第三章 截面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形的幾何性質(zhì)oyz一、定義dA

yz圖形對(duì)z,y軸的靜矩為：靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。單位為：§3-1靜矩和形心yzO

dA

yz

平面圖形的形心C坐標(biāo)公式為：c圖形對(duì)形心軸的靜矩等于零。如圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必過(guò)形心。

二、組合圖形圖形各組成部分對(duì)于某一軸的靜矩之代數(shù)和，就等于整個(gè)圖形對(duì)于同一軸的靜矩。

由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的平面圖形稱(chēng)為組合圖形

——第

i個(gè)簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)組合圖形靜矩的計(jì)算公式為其中：

——

第i個(gè)簡(jiǎn)單圖形

計(jì)算平面圖形的形心C坐標(biāo)公式如下：例1試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的z軸的靜矩。解：取平行于z軸的狹長(zhǎng)條，所以對(duì)x軸的靜矩為1010120o80

取y軸和z軸分別與截面的底邊和左邊緣重合解：將截面分為1，2兩個(gè)矩形12zy例

試確定圖示截面形心C的位置。1010120o8012zy矩形1矩形21010120o8012zy所以例

試計(jì)算圖示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需計(jì)算yC將截面分為I、II兩個(gè)矩形，建立如圖所示坐標(biāo)系。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：于是：

yzOdAyz定義：截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩為§3-2慣性矩和慣性積

圖形對(duì)y,z

軸的慣性矩分別為因?yàn)?/p>

yz0dAyz所以圖形對(duì)y,z軸的慣性半徑為圖形對(duì)y,z軸的慣性積為慣性矩的數(shù)值恒為正，慣性積則可能為正值，負(fù)值，也可能等于零。。圖形的對(duì)稱(chēng)軸，若y,z

兩坐標(biāo)軸中有一個(gè)為則圖形對(duì)y,z軸的慣性積一定等于零yzyyzdA 例

試計(jì)算圖示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱(chēng)軸（即形心軸）z和y的慣性矩Iz和Iy，及其慣性積Iyz。解：取平行于z軸的狹長(zhǎng)條作為面積元素，則同理因?yàn)閦軸（或y軸）為對(duì)稱(chēng)軸，故慣性積 例

試計(jì)算圖示圓形截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩IP和對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩Iy和Iz。

解：建立如圖所示坐標(biāo)系，取圖示微元dA,

由于圓截面對(duì)任意方向的直徑軸都是對(duì)稱(chēng)的，故

所以矩形：hbyz圓形：yzdz空心圓形：ydD常見(jiàn)圖形的慣性矩yzoC(a,b)ba一、平行移軸公式y(tǒng)c,zc——過(guò)圖形的形心c且與y,z

軸平行的坐標(biāo)軸（形心軸）（a,b)_____

形心c在yoz坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。zcycy,z——任意一對(duì)坐標(biāo)軸C——圖形形心§3-3平行移軸公式

Iyc,Izc,Iyczc——圖形對(duì)形心軸yc,zc的慣性矩和慣性積。

Iy,Iz,Iyz

_____圖形對(duì)y,z軸的慣性矩和慣性積。

yzoC(a,b)bazcyc則平行移軸公式為已知：解：Cyczcbhy求：【例題】二、組合圖形的慣性矩慣性積

——第i個(gè)簡(jiǎn)單圖形對(duì)y,z軸的慣性矩、

慣性積。組合圖形的慣性矩，慣性積例

求梯形截面對(duì)其形心軸yc

的慣性矩。解：將截面分成兩個(gè)矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對(duì)稱(chēng)軸zc上。取過(guò)矩形2