第7章：抽樣推斷

第七章抽樣推斷學(xué)習(xí)目標(biāo)主要內(nèi)容本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)

掌握利用樣本統(tǒng)計(jì)資料來(lái)推斷總體相應(yīng)數(shù)量特征的原理及方法；深刻理解抽樣推斷的概念及特點(diǎn)；了解抽樣誤差產(chǎn)生的原因，并對(duì)抽樣誤差、抽樣平均誤差、抽樣的極限誤差加以區(qū)別，并掌握他們的計(jì)算方法；掌握點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的方法和必要樣本單位數(shù)的確定方法。主要內(nèi)容：第一節(jié)抽樣推斷概述第二節(jié)抽樣的組織形式第三節(jié)抽樣誤差第四節(jié)抽樣估計(jì)第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)本章小結(jié)思考題參考書(shū)目第一節(jié)抽樣推斷概述1.1抽樣推斷的概念、特點(diǎn)和作用抽樣推斷是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上，利用樣本的實(shí)際資料計(jì)算出樣本的數(shù)據(jù)，并運(yùn)用概率估計(jì)方法推斷出總體相應(yīng)數(shù)量特征值的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。概念：1）按照隨機(jī)原則，抽選調(diào)查單位，是抽樣推斷的前提；2）運(yùn)用概率估計(jì)法是抽樣推斷的特有估計(jì)方法；3）抽樣推斷的誤差可以事先計(jì)算并加以控制；抽樣推斷的特點(diǎn)：抽樣推斷的作用：1）對(duì)有些不可能或不必要進(jìn)行全面調(diào)查，但有需要了解其全面數(shù)量情況的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，可以運(yùn)用抽樣推斷實(shí)現(xiàn)調(diào)查的目的；2）抽樣調(diào)查與全面調(diào)查同時(shí)進(jìn)行，可以發(fā)揮互相補(bǔ)充和檢查調(diào)查質(zhì)量的作用；3）抽樣推斷可以用于工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制；4）利用抽樣推斷方法還可以對(duì)某種總體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷其真?zhèn)危宰鞒稣_的決策。1.2抽樣的幾個(gè)基本概念樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個(gè)集合的大小稱(chēng)為樣本容量。一般用n表示，它表明一個(gè)樣本中所包含的單位數(shù)。樣本個(gè)數(shù)又稱(chēng)為樣本可能數(shù)目，是指從一個(gè)總體中可能抽取多少個(gè)樣本。樣本個(gè)數(shù)的多少與抽樣的方法有關(guān)。1/3樣本容量與樣本個(gè)數(shù)：樣本容量：樣本個(gè)數(shù)：總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)象。常見(jiàn)的總體參數(shù)有總體的平均數(shù)指標(biāo)、總體比重指標(biāo)、總體分布的方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差，等等。與總體參數(shù)對(duì)應(yīng)的是樣本統(tǒng)計(jì)量。常見(jiàn)的樣本統(tǒng)計(jì)量有樣本平均數(shù)指標(biāo)、樣本比重指標(biāo)、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差，等等。2/3總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量總體參數(shù)：樣本統(tǒng)計(jì)量：從總體N單位中抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體抽取一個(gè)，連續(xù)抽取n個(gè)，每次抽出的一個(gè)單位將其結(jié)果登記后放回，重新參加下一次抽選。從總體N單位中抽取一個(gè)容量為n的樣本，每次從總體抽取一個(gè)，連續(xù)抽取n個(gè)，但每次抽出的一個(gè)單位將其結(jié)果登記后，不再放回參加下一次抽選。3/3重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：第二節(jié)抽樣的組織形式1.純隨機(jī)抽樣2.類(lèi)型抽樣3.等距抽樣4.整群抽樣5.多階段抽樣和多重抽樣1/5純隨機(jī)抽樣也叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，是指按照隨機(jī)原則直接從總體N個(gè)單位中抽取n個(gè)單位作為樣本，然后對(duì)樣本單位進(jìn)行觀測(cè)，計(jì)算出樣本指數(shù)，并據(jù)以推算總體相應(yīng)數(shù)量指標(biāo)的抽樣組織形式，適用于均勻分布的總體。概念：抽簽法、計(jì)算機(jī)模擬法、隨機(jī)數(shù)表達(dá)法等。方法：符合隨機(jī)抽樣、設(shè)計(jì)其他抽樣的基礎(chǔ)、衡量其他抽樣方式的基礎(chǔ)。優(yōu)勢(shì)：需要編碼（可能很難辦到）、誤差較大、適用于較均勻的分布。劣勢(shì)：2/5類(lèi)型抽樣先將全集總體中的所有單位按某一主要標(biāo)志分組，然后在個(gè)組中采用隨機(jī)抽樣和機(jī)械抽樣的方式，抽取一定數(shù)目的調(diào)查單位構(gòu)成所需的樣本，又叫分層抽樣或分類(lèi)抽樣。概念：1）提高樣本代表性；2）減少抽樣平均誤差。優(yōu)點(diǎn)：1）將統(tǒng)計(jì)分組與隨機(jī)隨機(jī)原則結(jié)合起來(lái)；2）能保證分布的均勻性，提高樣本的代表性；3）能同時(shí)推斷總體指標(biāo)和各子總體的指標(biāo)；4）抽樣誤差來(lái)源于每組內(nèi)部。特點(diǎn)：3/5等距抽樣等距抽樣又叫機(jī)械抽樣或系統(tǒng)抽樣，是指將總體各單位按某一標(biāo)志排列，然后按固定的順序或間隔抽取調(diào)查單位的一種組織形式。概念：1）按有關(guān)標(biāo)志排序等距抽樣2）按無(wú)關(guān)標(biāo)識(shí)排序等距抽樣種類(lèi)：4/5整群抽樣是指現(xiàn)將總體各單位劃分為R群，以群為單位，從中隨機(jī)抽取r群，然后對(duì)中選群的全部單位進(jìn)行全面調(diào)查，并據(jù)以推算總體相應(yīng)指標(biāo)的抽樣組織形式。概念：1）抽樣組織方便、節(jié)約調(diào)查費(fèi)用；2）調(diào)查單位集中，誤差較大；3）直接抽取的不是總體單位而是群；4）影響抽樣誤差的是群間方差；5）一般不采用重復(fù)抽樣。特點(diǎn)：5/5多階段抽樣和多重抽樣多階段抽樣是只把抽取樣本單位的過(guò)程分為兩個(gè)或更多階段來(lái)進(jìn)行的抽樣組織形式。多重抽樣是指根據(jù)對(duì)不同調(diào)查目標(biāo)的不同要求，從總體中已抽取的樣本中再抽樣的組織形式。概念：1）目的不同?？傮w范圍較大，不便于直接抽取最終調(diào)查單位時(shí)采用多階段抽樣；為適應(yīng)不同調(diào)查項(xiàng)目的不同要求，達(dá)到節(jié)省人力、物力的目的時(shí)，采取多重抽樣。2）多階段抽樣的每個(gè)階段，抽樣單位的大小是不同的；多重抽樣每次抽取的單位大小是相同的。區(qū)別：抽樣誤差是指由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使樣本各單位的結(jié)構(gòu)的代表性存在差別，而引起的抽樣指標(biāo)和總體指標(biāo)之間的絕對(duì)離差。A.概念：抽樣誤差是抽樣所產(chǎn)生的誤差；調(diào)查誤差是指在調(diào)研過(guò)程中，由于測(cè)量、登記、計(jì)算上的差錯(cuò)所引起的誤差；系統(tǒng)偏誤是指由于隨機(jī)原則，有意地選擇較好或較差的單位進(jìn)行調(diào)查，造成樣本代表性不足所引起的誤差。甄別：第三節(jié)抽樣誤差3.1抽樣誤差B.影響抽樣誤差大小的因素1）總體單位標(biāo)志值的差異程度；2）樣本單位數(shù)的多少；3）抽樣方法；4）抽樣調(diào)查的組織形式。抽樣平均誤差是指所有抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差。它反映了抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均誤差程度。概念：從同一總體中，按隨機(jī)原則抽取同樣單位數(shù)的多個(gè)樣本，每個(gè)樣本可以計(jì)算各自樣本平均數(shù)（或抽樣成數(shù)），計(jì)算一系列樣本平均數(shù)（或樣本成數(shù)）與總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）的平均誤差程度。計(jì)算：3.2抽樣平均誤差抽樣平均誤差的計(jì)算1/2當(dāng)總體為N，樣本容量為n時(shí)，抽樣平均誤差的計(jì)算公式如下：1）平均數(shù)的抽樣平均誤差的計(jì)算公式重復(fù)抽樣的情況下：不重復(fù)抽樣的情況下：抽樣平均誤差的計(jì)算2/2當(dāng)總體為N，樣本容量為n時(shí)，抽樣平均誤差的計(jì)算公式如下：1）成數(shù)的抽樣平均誤差的計(jì)算公式重復(fù)抽樣的情況下：不重復(fù)抽樣的情況下：A類(lèi)型抽樣（重復(fù)OR不重復(fù)）B等距抽樣（重復(fù)OR不重復(fù)）C整群抽樣（不重復(fù)）3.3各種組織形式下抽樣平均誤差的計(jì)算3.4抽樣的極限誤差抽樣平均誤差說(shuō)明了某一抽樣方案的誤差情況，但在實(shí)際進(jìn)行抽樣調(diào)查時(shí)，只抽取一個(gè)樣本，那么這個(gè)樣本的誤差可能大于或小于平均誤差。對(duì)于該項(xiàng)抽樣調(diào)查，一定會(huì)要求有一個(gè)允許誤差的范圍，這一允許誤差的范圍，就稱(chēng)作抽樣極限誤差，又稱(chēng)抽樣誤差范圍。概念：又稱(chēng)為抽樣推斷，也稱(chēng)為參數(shù)估計(jì)。它是在抽樣調(diào)查的基礎(chǔ)上所進(jìn)行的數(shù)據(jù)推測(cè)，即用抽樣調(diào)查所得到的一部分單位的數(shù)量特征來(lái)估計(jì)和推算總體的數(shù)量特征。概念：在邏輯上運(yùn)用歸納推理，而不是演繹推理；在方法上運(yùn)用不確定的概率估計(jì)法而不是運(yùn)用確定的數(shù)學(xué)分析法；估計(jì)的結(jié)論存在一定的抽樣誤差。特點(diǎn)：第四節(jié)抽樣估計(jì)4.1抽樣估計(jì)的特點(diǎn)4.2抽樣估計(jì)的理論基礎(chǔ)4.3抽樣估計(jì)的方法點(diǎn)估計(jì)是以點(diǎn)帶面的估計(jì)方法，其特點(diǎn)是根據(jù)總體指標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式設(shè)計(jì)樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）作為總體參數(shù)的估計(jì)兩，并且以樣本指標(biāo)的實(shí)際數(shù)值直接作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值。1/2點(diǎn)估計(jì)：樣本均值估計(jì)總體均值樣本成數(shù)估計(jì)總體成數(shù)樣本方差估計(jì)總體方差估計(jì)方法：衡量?jī)?yōu)良估計(jì)的三個(gè)基本指標(biāo)：1.無(wú)偏性：無(wú)偏性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)時(shí)，要求樣本指標(biāo)的平均數(shù)等于被估計(jì)總體指標(biāo)的平均數(shù)。2.有效性：有效性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)時(shí)，要求樣本指標(biāo)的方差最小。3.一致性：一致性是指用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，當(dāng)樣本容量增加時(shí)，樣本指標(biāo)越來(lái)越接近總體指標(biāo)，則稱(chēng)樣本指標(biāo)為總體指標(biāo)的一致估計(jì)量。區(qū)間估計(jì)就是指總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。2/2區(qū)間估計(jì)：設(shè)θ是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體的樣本，構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ1=T1（X1，X2，…，Xn）和θ2=T2（X1，X2，…，Xn），對(duì)于給定的α（

0＜α＜1），若θ1、θ2滿足：P﹛θ1≤θ≤θ2﹜=1-α則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間[θ1、θ2]是參數(shù)θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間，而1-α稱(chēng)為[θ1、θ2]的置信度，

θ1、θ2稱(chēng)為置信區(qū)間的下限和上限。定義：概念：區(qū)間估計(jì)的類(lèi)型1/2：1）平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)情況A：正態(tài)總體且方差已知，或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下,總體均值的區(qū)間估計(jì)。在此情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為。則稱(chēng)為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。

P129T5—2案例分析：情況B：

正態(tài)總體、方差未知，小樣本情況下，總體均值的區(qū)間估計(jì)。如果總體服從正態(tài)分布,無(wú)論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本修正方差代替，在小樣本情況下，應(yīng)用分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)間。

P130T5—5案例分析：在大樣本（一般經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：和）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為的置信區(qū)間為：（重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）2）成數(shù)的區(qū)間估計(jì)樣本容量是指一個(gè)樣本中包含單位數(shù)的個(gè)數(shù)。樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計(jì)精度比較高，但進(jìn)行觀測(cè)所投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計(jì)精度比較低。這說(shuō)明精度和費(fèi)用對(duì)樣本容量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費(fèi)用最省的樣本容量。一個(gè)常用的準(zhǔn)則是在使精度得到保證的前提下尋求使費(fèi)用最省的樣本容量。4.4樣本容量的確定意義：1、總體方差的大小?？傮w方差越大，為保證一定的準(zhǔn)確度，需要抽取更多的樣本；反之，總體方差越小，可以抽取較少的樣本。2、允許誤差范圍的大小。允許誤差范圍越小，需要抽取更多的樣本；反之，允許誤差范圍越大，可以抽取較少的樣本。3、概率保證程度。概率保證程度越高，需要抽取更多的樣本；反之，概率保證程度越低，可以抽取較少的樣本。4、抽樣方法。在同樣的準(zhǔn)確度要求下，重復(fù)抽樣的抽樣單位數(shù)多于不重復(fù)抽樣。5、抽樣的組織方式。不同的組織方式，由于產(chǎn)生的誤差不同，所以，要抽取的樣本容量也各有差別。影響因素：假設(shè)檢驗(yàn)就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式做出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，從而決定接受或拒絕原假設(shè)。概念：第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)（一）假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想（二）假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

2.選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并確定其分布形式。

3.選擇顯著性水平α，確定臨界值。

4.做出結(jié)論。（三）假設(shè)檢驗(yàn)的小概率原理所謂小概率原理，是指發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理，可以做出是否接受原假設(shè)的決定。5.1假設(shè)檢驗(yàn)一般問(wèn)題1/2總體方差已知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體X～N（μ，σ2），總體方差σ2

為已知，（x1,x2,…,xn）為總體的一個(gè)樣本，樣本平均數(shù)為。現(xiàn)在的問(wèn)題是對(duì)總體均值μ進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，H0:μ＝μ0

（或μ≤μ0

、μ≥μ0

）。根據(jù)抽樣分布定理，樣本平均數(shù)服從N（μ，σ2/n），所以，如果H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U及其分布為：5.2總體的均值、比例的假設(shè)檢驗(yàn)利用服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量U進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為U檢驗(yàn)法。根據(jù)已知的總體方差、樣本容量n和樣本平均數(shù)，計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U的值。對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表可得臨界值，將所計(jì)算的U值與臨界值比較，便可做出檢驗(yàn)結(jié)論。雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若｜U1｜>Uα/2，則拒絕H0，接受H1左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若U<–Uα，則拒絕H0，接受H1。右側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若U>Uα，則拒絕H0，接受H1。P123例7-8（顯著性水平0.01）案例分析：

設(shè)總體X～N（μ，），但總體方差未知，此時(shí)對(duì)總體均值的檢驗(yàn)不能用上述U檢驗(yàn)法，因?yàn)榇藭r(shí)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U中包含了未知參數(shù)。為了得到一個(gè)不含未知參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，很自然會(huì)用總體方差的無(wú)偏估計(jì)量–––樣本方差S2

來(lái)代替，于是得到T統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)上節(jié)內(nèi)容已知道，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T及其分布為：T2/2總體方差未知時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)利用服從t分布的統(tǒng)計(jì)量去檢驗(yàn)總體均值的方法稱(chēng)為T(mén)檢驗(yàn)法。其具體做法是：根據(jù)題意提出假設(shè)（與U檢驗(yàn)法中的假設(shè)形式相同）；構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T并根據(jù)樣本信息計(jì)算其具體值；對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平α，由t分布表查得臨界值；將所計(jì)算的t值與臨界