第一節(jié) 二分法

第一節(jié)二分法

設(shè)非線性方程為

f(x)=0(2-1)方程(2-1)的解稱為方程的根或函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。

其中m為大于1的整數(shù),且g(x)≠0,稱為方程(2-1)的m重根,或函數(shù)f(x)

的m重零點(diǎn).若f(x)為n次多項(xiàng)式,則稱

f(x)=0為n次代數(shù)方程

.若f(x)為超越函數(shù),則稱f(x)=0為超越方程。若f(x)

可表示為一、求隔根區(qū)間的一般方法

若f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù),且f(a)·f(b)<0,則f(x)=0

在[a,b]內(nèi)必有根;若f(x)在[a,b]內(nèi)還嚴(yán)格單調(diào),則f(x)=0在[a,b]內(nèi)只有一根,據(jù)此可得求隔根區(qū)間的兩種方法。1.做圖法

畫出

y=f(x)的草圖,由

f(x)與橫軸交點(diǎn)的大概位置來確定隔根區(qū)間;或者利用導(dǎo)函數(shù)

的正、負(fù)與函數(shù)

f(x)的單調(diào)性的關(guān)系確定根的大概位置。

若

f(x)比較復(fù)雜,還可將方程

f(x)=0化為一個(gè)等價(jià)方程

(x)=

(x),

則曲線

y=(x)

與

y=

(x)之交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)

即為原方程之根,據(jù)此也可通過作圖求得

的隔根區(qū)間。

判別下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求隔根區(qū)間。(1)f(x)=x3-x-1=0

(2)f(x)=x4-4x3+1=0

解

(1)f(x)=x3-x-1=0將方程變形為x3=x+1例1由圖可知,方程只有一個(gè)實(shí)根所以(1,1.5)即為其隔根區(qū)間。繪曲線

y=x3及y=x+1該二點(diǎn)將實(shí)軸分為三個(gè)區(qū)間:(-∞,0),(0,3)，(3,+∞)(2)

方程

f(x)=x4-4x3+1=0又知

f(-∞)>0,f(0)=1>0,f(3)=-26<0,f(+∞)>0f(x)

在此三區(qū)間的符號(hào)分別為“-”、“-”、“+”由

f(x)=4x2(x-3)=0得駐點(diǎn)

x1=0,x2=3。以上分析可用下表表示x(-∞,0)0(0,3)3(3,4)4(4,+∞)

f(x)f(x)-↘0+-↘0-+↗+++↗隔根區(qū)間(0,3)(3,4)可見

f(x)僅有兩個(gè)實(shí)根,分別位于(0,3),(3,+∞),又

f(4)=1>0,

所以第二根的隔根區(qū)間可縮小為

(3,4)。2.逐步搜索法

從區(qū)間[a,b]的左端點(diǎn)

a出發(fā),按選定的步長h一步步向右搜索，若f(a+jh)·f(a+(j+1)h)<0

(j=0,1,2,…)則區(qū)間[a+jh,a+(j+1)h]內(nèi)必有根。搜索過程也可從b開始，這時(shí)應(yīng)取步長h<0。二、增值尋根法設(shè)線性方程的根為增值尋根法的基本思想是，從初值開始，按規(guī)定的一個(gè)初始步長h來增值。令,同時(shí)計(jì)算在增值的計(jì)算過程中可能遇到三種情形：此時(shí)即為方程的根這說明區(qū)間內(nèi)無根圖2-1圖2-2三、二分法

將區(qū)間一分為二。若

f(x0)=0,

則

x0就是方程的根,否則判別根

在

x0

的左側(cè)還是右側(cè)。

內(nèi)有方程的根。

設(shè)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),

則[a,b]若

則

∈(a,x0

),令a1=a,b1=x0;若

則

∈(x0,b),令a1=x0

,b1=b。取[a,b]的中點(diǎn)不論出現(xiàn)哪種情況,(a1

,b1

)均為新的有根區(qū)間,它的長度只有原有根區(qū)間長度的一半,達(dá)到了壓縮有根區(qū)間的目的。對(duì)壓縮了的有根區(qū)間,又可實(shí)行同樣的步驟,再壓縮。如此反復(fù)進(jìn)行,即可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長度為若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限進(jìn)行下去。當(dāng)

n→∞

時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)

,顯然

就是所求的根。只要

n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若取區(qū)間

的中點(diǎn)作為

的近似值，則有下述誤差估計(jì)式

由于在偶重根附近曲線

y=f(x)為上凹或下凸,即

f(a)

與f(b)

的符號(hào)相同,因此不能用二分法求偶重根.

用二分法求例1中方程

f(x)=x3-x-1=0的實(shí)根,要求誤差不超過0.005。解由例1可知

要想滿足題意，即：例

2則要由此解得取n=6。按二分法計(jì)算過程見下表x6=1.3242為所求之近似根。(1)f(a)<0,f(b)>0(2)根據(jù)精度要求，取到小數(shù)點(diǎn)后四位即可.-+-++--1.251.3751.31251.34381.32811.32031.32421.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.01.251.251.31251.31251.31251.32030123456

ann例3用二分法求在內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，且要求滿足精度解用二分法計(jì)算結(jié)果如表2-1：0.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.350981.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111