一維不均勻介質(zhì)中波傳播瞬態(tài)響應(yīng)的傳輸線模型分析(精)

一維不均勻介質(zhì)中波傳播瞬態(tài)響應(yīng)的傳輸線模型分析Transientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionline

method［摘要］本文提出了用傳輸線模型分析一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)。這種方法將一維不均勻介質(zhì)用多層介質(zhì)近似，并進(jìn)一步用級(jí)聯(lián)的傳輸線模型等效。分析的過(guò)程是：首先對(duì)局限在某一時(shí)間段內(nèi)的輸入電磁信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換得出其頻譜，然后研究該頻譜的主要分量在所研究介質(zhì)中的傳播，并得出波傳播方向任一截面上瞬態(tài)信號(hào)的頻譜，最后通過(guò)快速傅里葉變換得出時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)。這種方法適用范圍廣，數(shù)值計(jì)算方便，只要離散時(shí)間間隔足夠小，抽樣點(diǎn)數(shù)足夠大，就能達(dá)到一定的精度。［關(guān)鍵詞］傳輸線，傅里葉變換，瞬態(tài)響應(yīng)[Abstract]Inthispaper,thetransientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionlinemethodisproposed.Inthismethod,thenon-uniformmediumisapproximatedbymulti-layerdielectricmediaandmodeledasacascadedtransmissionline.Theanalyticalprocedureisasfollows:theincidenttransientelectromagneticsignalisfirsttransformedintothefrequencydomain,thenthepropagationofthemaincomponentsinthespectraisanalyzedbytransmissionlinemethod,finallyFFTalgorithmisusedtofindtheresponseintimedomainofthemulti-layerstructure.Thecalculationiseasyandthehighaccuracycanbeachievedbythismethodaslongasthetimeintervalissmallandthenumberofsampleislargeenough.［Keyterms］:transmissionline,Fouriertransform,transientresponse引言不均勻介質(zhì)中電磁波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)在很多情況下可簡(jiǎn)化為局限在某一時(shí)間段內(nèi)電磁信號(hào)對(duì)一維不均勻介質(zhì)的激勵(lì)。對(duì)此問(wèn)題的分析可直接在時(shí)域中進(jìn)行，如時(shí)域有限差分（FDTD門(mén)去⑴。瞬態(tài)響應(yīng)的分析也可在頻域中進(jìn)行。首先將瞬變激勵(lì)信號(hào)用傅里葉展開(kāi)得出其頻譜，然后研究頻譜的主要分量沿不均勻介質(zhì)的傳播，最后通過(guò)傅里葉反變換得到某一截面上波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)。本文對(duì)一維不均勻介質(zhì)瞬態(tài)響應(yīng)的分析基于頻域分析。首先將一維不均勻介質(zhì)用多層介質(zhì)近似（在每一層介質(zhì)內(nèi)，介電系數(shù)是均勻的），并將該多層介質(zhì)系統(tǒng)用級(jí)聯(lián)的傳輸線等效。這樣一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)就簡(jiǎn)化為傳輸線瞬態(tài)響應(yīng)的研究。與傳統(tǒng)方去相比［2~5］，這種方去的優(yōu)點(diǎn)是：物理概念清楚，數(shù)值處理具有通用性，激勵(lì)信號(hào)垂直投射、傾斜投射均可處理。如果非均勻平面波用平面波展開(kāi)，也可處理點(diǎn)源激勵(lì)的情況。對(duì)于高斯微分脈沖垂直投射單層介質(zhì)的瞬態(tài)響應(yīng)，本文數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［6］頻域中計(jì)算的結(jié)果一致。本文還給出了激勵(lì)脈沖傾斜投射到單層、多層介質(zhì)情況下瞬態(tài)響應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果，其結(jié)果表明傳輸線模型分析一維不均勻介質(zhì)波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)是行之有效的。分析模型一維不均勻介質(zhì)可用圖1.a的多層介質(zhì)模型近似，其相對(duì)介電系數(shù)沿z軸的分布表示為:r8rI8r18r2r8rI8r18r2Z<00<z<z1z<z<z121）8Z<Z<Zrn n-1 n8 Z>ZrIII n式中下標(biāo)I、III、1、2、…、n分別表示屬于區(qū)域I、III以及區(qū)域II中第1、2、…、n層介質(zhì)中的量，d為區(qū)域II中第n層介質(zhì)的厚度，如圖1.a。式（1）表示在z<0的區(qū)域In與z>d的區(qū)域III,介質(zhì)是均勻分布的，其相對(duì)介電系數(shù)分別為8廠8”，在0<Z<Z的區(qū)rIrIII n域〃，有n層平板介質(zhì)，在每一層內(nèi)介質(zhì)是均勻的，介電系數(shù)為常數(shù)，但在相鄰兩平板介質(zhì)的交界面，介電系數(shù)發(fā)生跳變。圖1.（a）多層平板介質(zhì)；圖1.（a）多層平板介質(zhì)；（b）傳輸線等效電路。IIIIIIerlE0er2e0設(shè)以波矢kl為特征的入射平面波（TE或TM），從區(qū)域I以0角傾斜投射到圖1.a所示多層介質(zhì)系統(tǒng)。選擇本征坐標(biāo)系使波矢k只有兩個(gè)分量，k二kX+kZ。則對(duì)于TE模,x0z0電場(chǎng)只有E分量，磁場(chǎng)有H、H兩個(gè)分量；對(duì)于TM模，磁場(chǎng)只有H分量，電場(chǎng)有E、yxzyxE兩個(gè)分量。取z為縱向，根據(jù)波傳輸?shù)膫鬏斁€模型刀，E、H（對(duì)于TE模）或E、H（對(duì)z yx xy于TM模）沿z軸的傳輸可用級(jí)連傳輸線（見(jiàn)圖1.b）電壓、電流的傳播等效。其等效傳輸線的特性阻抗和傳播常數(shù)為：kkzi—z—rikkzi—z—ri0Z=1/YZ=1/Y=<iiTM模TOC\o"1-5"\h\zk2二k2—k2 ⑶ziixik2二⑷2皿￡ ⑷i ri0下標(biāo)i二I,III,1,2,…,n表示相應(yīng)介質(zhì)層中的量。無(wú)論是區(qū)域I、III還是區(qū)域II，x方向邊界條件相同，在x方向場(chǎng)按e-jy變化，并且各個(gè)區(qū)域x方向傳播常數(shù)k要求都相等（也即斯奈爾定律）：k二k二k二k二k二…二k二ksin0 （5）xxIxIII x1 x2 xnI因此，第i節(jié)傳輸線的傳播常數(shù)k.為i k= \；k2—k2 =:k2￡ —k2sin20 i二I,III,1,2,…,n （6）zi i x 0riI介質(zhì)交界面切向場(chǎng)量E、H連續(xù)導(dǎo)致交界面等效傳輸線電壓、電流的連續(xù)。這就是圖yx1a的多層介質(zhì)系統(tǒng)就波的縱向（z方向）傳播而言，可用級(jí)連的傳輸線等效的根據(jù)。計(jì)算公式若記Z（z）為從z二z處沿入射方向往右看過(guò)去的輸入阻抗。則z二z處的輸入阻抗ini i i—1可以由傳輸線阻抗變換關(guān)系得到：

Zn(Zi丿=■Z(z)+jZtg(k(zZn(Zi丿= in i i zii i—1 iZ+jZ(z)tg(k(z-z))i ini zii i—1區(qū)域III趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，其等效傳輸線III也趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，z=z處輸入阻抗Z.(z)即區(qū)域III的ninn特征阻抗乙(z)=Z"。根據(jù)公式(7)層層計(jì)算可以得出z=0處的輸入阻抗Z(0)。由此得i III i到z=0處反射系數(shù)rS-丿為I(0—)(0—)=Z(0)—Z Y-Y(0)in丿、 II in/、Z(0)+ZY+Y(0)in I I in8)計(jì)算波的透射特性可以通過(guò)傳輸線上電壓、電流關(guān)系依次推出各級(jí)傳輸線的電壓、電流值。由此可以得到透射到介質(zhì)III中的波。具體推導(dǎo)見(jiàn)文獻(xiàn)［7］，這里只給出推導(dǎo)結(jié)果。z=z+n的透射系數(shù)為T(mén)iii(zTiii(z+)=Vi(z=z+)TH n-Vi(z=0-)I=(1+r(0-))HIi=1(1+r(z-))emzi-zi—1)i1+r(z—)e—2jkzi(zi—zi—1)ii9)(10)11)E(o(10)11)E(o)=0+gJE.(zy=0,t)e-購(gòu)dt12)瞬態(tài)場(chǎng)入射平面波采用文獻(xiàn)［6］的定義方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，利用傅里葉變換，激勵(lì)瞬態(tài)電磁信號(hào)可展開(kāi)為:E.(x,z,t)=e—yEi(z,t)yyE.(z,t)=—fE )ej3—kz)d①y 2兀 0—g式中—g為z=0處激勵(lì)瞬變場(chǎng)的頻譜，其各個(gè)頻譜分量的電場(chǎng)都是y方向極化，且只隨z方向變化的函數(shù)。由于多層介質(zhì)結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)，利用式⑻、(9)和(11)可以得出在z<0區(qū)域的反射波以及z>d處透射波的瞬態(tài)響應(yīng)，用逆傅里葉積分表示為：Er(Er(x,z,t)yE(o)r(0—)ejotejkzze—jkxxdo0Izx13)—gEt(x,z,t)=—fE(o)T(z+)ej?te-jkzze-jkxxdo (14)y 2兀 0 IIIn—g在實(shí)際工程應(yīng)用中并不需要求出其解析解，因此可以繞開(kāi)文獻(xiàn)［6］中求積分的方法，而采用FFT可以方便的求出入射波信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)波形，只要抽樣時(shí)間間隔At取足夠小，抽樣點(diǎn)數(shù)n足夠大，數(shù)值模擬的結(jié)果就越接近理論值。數(shù)值模擬【例子1】為了比較，采用文獻(xiàn)［6］中所示例子，入射平面波為高斯函數(shù)的一階微分信號(hào)f(t),參數(shù)a=10,b=1如式(15)所示，垂直入射到放置在空氣中的單層平板介質(zhì)上，介電參nd數(shù)為￡=1￡=9￡ =1,介質(zhì)厚度d滿足二T,其中C為光在真空中傳播速度，T為IrIIIc光在平板介質(zhì)中的單程傳輸延遲。所有時(shí)間t都已用T歸一化。f(t)二4b)e一皿2=2ab{—te-at2} (15)dt由于入射波在t|>4T時(shí)幾乎為零，可以對(duì)t在［-4T,16T］時(shí)域段的波形進(jìn)行抽樣，抽樣時(shí)間間隔At=0.02,抽樣點(diǎn)數(shù)N=1000,瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)果示于圖2中，與文獻(xiàn)［6］求解的結(jié)果吻合的很好。其中圖2(b)中的實(shí)線是文獻(xiàn)［6］的解，點(diǎn)線以及(c)中的透射波是本文的解。從圖中看到，第一個(gè)透射波延遲時(shí)間為T(mén),第二個(gè)透射波延遲時(shí)間為3T,…依次類(lèi)推，第一個(gè)反射波為入射波直接在交界面處反射，沒(méi)有延遲，但相位反向，第二個(gè)反射波延遲2T,第三個(gè)反射波延遲4T,...第二個(gè)以后的反射波相位與輸入波相位相同。后繼的反射波、透射波依次n-2d—比前一個(gè)反射波、透射波多走一個(gè)來(lái)回，所需時(shí)間為t 二2T，幅度逐漸減少。如果c入射波脈沖變寬，超過(guò)波在單層平板來(lái)回反射一次所需的時(shí)間2T,則反射波、透射波第一、第二個(gè)波峰將交疊在一起，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］.(a) (b) (c)圖2.(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波(數(shù)值解)圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間軸t(單位：T),縱坐標(biāo)為振幅【例子2】對(duì)于上面例子進(jìn)行單層平板傾斜投射情況的模擬，設(shè)入射角為9=45。，入射信號(hào)參數(shù)為a=40,b=1。對(duì)［-4T,16T］段的波形進(jìn)行抽樣，抽樣時(shí)間間隔At=0.01，抽樣點(diǎn)數(shù)N=2000，為便于比較，其瞬態(tài)響應(yīng)的結(jié)果與垂直投射的情況一起示于圖3中。圖(b)、(c)中實(shí)線是45。投射的結(jié)果，虛線是垂直投射的結(jié)果。從圖中看出，由于傾斜投射時(shí)介質(zhì)板對(duì)不同頻率的波相位延遲不一樣，產(chǎn)生色散，因此除第一個(gè)反射波只是相位與入射波反向外，其他的反射波以及所有的透射波都因?yàn)榻橘|(zhì)板中波傳播的色散效應(yīng)而使波形、相位發(fā)生改變?？v坐標(biāo)為振幅。...：0度投射，－：45度投射?！纠?】對(duì)文獻(xiàn)［8］所示的薄膜濾波器進(jìn)行瞬態(tài)分析，其介電參數(shù)沿 z軸分布為：￡￡￡￡￡￡￡￡￡￡￡，其中區(qū)域I和III為空氣介質(zhì)*=* =1，區(qū)域II為￡和ILHLHLHLHLIIIIIIIL￡依次父替的9層濾波器結(jié)構(gòu)，￡=2.20(1—j0.0009),￡=10.5(1—j0.0023)，九層HLH的厚度依次為：d二d二3.139mm，d二d二0.55mm，d二d二1.269mm，1 9 2 8 3 7d二d二0.497mm，d二1.666mm。對(duì)TE模入射波是一個(gè)中心頻率為f二40GHz的4 6 5 0帶阻濾波器，如圖4(a)所示，假設(shè)入射波為高斯脈沖調(diào)制的正弦波信號(hào)，以25。入射角入射,其中心頻率為f,頻譜寬度為0.2人,頻譜如圖4(b)所示，其相應(yīng)的時(shí)域波形如圖5(a)所示。由于入射波頻譜剛好落在濾波器帶阻范圍內(nèi)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)該沒(méi)有透射波。根據(jù)本文提供的方法計(jì)算，時(shí)間間隔取At=0.5/f0(s),采樣點(diǎn)N=2000，其反射波和透射波如圖5(b)、(c)所示，其中透射波幅度很小，在時(shí)域瞬態(tài)圖中表現(xiàn)了濾波器帶阻的功能。時(shí)間(ns) 時(shí)間(ns) 時(shí)間(ns)(a) (b) (c)圖5?高斯脈沖調(diào)制正弦信號(hào)的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波。圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間軸t(單位：ns)，圖中只顯示t在［0,2.5ns］的值。縱坐標(biāo)為振幅相對(duì)值。由以上幾個(gè)例子可以看出，反射波、透射波波形與入射波有很大差別。其原因是經(jīng)過(guò)介質(zhì)〃不同諧波分量所經(jīng)過(guò)的反射系數(shù)、透射系數(shù)及相移是不同的。對(duì)于不同的角度入射，由于多層介質(zhì)縱向波數(shù)和特性阻抗改變引起濾波特性不同，因此反射波和透射波波形也不相同。結(jié)論本文采用傳輸線模型與FFT相結(jié)合的分析方法對(duì)一維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)不均勻介質(zhì)離散得到的多層介質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算，結(jié)果表明，只要采樣時(shí)間間隔足夠小，采樣點(diǎn)數(shù)足夠多，誤差就能控制在所要求的范圍內(nèi)，在實(shí)際工程應(yīng)用中，這種方法在處理一維不均勻結(jié)構(gòu)的波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)是行之有效的，傳輸線模型分析二維不均勻介質(zhì)中波傳播的瞬態(tài)響應(yīng)也是可能的。參考文獻(xiàn)BuiM.D.,StuchlyS.S.,CostacheG.I.,“Propagationoftransientsindispersivedielectricmedia”,IEEETrans.OnMicrowaveTheoryandTechniques,vol.39,pp1165-1171,Jul.1991.M.N.MorsyandW.K.Kahn,“Anovelsummationapproachintechniquetofindthetransientresponse,”IEEETrans.Electromag.Compat.,vol.38,pp.542-545,Aug.1996.D.K.Cheng,FieldandWaveElectromagnetics.Reading,MA:Ad