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第八節(jié)曲線與方程(理)抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來(lái)演練第八章平面解析幾何
[備考方向要明了]考
什
么了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.怎
么
考1.曲線的軌跡方程的求法是考查的熱點(diǎn),多考查直接法與
定義法求軌跡方程.2.題型多為解答題,注重邏輯思維能力、運(yùn)算能力的考查.一、曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是
;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都
.那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做
方程的曲線.這個(gè)方程的解在曲線上二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟1.建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.2.設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y).3.列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.4.代換——依條件式的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式,并化簡(jiǎn).5.證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.三、曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1(x,y)=0,曲線C2的方程為F2(x,y)=0,則C1,C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解,若此方程組無(wú)解,則兩曲線無(wú)交點(diǎn).1.(教材習(xí)題改編)設(shè)m>1,則關(guān)于x,y的方程(1-m)x2+y2=m2-1表示的曲線是 (
)A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線答案:
D答案:A3.若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比比它到點(diǎn)點(diǎn)(2,0)的距離小小1,則點(diǎn)P的軌跡為為()A.圓B.橢圓C.雙曲線線D.拋物線線答案:D解析:依題意知知,點(diǎn)P到直線x=-2的距離等等于它到到點(diǎn)(2,0)的距離,,故點(diǎn)P的軌跡是是拋物線線.答案:x2-6x-10y+24=0(y>0)4.動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)A(3,4)的距離比比P到x軸的距離離多一個(gè)單位位長(zhǎng)度,,則動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡方方程為_(kāi)_______.解析:設(shè)M(x,y),則P(2x,2y),代入雙雙曲線方方程得x2-4y2=1,即為所所求.答案:x2-4y2=11.求軌跡跡方程的的常用方方法(1)直接法::直接利利用條件件建立x,y之間的關(guān)關(guān)系F(x,y)=0;(2)待定系數(shù)數(shù)法:已已知所求求曲線的的類型,,求曲線線方程——先根據(jù)條件件設(shè)出所所求曲線線的方程程,再由由條件確確定其待待定系數(shù);(3)定義法::先根據(jù)據(jù)條件得得出動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌跡跡是某種種已知曲曲線,再由由曲線的的定義直直接寫(xiě)出出動(dòng)點(diǎn)的的軌跡方方程;(4)代入轉(zhuǎn)移移法:動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另另一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)Q(x0,y0)的變化而變變化,并并且Q(x0,y0)又在某已已知曲線線上,則則可先用x,y的代數(shù)式式表示x0,y0,再將x0,y0代入已知知曲線得要求求的軌跡跡方程;;2.曲線與與曲線方方程、軌軌跡與軌軌跡方程程是兩個(gè)個(gè)不同的的概念,尋求求軌跡或或軌跡方方程時(shí)應(yīng)應(yīng)注意軌軌跡上特特殊點(diǎn)對(duì)對(duì)軌跡的的“完備性與與純粹性性”的影響..[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題,分分分必保??!)[沖關(guān)錦囊囊]1.直接法法求軌跡跡方程是是求曲線線方程的的基本方方法.圓圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程都都是由直直接法求求得的..當(dāng)軌跡跡易于列列出動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)(x,y)滿足的方方程時(shí)可可用此法法.2.求動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)軌跡時(shí)時(shí)應(yīng)注意意它的完完備性..化簡(jiǎn)過(guò)過(guò)程破壞壞了方程的同解解性,要要注意補(bǔ)補(bǔ)上遺漏漏的點(diǎn)或或者挖去去多余的的點(diǎn).“軌跡”與“軌跡方程程”是兩個(gè)不不同的概概念,前前者指曲曲線的形形狀、位位置、大大小等特特征,后后者指方方程(包括范圍圍).2.(2012·北京大興興檢測(cè))△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓圓心在在直線x=3上,則頂頂點(diǎn)C的軌跡方方程是____________________.[沖關(guān)錦囊囊]1.運(yùn)用解解析幾何何中一些些常用定定義(例如圓錐曲線線的定義),可從曲線定定義出發(fā)直接接寫(xiě)出軌跡方方程,或從曲曲線定義出發(fā)建立立關(guān)系式,從從而求出軌跡跡方程.2.定義法和待待定系數(shù)法適適用于已知軌軌跡是什么曲曲線,其方程是什么形形式的方程..利用條件把把待定系數(shù)求求出來(lái),使問(wèn)問(wèn)題得解.[巧練模擬]——————(課堂突破保分分題,分分必必保!)3.(2012··銀川模擬)已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)點(diǎn)M(-1,2),Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一一點(diǎn),且|PM|=|MQ|,則Q點(diǎn)的軌跡方程程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0答案:D解析:設(shè)Q(x,y),則P為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.[沖關(guān)錦囊]代入法也叫坐坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法,,是求軌跡方方程常用的方方法,其題目目特征是:點(diǎn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)相關(guān),,且點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律律(有方程),只需將P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到到Q的坐標(biāo)中,整整理即可得P的軌跡方程..?dāng)?shù)學(xué)思想分分類討討論思想在討討論方程表示示曲線類型中中的應(yīng)用[考題范例](12分)(2011·湖北高考改編編)平面內(nèi)與兩定定點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)連線的斜率之之積等于非零零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,,加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲曲線C可以是圓、橢橢圓或雙曲線線.求曲線C的方程,并討討論C的形狀與m值的關(guān)系[題后悟道]由含參數(shù)的方方程討論曲線線類型時(shí),關(guān)關(guān)鍵是確定分分類標(biāo)準(zhǔn),一一般情況下,,分類標(biāo)準(zhǔn)的的確立有兩點(diǎn)點(diǎn):
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