第7講 時(shí)間序列分析

第7講時(shí)間序列分析與灰色系統(tǒng)華中農(nóng)業(yè)大學(xué)教材說(shuō)明

以下內(nèi)容均在《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版）》（汪曉銀，周保平主編，科學(xué)出版社）第2章。

7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)概率分布的意義隨機(jī)變量族的統(tǒng)計(jì)特性完全由它們的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定時(shí)間序列概率分布族的定義幾個(gè)重要數(shù)字特征：均值、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理特征統(tǒng)計(jì)量均值方差自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時(shí)間序列的定義

寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)量來(lái)定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。

滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理常數(shù)均值和方差自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度，而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān)延遲k自協(xié)方差函數(shù)延遲k自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)時(shí)間序列的意義時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性可列多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察值平穩(wěn)性的重大意義極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量極大地簡(jiǎn)化了時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了對(duì)特征統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)精度7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性的檢驗(yàn)（圖檢驗(yàn)方法）時(shí)序圖檢驗(yàn)

根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征。自相關(guān)圖檢驗(yàn)平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零。7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例1檢驗(yàn)1964年——1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列的平穩(wěn)性例2檢驗(yàn)1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性例3檢驗(yàn)1949年——1998年北京市每年最高氣溫序列的平穩(wěn)性平穩(wěn)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理dataa;inputsha@@;year=_n_;dif=dif(sha);cards;97130156.5135.2137.7180.5205.2190188.6196.7180.3210.8196223238.2263.5292.6317335.4327321.9353.5397.8436.8465.7476.7462.6460.8501.8501.5489.5542.3512.2559.8542567;procgplot;plotsha*year=1dif*year=2;symbol1v=circlei=joinc=black;symbol2v=stari=joinc=red;procarimadata=a;identifyvar=shanlag=22;run;7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例1平穩(wěn)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例2自相關(guān)圖7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例3時(shí)序圖7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理例3自相關(guān)圖7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)序列的定義純隨機(jī)性的性質(zhì)純隨機(jī)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機(jī)序列的定義純隨機(jī)序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理白噪聲序列的性質(zhì)

純隨機(jī)性

各序列值之間沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒(méi)有記憶”的序列方差齊性根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的線性無(wú)偏估計(jì)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理純隨機(jī)性檢驗(yàn)檢驗(yàn)原理假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量判別原則7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理Barlett定理如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間相互獨(dú)立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間有相關(guān)性7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理判別原則拒絕原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列接受原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于時(shí)，則認(rèn)為在的置信水平下無(wú)法拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨機(jī)序列的假定7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理樣本自相關(guān)圖例4

隨機(jī)生成的100個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的白噪聲序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理檢驗(yàn)結(jié)果延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)。7.1時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理方法性工具差分運(yùn)算延遲算子線性差分方程一階差分階差分步差分7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析延遲算子延遲算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)刻記B為延遲算子，有7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析延遲算子的性質(zhì)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為自回歸系數(shù)多項(xiàng)式7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈負(fù)指數(shù)衰減7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例5

考察如下AR模型的自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)系數(shù)正負(fù)相間的衰減7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析偏自相關(guān)系數(shù)定義對(duì)于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的條件下，或者說(shuō)，在剔除了中間k-1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后，對(duì)影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例5續(xù)考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例6

考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡(jiǎn)記為階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例7

考察ARMA模型的相關(guān)性

擬合模型ARMA(1,1):并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。

7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARMA模型相關(guān)性特征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析平穩(wěn)序列建模建模步驟模型識(shí)別參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測(cè)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)模型識(shí)別參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測(cè)YN7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型定階的困難因?yàn)橛捎跇颖镜碾S機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會(huì)衰減至零值附近作小值波動(dòng)當(dāng)或在延遲若干階之后衰減為小值波動(dòng)時(shí)，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動(dòng)呢？7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布BarlettQuenouille7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型定階經(jīng)驗(yàn)方法95％的置信區(qū)間模型定階的經(jīng)驗(yàn)方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過(guò)程非常突然。這時(shí)，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例8

選擇合適的模型ARMA擬合1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列。7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析擬合模型識(shí)別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動(dòng)，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過(guò)程相當(dāng)連續(xù)，相當(dāng)緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)作小值隨機(jī)波動(dòng)，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過(guò)程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾所以可以考慮擬合模型為AR(1)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例9

美國(guó)科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析擬合模型識(shí)別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)波動(dòng)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進(jìn)一步確定序列平穩(wěn)。同時(shí)，可以認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例101880-1985年全球氣表平均溫度改變值差分序列7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列偏自相關(guān)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析擬合模型識(shí)別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析參數(shù)估計(jì)待估參數(shù)個(gè)未知參數(shù)常用估計(jì)方法矩估計(jì)極大似然估計(jì)最小二乘估計(jì)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例8續(xù)確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合模型的口徑擬合模型：AR(1)估計(jì)方法：極大似然估計(jì)模型口徑7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例9續(xù)確定美國(guó)科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑擬合模型：MA(1)估計(jì)方法：條件最小二乘估計(jì)模型口徑7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例10續(xù)確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑擬合模型：ARMA(1,1)估計(jì)方法：條件最小二乘估計(jì)模型口徑7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗(yàn)整個(gè)模型對(duì)信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡(jiǎn)7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型的顯著性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行裕▽?duì)信息的提取是否充分）檢驗(yàn)對(duì)象殘差序列判定原則一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說(shuō)明擬合模型不夠有效.7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例8續(xù)檢驗(yàn)1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合模型的顯著性殘差白噪聲序列檢驗(yàn)結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值檢驗(yàn)結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.83617.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析參數(shù)顯著性檢驗(yàn)?zāi)康臋z驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡(jiǎn)假設(shè)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例8續(xù)檢驗(yàn)1950年—1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列極大似然估計(jì)模型的參數(shù)是否顯著參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值結(jié)論均值46.12<0.0001顯著6.72<0.0001顯著7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型優(yōu)化問(wèn)題提出當(dāng)一個(gè)擬合模型通過(guò)了檢驗(yàn)，說(shuō)明在一定的置信水平下，該模型能有效地?cái)M合觀察值序列的波動(dòng)，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對(duì)最優(yōu)模型7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析AIC準(zhǔn)則最小信息量準(zhǔn)則（AnInformationCriterion）指導(dǎo)思想似然函數(shù)值越大越好未知參數(shù)的個(gè)數(shù)越少越好AIC統(tǒng)計(jì)量7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析SBC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則的缺陷在樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，由AIC準(zhǔn)則選擇的模型不收斂于真實(shí)模型，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)個(gè)數(shù)要多SBC統(tǒng)計(jì)量7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例11

連續(xù)讀取70個(gè)某次化學(xué)反應(yīng)的過(guò)程數(shù)據(jù)，構(gòu)成一時(shí)間序列。對(duì)該序列進(jìn)行兩個(gè)模型擬合，并用AIC準(zhǔn)則和SBC準(zhǔn)則評(píng)判例兩個(gè)擬合模型的相對(duì)優(yōu)劣。結(jié)果AR(1)優(yōu)于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556542.2011AR(1)535.7896540.28667.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析序列預(yù)測(cè)線性預(yù)測(cè)函數(shù)預(yù)測(cè)方差最小原則7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析例8續(xù)北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合與預(yù)測(cè)圖7.2平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分運(yùn)算差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)差分方式的選擇過(guò)差分7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)差分方法是一種非常簡(jiǎn)便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分方式的選擇序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通常可以較好地提取周期信息7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例121964年—1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列蘊(yùn)含著一個(gè)近似線性的遞增趨勢(shì)。對(duì)該序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算考察差分運(yùn)算對(duì)該序列線性趨勢(shì)信息的提取作用7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分前后時(shí)序圖原序列時(shí)序圖差分后序列時(shí)序圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例13

嘗試提取1950年—1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列時(shí)序圖一階差分二階差分7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例14

差分運(yùn)算提取1962年1月—1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列時(shí)序圖一階差分1階－12步差分7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析過(guò)差分足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過(guò)度的差分會(huì)造成有用信息的浪費(fèi)假設(shè)序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過(guò)差分）平穩(wěn)方差大7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARIMA模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型建模ARIMA模型預(yù)測(cè)疏系數(shù)模型季節(jié)模型7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場(chǎng)合差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)差分運(yùn)算YN白噪聲檢驗(yàn)Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例15

對(duì)1952年—1988年中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列建模7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析一階差分序列時(shí)序圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析一階差分序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析一階差分后序列白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值613.330.01781218.330.10601824.660.13447.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析擬合ARMA模型偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析ARIMA模型預(yù)測(cè)原則最小均方誤差預(yù)測(cè)原理Green函數(shù)遞推公式7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例15續(xù)對(duì)中國(guó)農(nóng)業(yè)實(shí)際國(guó)民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測(cè)7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù)或部分移動(dòng)平滑系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為

為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動(dòng)平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡(jiǎn)記為為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有省缺，可以簡(jiǎn)記為7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例16

對(duì)1917年－1975年美國(guó)23歲婦女每萬(wàn)人生育率序列建模7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析一階差分7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析建模定階ARIMA((1,4),1,0)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析季節(jié)模型簡(jiǎn)單季節(jié)模型乘積季節(jié)模型7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析簡(jiǎn)單季節(jié)模型簡(jiǎn)單季節(jié)模型是指序列中的季節(jié)效應(yīng)和其它效應(yīng)之間是加法關(guān)系簡(jiǎn)單季節(jié)模型通過(guò)簡(jiǎn)單的趨勢(shì)差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例17

擬合1962—1991年德國(guó)工人季度失業(yè)率序列7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分平穩(wěn)對(duì)原序列作一階差分消除趨勢(shì)，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時(shí)序圖如下7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.00017.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型擬合定階ARIMA((1,4),(1,4),0)參數(shù)估計(jì)7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值62.090.71913.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.00017.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析擬合效果圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析乘積季節(jié)模型使用場(chǎng)合序列的季節(jié)效應(yīng)、長(zhǎng)期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡(jiǎn)單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長(zhǎng)S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下

7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析例18

擬合1948——1981年美國(guó)女性月度失業(yè)率序列7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分平穩(wěn)一階、12步差分7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析差分后序列偏自相關(guān)圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析簡(jiǎn)單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗(yàn)AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)

值P值

值P值

值P值614.580.00579.50.023313.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析乘積季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12參數(shù)估計(jì)7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型檢驗(yàn)殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)延遲階數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù)

統(tǒng)計(jì)量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析乘積季節(jié)模型擬合效果圖7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析程序說(shuō)明dif1_4=dif4(dif(x));time=intnx('quarter','1jan1962'd,_n_-1);formattimeyear4.;procarima;identifyvar=x(1,4);estimatep=(14)noint;forecastlead=5id=timeout=out;7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析程序說(shuō)明nlag=18minicp=(0:5)q=(0:5)plotfactory*year=2forecast*year=3l95*year=4u95*year=4/overlay;identifyvar=x(1,12);estimatep=1q=(1)(12)noint;forecastlead=0id=timeout=out;7.3非平穩(wěn)時(shí)間序列分析

以下內(nèi)容在《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版）》（汪曉銀，周保平主編）第9章第3節(jié)灰色系統(tǒng)內(nèi)容說(shuō)明灰色系統(tǒng)概述生成數(shù)GM(1,1)模型案例分析計(jì)算程序7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)

灰色系統(tǒng)是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小樣本”,“貧信息”的不確定性系統(tǒng),它通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成、開發(fā)去了解、認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律的正確把握和描述.

灰色系統(tǒng)模型的特點(diǎn)：對(duì)試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其分布沒(méi)有特殊的要求和限制，是一種十分簡(jiǎn)便的新理論，具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)

灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過(guò)20年的發(fā)展，已基本建立起一門新興的結(jié)構(gòu)體系，其研究?jī)?nèi)容主要包括：灰色系統(tǒng)建模理論、灰色系統(tǒng)控制理論、灰色關(guān)聯(lián)分析方法、灰色預(yù)測(cè)方法、灰色規(guī)劃方法、灰色決策方法等。我們主要介紹灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)。即灰色生成、GM(1,1)模型建模機(jī)理、GM(1,1)模型的精度檢驗(yàn)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)(1)累加生成數(shù)

1-AGO指一次累加生成。記原始序列為一次累加生成序列為其中，7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)(2)累減生成數(shù)(IAGO)是累加生成的逆運(yùn)算。記原始序列為一次累減生成序列其中規(guī)定7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)1.令為GM(1,1)建模序列，為的1-AGO序列，7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)令為的緊鄰均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5則GM(1,1)的灰微分方程模型為7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)記則灰微分方程的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足其中7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)稱為灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。綜上所述，有白化方程的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)2.GM(1,1)灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為3.于是有7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)4.還原值上式即為預(yù)測(cè)方程。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)分為三個(gè)方面：殘差檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)；后驗(yàn)差檢驗(yàn)。7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表C模型精度<0.35優(yōu)<0.5合格<0.65勉強(qiáng)合格>0.65不合格其中殘差序列均方差原序列均方差7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.4灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)7.