高二物理競賽薛定諤方程在幾個一維問題中的應用課件

1一、一維無限深勢阱粒子勢能函數

（1）是固體物理金屬中自由電子的簡化模型；

（2）數學運算簡單，量子力學的基本概念、原理在其中以簡潔的形式表示出來.意義2

波函數的標準條件：單值、有限和連續(xù).對Ⅰ區(qū)或3量子數

零點能

激發(fā)態(tài)能量

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的.4

歸一化條件歸一化的波函數5波函數概率密度6*二、隧道效應設給定勢函數V(x)為1.方形勢壘

即勢壘的高度不是無限高也不是無限寬，如果一粒子從Ⅰ區(qū)以確定能量Ｅ<V（E>0）入射，該粒子能否在Ⅲ區(qū)出現？現用薛定諤方程處理之。7(1)勢壘外有相同的薛定諤方程

令

8在Ⅲ區(qū)：只有透射波說明：在一般情況下，粒子能夠穿過比它動能更高的勢壘區(qū)域，這種現象稱為隧道效應。9(2)勢壘內Ⅱ區(qū)，薛定諤方程由標準條件和邊界條件確定待定常數。第一項隨x增大而增大，與實際不符，102.隧道效應V=V0(x)Exx1x2

隧道效應:從左方射入的粒子在各區(qū)域內的波函數11

代表Ⅰ區(qū)進入Ⅲ區(qū)的概率，則

式中a=x2-x1為勢壘的寬度，說明勢壘的寬度越小，透過的概率越大;（V0-E）越小，透過的概率越大。12由于原子核的質量比電子質量大很多,故核子在與電子相互電磁作用中可視為靜止。氫原子中電子的勢能函數由于

U

只是

r的函數，不隨時間變化,是一個定態(tài)問題,故其薛定諤方程為13rxyzP由于勢能函數只是r的函數,球形對稱，故采用球坐標方便些14將其代入上式，并運用待定系數的方法,經整理可得三個方程:

15解方程的結果,可得到描述粒子運動狀態(tài)的三個重要的量子數主量子數n

，角量子數l

,磁量力數ml解上述方程時，注意波函數的標準條件，()中ml只能取某些特定值。然后把ml

代入()的方程，這時只有某些l的值才有可接受的解。再把符合上述()方程的l代入R(r)就會發(fā)現，只有對于某些總能量E<0才有可能的解。161.能量量子化（主量子數n）(1)

若E>0即E=Ek+U>0說明Ek>U若E<0,即E=Ek+U<0則Ek＜U

n=1,2,3,…

n稱為主量子數

n=1,2,3，…其決定著氫原子能量的取值。根據其波函數必須滿足的標準條件,解得17

這些結果顯然與玻爾的結論一致，但這是解方程的結果，無須人為地假設,故這是一個自洽的理論體系。

n=1，稱之為基態(tài)，代入有關數據,算得n=2.3.4……稱之為激發(fā)態(tài),它們的能量為182.角動量量子化氫原子核與電子之間的相互作用勢函數為

U(r)=-ke2/r(1)角量子數l解上述方程可得軌道角動量的大小為即軌道角動量L

的大小是量子化的，式中l(wèi)

是角量子數。計算表明，當主量子數n確定后,角量子數可取

l=0.1.2.3…(n-1)角動量L

共有n個分立的值這與玻爾理論不同,在玻爾理論中,19

(2)角動量不同態(tài)的名稱

由于在光譜學中常用spdf…等字母分別表示l=0,1,2，3,…(n-1)電子的狀態(tài),現仍沿用這些稱號。

(3)簡并現象，簡并態(tài),簡并度

上面計算表明，對應于一個主量子數n,可有n個不同的l

值，也就是說，在同一能級，電子可取n個不同的角動量，電子可取若干個不同的運動狀態(tài)，這種現象稱作"簡并"現象。簡并態(tài):指不同的運動狀態(tài)的粒子，對應于同一能級的狀態(tài)。

簡并度:指一個能級所能允許的不同狀態(tài)數。203.角動量空間量子化索末菲認為:玻爾的軌道平面，不僅軌道半徑是量子化的,而且軌道平面在空間的取向也是量子化的。計算表明：Ml稱為磁量子數，其決定了電子角動量在空間的可能取向。對于一個給定的l

ml=0，±1，±2，...±l，

這時L

在空間可以有(2l+1)