時(shí)，極坐標(biāo)顯得比較方便。2023/2/1128傅里葉-貝塞爾變換設(shè)g(r,)具有圓對(duì)稱性，即g與無關(guān)，于是可以寫成g(r,)=g(r)利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式式中是第一類零階貝塞爾函數(shù)上式表明，圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換仍是圓對(duì)稱的類似地可得其傅里葉逆變換2023/2/1129在極坐下，圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換的運(yùn)算是相同的。我們把這種特殊形式的傅里葉變換稱為傅里葉-貝塞爾變換。在研究圓孔的衍射時(shí)我們要用到上面的變換。例題：求圓域函數(shù)的傅里葉變換利用傅里葉-貝塞爾變換。令并利用恒等式F2023/2/11301.6線性系統(tǒng)分析一、用數(shù)學(xué)符號(hào)表示系統(tǒng)從數(shù)學(xué)上來講，很多現(xiàn)象都有可以抽象為使函數(shù)f通過一定的變換，形成函數(shù)g的運(yùn)算過程。這種實(shí)現(xiàn)函數(shù)變換的運(yùn)算過程稱為系統(tǒng)。這種意義下的系統(tǒng)，既可以是特定功能的元器件組合，例如，電子線路、光學(xué)透鏡組等，也可以是與實(shí)際器件無關(guān)的物理現(xiàn)象，例如光波通過自由空間的傳播過程等。這樣定義的系統(tǒng)的作用可由算符L{}來表征。若函數(shù)f(x,y)表示一個(gè)系統(tǒng)的輸入，g(x,y)表示與之相應(yīng)的輸出，系統(tǒng)的作用則可用下式表示LL{}2023/2/1131具體地指出算符的形式和性質(zhì)是有困難的，因?yàn)檫@取決于系統(tǒng)的物理性質(zhì)。我們主要討論系統(tǒng)中一種重要的類型，即線性系統(tǒng)。由于它具有線性性質(zhì)，從而可以對(duì)它作出更深刻的討論，而得出有確切含義的輸入和輸出關(guān)系式。2023/2/11322023/2/1133對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)來說，輸入和輸出可能是二維的實(shí)值函數(shù)——隨空間變化的光強(qiáng)分布；也可能是二維的復(fù)值函數(shù)——隨空間位置變化的復(fù)振幅分布。究竟是以強(qiáng)度還是以復(fù)振幅作為系統(tǒng)的變量，與系統(tǒng)的空間相干性有關(guān)。與經(jīng)典光學(xué)的方法不同，在傅氏光學(xué)中，通常是以線性系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)去分析各種光學(xué)問題的。在一定的限制條件下，光波的傳播、衍射、成像等現(xiàn)象都可以看作是線性的，空間不變的。對(duì)于它們的討論就可以采用線性系統(tǒng)分析的典型方法，特別是傅氏分析法（頻譜分析法）。這不僅簡(jiǎn)化問題的討論，而且能更清晰地揭示出這些現(xiàn)象的物理實(shí)質(zhì)。二、線性系統(tǒng)定義一個(gè)系統(tǒng)對(duì)輸入f1和f2的輸出響應(yīng)為g1、g2，則有若對(duì)于任意復(fù)常數(shù)a1和a2，當(dāng)輸入函數(shù)為a1f1(x,y)+a2f2(x,y)時(shí)，輸出為則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。LLL2023/2/1134由線性系統(tǒng)的定義可知，線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)，即系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入的線性組合的整體響應(yīng)就等于各單個(gè)輸入產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。2023/2/1135

利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以方便地求出系統(tǒng)對(duì)于任意復(fù)雜輸入的響應(yīng)。方法是：首先，我們把復(fù)雜的輸入分解成許多更加基本的函數(shù)，即“基元”函數(shù)的線性組合。而基元函數(shù)的響應(yīng)是較容易單獨(dú)確定的。這些基元函數(shù)的響應(yīng)再經(jīng)線性組合，就可以得到復(fù)雜輸入所對(duì)應(yīng)的輸出，這是線性系統(tǒng)的最大好處?；瘮?shù)通常是指不能再分解的基本函數(shù)。在線性分析系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有函數(shù)、余弦函數(shù)、和復(fù)指數(shù)函數(shù)。2023/2/11360102032023/2/1137三、脈沖響應(yīng)以函數(shù)作為基元函數(shù)，研究輸入與輸出的關(guān)系利用函數(shù)的篩選性質(zhì)，任何輸入函數(shù)都可以分解為函數(shù)的線性組合這個(gè)積分可以看成是x,y平面上無窮多個(gè)不同位置（，）處的以權(quán)重為系數(shù)的線性疊加函數(shù)2023/2/11382023/2/1139L的意義是：輸入平面上位于x=,y=處的單位脈沖（點(diǎn)光源）通過系統(tǒng)后在輸出平面上得到的分布。所以它是脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。對(duì)于給定的光學(xué)系統(tǒng)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)一般與輸入點(diǎn)脈沖的位置（,）有關(guān)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換LLL2023/2/1140顯然，線性系統(tǒng)的性質(zhì)完全由它對(duì)單位脈沖的響應(yīng)表征。只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有可能的點(diǎn)上的脈沖的響應(yīng)，就可以通過疊加積分而完全確定系統(tǒng)的輸出。另外，如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿足疊加積所描述的關(guān)系，就可以認(rèn)為這是一個(gè)線性系統(tǒng)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換L2023/2/11412023/2/1142對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)，若物平面上各點(diǎn)的光振動(dòng)是完全相干的，則系統(tǒng)對(duì)物、像面上光振動(dòng)的復(fù)振幅滿足線性疊加關(guān)系。如果物平面上發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光波完全不相干時(shí)，系統(tǒng)對(duì)物、像平面光強(qiáng)度分布滿足線性疊加。為了更好地理解疊加積分的物理意義，我們以線性光學(xué)成像系統(tǒng)為例加以說明：一輻輸入圖像可看成是一個(gè)點(diǎn)物的集合，只要能確定所有點(diǎn)物的像，就可以完備地描述這一成像系統(tǒng)的效應(yīng)。但要注意的是，一定要把所有物點(diǎn)的像疊加起來，才能得到輸出圖像。即完全確定一個(gè)線性系統(tǒng)的性質(zhì)，需要知道系統(tǒng)對(duì)于輸入平面上所有可能位置上的函數(shù)輸入的脈沖響應(yīng)。2023/2/1143顯然，要做到這一點(diǎn)，是相當(dāng)困難的。不過對(duì)于線性系統(tǒng)的一個(gè)重要子類——線性不變系統(tǒng)，分析才變得十分簡(jiǎn)單。2023/2/1144稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)y1x1y2x2(x1-,y1-)h(x2,y2;,)點(diǎn)斑2023/2/1145表示在輸出平面坐標(biāo)點(diǎn)(x2,y2)上，對(duì)輸入平面坐標(biāo)(x1,y1)點(diǎn)上函數(shù)的響應(yīng)。對(duì)于一般存在像差且通光孔徑有限大的光學(xué)成像系統(tǒng)而言，輸入平面上的物點(diǎn)（表示成函數(shù)），通過系統(tǒng)后，在輸出像面上不是形成像點(diǎn)，而是擴(kuò)散成一像斑，并用脈沖響應(yīng)h

表示，故又把稱為h

擴(kuò)散函數(shù)?？梢?，只要確定了物場(chǎng)中各點(diǎn)的像h，就可知道光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。這種方法在鏡頭的裝校中稱為“星點(diǎn)檢驗(yàn)”表示，故又把稱為h擴(kuò)散函數(shù)。2023/2/1146h的波形可能并不相同。其函數(shù)形式與輸入時(shí)刻有關(guān)，記為四、線性不變系統(tǒng)一個(gè)線性系統(tǒng)的性質(zhì)可能是隨時(shí)間（或空間位置）變化的。例如，一個(gè)電路系統(tǒng)，不同時(shí)刻輸入的時(shí)間脈沖信號(hào)，其響應(yīng)L若輸入脈沖延遲時(shí)間，其響應(yīng)僅僅有相應(yīng)的時(shí)間延遲，而函數(shù)形式不變，即L我們稱這樣的線性系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。這種系統(tǒng)輸入與輸出之間的變換關(guān)系是確定的，不隨時(shí)間變化。固定電阻、電容、電感的特性在一段時(shí)間內(nèi)，可看作是不隨時(shí)間變化的，它們組成的電路是時(shí)不變的。一個(gè)空間脈沖（如單位點(diǎn)光源）在輸入平面上位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生相應(yīng)的位移，即L這樣的系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)2023/2/1147對(duì)于空間不變系統(tǒng)，其輸入與輸出的變換關(guān)系是不隨輸入空間位置而變化的變的。其唯一的效應(yīng)是輸出發(fā)生同樣的位移。若L則L2023/2/1148對(duì)于線性不變系統(tǒng)，疊加積分式變?yōu)槭街衕(x,y)是坐標(biāo)原點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)，它可以表征線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)。上式（**）積分稱為卷積積分，其含義仍舊是指：把輸入函數(shù)f(x,y)分解為無窮多個(gè)函數(shù)的線性組合，每個(gè)脈沖都按其位置加權(quán)，然后把系統(tǒng)對(duì)于每個(gè)脈沖的響應(yīng)疊加在一起就得對(duì)于f(x,y)的整體響應(yīng)。與（*）式不同的是，不論輸入脈沖位置如何，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的函數(shù)的形式是相同的。因而系統(tǒng)的作用可以用一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征。2023/2/1149說明：對(duì)于成像系統(tǒng)而言，物平面上一個(gè)點(diǎn)光源（函數(shù)），通過成像系統(tǒng)后得到一個(gè)彌散像點(diǎn)分布（h函數(shù)），這種彌散作用很像日暈、月暈現(xiàn)象。對(duì)于線性不變系統(tǒng)，由于像點(diǎn)的形狀不隨物點(diǎn)空間位置而變，所以又把這種特性稱為等暈性。對(duì)于實(shí)際成像系統(tǒng)，一般不可能是嚴(yán)格的空不變系統(tǒng)，這是由于像差的大小與物點(diǎn)位置有關(guān)。然而絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)像差大小隨時(shí)物點(diǎn)位置的變化是緩慢的，因此，即使是空間不變性不能在整個(gè)視場(chǎng)內(nèi)成立，我們也可把視場(chǎng)分成若干個(gè)區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)使空間不變性近似成立。這樣劃分的區(qū)域稱為等暈區(qū)。對(duì)于每個(gè)等暈區(qū)都有各自的h。因此，對(duì)線性不變系統(tǒng)的討論是具有普遍意義的。2023/2/1150五、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上式是輸入和輸出關(guān)系在空域表示，利用卷積定理，可以得到頻率的關(guān)系式。2023/2/1151

輸入頻譜

輸出頻譜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)它決定了輸入頻譜中各種頻率成分通過系統(tǒng)時(shí)將發(fā)生什么樣的變化。說明：對(duì)線性平移不變系統(tǒng)，可以采用兩種研究方法。一是在空域通過輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積求得輸出函數(shù)；二是在頻域求得輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)兩者各自的頻譜函數(shù)的乘積。再對(duì)該乘積求逆傅里葉變換求得輸出函數(shù)。2023/2/1152從表面上看，后一種方法比前一種方法復(fù)雜，但實(shí)際情況并非如此，這是因?yàn)槔酶道锶~變換的性質(zhì)和傅里葉變換對(duì)偶表，常可以使得傅里葉變換、求積和求逆傅里葉變換這一運(yùn)算過程遠(yuǎn)比卷積運(yùn)算方便。因此從頻率域來考察線性平移不變系統(tǒng)，不僅有重要的理論意義，而且有很高的實(shí)用價(jià)值。下面進(jìn)一步來討論傳遞函數(shù)的物理意義：前面我們把線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)f(x,y)分解成函數(shù)的線性組合，而對(duì)于線性不變系統(tǒng)，可以找到更為合適的基元函數(shù)，即復(fù)指數(shù)函數(shù)。逆傅里葉變換提供了對(duì)于輸入函數(shù)進(jìn)行分解的方法。2023/2/1153在光學(xué)中，、

具有長度倒數(shù)的量綱，因此具有空間頻率的意義。上式表明?？臻g信號(hào)f(x,y)可以分解成具有不同空間頻率、的基元函數(shù)exp[j2(x+y]的線性組合，F(xiàn)（,）dd就是這一線性組合中對(duì)應(yīng)基元函數(shù)的權(quán)重因子。這就是除了函數(shù)以外的第二種基元函數(shù)。這種分解法通常稱為傅里葉分解。LL又因?yàn)?023/2/1154利用L上式表明，各基元復(fù)指數(shù)函數(shù)在通過線性不變系統(tǒng)后，仍然是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)。但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此傳遞函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)，它描述了系統(tǒng)的頻率域的特性。線性不變系統(tǒng)2023/2/1155L六、線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)定義：如果函數(shù)f(x,y)滿足條件式中a為一復(fù)數(shù)，叫本征值，則稱f(x,y)為算符所表征的系統(tǒng)的也就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，相應(yīng)的輸出函數(shù)等于輸入函數(shù)與一復(fù)常數(shù)的乘積。由上面的討論可知，復(fù)指數(shù)函數(shù)可以形式不變地通過線性不變系統(tǒng)，因此，它正是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。在分析線性不變系統(tǒng)時(shí)，取復(fù)指數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)是非常方便的。L本征函數(shù)L2023/2/11562023/2/1157補(bǔ)充概念對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)，若物平面上個(gè)點(diǎn)的光振動(dòng)是完全相干的，則系統(tǒng)對(duì)物、像面上光振動(dòng)的復(fù)振幅滿足線性疊加關(guān)系。如果物平面上發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光波完全不相干時(shí)，系統(tǒng)對(duì)物、像平面上光強(qiáng)分布滿足線性疊加關(guān)系。兩種照明系統(tǒng)。①所有物點(diǎn)上的場(chǎng)的相矢量振幅的變化是步調(diào)一致的；盡管物的任意兩點(diǎn)可有不同的固定相對(duì)相位，但它們的絕對(duì)相位隨時(shí)間變化的方式是理想地相互關(guān)聯(lián)的。這種照明稱為空間相干的。②物上所有各點(diǎn)的相矢量振幅隨時(shí)間的變化完全沒有關(guān)聯(lián)。這種照明稱為空間非相干的。對(duì)于非相干處理系統(tǒng)，系統(tǒng)對(duì)光強(qiáng)是線性的，這種系統(tǒng)可以把一個(gè)實(shí)值輸入變換成一個(gè)實(shí)值輸出，也是一種常見的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是厄米的，即有：令振幅傳遞函數(shù)相位傳遞函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2023/2/1158下面我們來證明余弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)令為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸入函數(shù)為因?yàn)橐虼?，輸入頻譜為輸出頻譜為2023/2/1159函數(shù)的篩選性質(zhì)系統(tǒng)的輸出函數(shù)為F-1因輸入函數(shù)的頻率是任意的，故上式可寫成一般形式2023/2/1160L上式表明，對(duì)于具有實(shí)值脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出，但可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的衰減和相移。這種變化的大小分別決定于傳遞函數(shù)的模和輻角。2023/2/1161（1）衍射孔徑比波長大得多；D＞＞對(duì)于大多數(shù)問題，這兩個(gè)條件是常常是能滿足的。對(duì)于高分辨率衍射光柵等不滿足上述條件的情況，衍射場(chǎng)的能量分布與光的偏振態(tài)密切相關(guān)，必須考慮矢量波衍射理論。本課程只討論光波的標(biāo)量衍射理論。（2）觀察點(diǎn)離衍射孔徑不要太近。1.7二維光場(chǎng)分析光是電磁波，完備描述光波，應(yīng)考慮光波場(chǎng)的矢量性質(zhì)。然而在光的干涉、衍射等許多現(xiàn)象中，允許把光波近似作為標(biāo)量波處理。也就是只考慮電磁場(chǎng)的一個(gè)橫向分量，并假定任何別的分量可以用同樣的方法獨(dú)立處理。而實(shí)際上電磁場(chǎng)的各分量是通過Maxwell方程聯(lián)系在一起的，不能獨(dú)立處理。不過，研究表明，只要滿足如下兩個(gè)條件。此時(shí)，應(yīng)用標(biāo)量理論得到的結(jié)果（衍射場(chǎng)能量分布）與實(shí)際十分相符。2023/2/1162注：Maxwll方程與電磁波動(dòng)方程前提條件：無源空間，激勵(lì)電流和自由電荷均為零，且設(shè)媒質(zhì)是各向同性、線性和均勻的。各向同性線性均勻1.7.1單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示2023/2/1163利用由（1）式同理得式（3）、（4）是無源空間中E，H滿足的方程，稱為電磁波動(dòng)方程，是研究電磁波問題的基礎(chǔ)。標(biāo)量理論是只考慮電磁場(chǎng)中的一個(gè)分量，且認(rèn)為各分量是獨(dú)立的。2023/2/1164球面波和平面波是波動(dòng)方程的基本解，而由波動(dòng)方程的線性性質(zhì)，任何復(fù)雜的波都能用球面波或平面波的線性組合表示。因此，有必要了解從數(shù)學(xué)上來描述這些波。1.7.1單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示單色光場(chǎng)中某一點(diǎn)P在時(shí)刻t的光振動(dòng)可表示為式中是光波的時(shí)間頻率。a(P)和（P）分別是P點(diǎn)的光振動(dòng)的振幅和初相位。2023/2/1165

一個(gè)理想的單色光波對(duì)于時(shí)間和空間都是無限的?？疾鞂?shí)際發(fā)光過程，它總是發(fā)生在一定時(shí)間和一定空間范圍內(nèi)，所以理想單色光波是不存在的。但是在實(shí)際存在的光波中，有的光波僅僅包含以某一頻率為中心的很窄的頻率范圍，即窄帶光。單色光的結(jié)論可以推廣到窄帶光。對(duì)寬帶的非單色光，可以將它們分解為單色光。然后再應(yīng)用單色光的有關(guān)結(jié)論。所以對(duì)單色光的討論不僅有理論意義，而且還有實(shí)際意義。2023/2/1166根據(jù)歐拉公式，一個(gè)余弦函數(shù)可以表示為相應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部。因此，u(P,t)也可以表示為如下式子式中Re{}表示對(duì)括號(hào)內(nèi)復(fù)函數(shù)取實(shí)部。顯然，利用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動(dòng)，便于把相位中空間部分（P）和由時(shí)間變量決定的部分2t分開來。定義一個(gè)新物理量稱為單色光場(chǎng)中P點(diǎn)的復(fù)振幅，它包含了P點(diǎn)光振動(dòng)的振幅a(P)和初相位（P）。U（P）2023/2/1167定義一個(gè)新物理量稱為單色光場(chǎng)中P點(diǎn)的復(fù)振幅，它包含了P點(diǎn)光振動(dòng)它與時(shí)間無關(guān)，而僅是空間位置的函數(shù)。對(duì)于單色光波，由于頻率恒定，由時(shí)間變量確定的相位因子exp(-j2t)對(duì)于光場(chǎng)中各點(diǎn)來說均是相同的。光場(chǎng)中光振動(dòng)的空間分布完全由復(fù)振幅U隨空間位置的變化所確定。U（P）的振幅a(P)和初相位（P）。2023/2/1168利用復(fù)振幅U（P），光振動(dòng)的表達(dá)式可寫為在計(jì)算干涉、衍射和另一些光學(xué)問題時(shí)，涉及單色光波的線性運(yùn)算，可直接利用復(fù)振幅進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)出所需結(jié)果的復(fù)振幅。由復(fù)振幅計(jì)算光強(qiáng)可按下式進(jìn)行。例題：利用復(fù)振幅求兩相干光場(chǎng)的干涉公式S1S2P2023/2/1169這是大家熟悉的雙光束干涉公式。如要求光柵的衍射公式，可利用N個(gè)復(fù)振幅直接相加，得其合復(fù)振幅，進(jìn)而求得光強(qiáng)。比利用余弦函數(shù)計(jì)算方便得多。2023/2/11701、球面波的復(fù)振幅從點(diǎn)光源發(fā)出的光，其波面表現(xiàn)為球面波。我們常把一個(gè)復(fù)雜的光源看做是許多點(diǎn)光源的集合，因此，點(diǎn)光源是一個(gè)重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（設(shè)點(diǎn)光源初相為零）發(fā)散波a0是距光源單位距離處的振幅會(huì)聚波2023/2/1171（設(shè)點(diǎn)光源初相為零）發(fā)散波任一點(diǎn)P處的復(fù)振幅為--波數(shù)同理，對(duì)于會(huì)聚球面波，其復(fù)振幅為下面討論球面波在直角坐標(biāo)系中光場(chǎng)的分布表達(dá)式許多問題中，我們所關(guān)心的往往是某個(gè)確定平面的上的光場(chǎng)分布，所以下面重點(diǎn)討論某一特定平面上復(fù)振幅的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2023/2/117202023/2/1173當(dāng)xy平面上只考慮一個(gè)對(duì)s點(diǎn)張角不太大的范圍，這時(shí)有傍軸條件作泰勒級(jí)數(shù)展開，略去高階項(xiàng)得上式代入發(fā)散球面波復(fù)振幅公式得到xy平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為2023/2/1174在相位因子中包括兩項(xiàng)：描述了位相隨x,y平面坐標(biāo)的變化我們稱之為球面波的（二次）相位因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這一因子，就可近似認(rèn)為距離該平面z處有一點(diǎn)光源