【優(yōu)化方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示課件 文 北師大

§4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，_________一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)_______叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝________，其中___叫作a在x軸上的坐標(biāo)，__叫作a在y軸上的坐標(biāo)．②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是____的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn))(x，y)(x，y)(x，y)y點(diǎn)Ax2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算向量aba＋ba－bλa坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)λbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因?yàn)閤2，y2有可能為0，故應(yīng)表示成x1y2－x2y1＝0.

思考感悟1．(2009年高考廣東卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b(

)A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線解析：選C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y軸．課前熱身2．(2009年高考重慶卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是(

)A．－2

B．0C．1 D．2答案：D答案：C答案：：－2或11考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用利用用平平面面向向量量基基本本定定理理表表示示向向量量時(shí)時(shí)，，要要選選擇擇一一組組恰恰當(dāng)當(dāng)?shù)牡幕椎讈?lái)來(lái)表表示示其其他他向向量量，，即即用用特特殊殊向向量量表表示示一一般般向向量量．．例1【答案案】x≤0且0≤≤x＋y≤1【規(guī)律律小小結(jié)結(jié)】用已已知知向向量量來(lái)來(lái)表表示示另另外外一一些些向向量量是是用用向向量量解解題題的的基基本本功功，，除除利利用用向向量量的的加加減減法法、、數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算外外，，還還應(yīng)應(yīng)充充分分利利用用平平面面幾幾何何的的一一些些定定理理，，因因此此在在求求向向量量時(shí)時(shí)要要盡盡可可能能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化到到平平行行四四邊邊形形或或三三角角形形中中，，選選用用從從同同一一頂頂點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)的的基基本本向向量量或或首首尾尾相相連連的的向向量量，，運(yùn)運(yùn)用用向向量量加加減減法法運(yùn)運(yùn)算算及及數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算來(lái)來(lái)求求解解，，即即充充分分利利用用相相等等向向量量、、相相反反向向量量和和線線段段的的比比例例關(guān)關(guān)系系，，運(yùn)運(yùn)用用加加法法的的三三角角形形法法則則、、平平行行四四邊邊形形法法則則、、減減法法的的三三角角形形法法則則、、三三角角形形中中位位線線定定理理、、相相似似三三角角形形對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)邊邊成成比比例例等等平平面面幾幾何何的的性性質(zhì)質(zhì)，，把把已已知知向向量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為與與未未知知向向量量有有直直接接關(guān)關(guān)系系的的向向量量來(lái)來(lái)求求解解．．變式式訓(xùn)訓(xùn)練練1利用用向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算解解題題，，主主要要就就是是根根據(jù)據(jù)相相等等的的向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)相相同同這這一一原原則則，，通通過(guò)過(guò)列列方方程程(組)進(jìn)行行求求解解．．在在將將向向量量用用坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示時(shí)時(shí)，，要要分分清清向向量量的的起起點(diǎn)點(diǎn)和和終終點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)，，也也就就是是要要注注意意向向量量的的方方向向，，不不要要寫(xiě)寫(xiě)錯(cuò)錯(cuò)坐坐標(biāo)標(biāo)．．考點(diǎn)二向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】建立立直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，利利用用向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算解解答答．．【答案案】2【思維維總總結(jié)結(jié)】向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算主主要要是是利利用用加加、、減減、、數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算法法則則進(jìn)進(jìn)行行．．若若已已知知有有向向線線段段兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)，，則則應(yīng)應(yīng)先先求求出出向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)，，解解題題過(guò)過(guò)程程中中要要注注意意方方程程思思想想的的運(yùn)運(yùn)用用及及正正確確使使用用運(yùn)運(yùn)算算法法則則．．1．凡凡遇遇到到與與平平行行有有關(guān)關(guān)的的問(wèn)問(wèn)題題時(shí)時(shí)，，一一般般要要考考慮慮運(yùn)運(yùn)用用向向量量平平行行的的充充要要條條件件．．2．向向量量共共線線的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示提提供供了了通通過(guò)過(guò)代代數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算來(lái)來(lái)解解決決向向量量共共線線的的方方法法，，也也為為點(diǎn)點(diǎn)共共線線、、線線平平行行問(wèn)問(wèn)題題的的處處理理提提供供了了容容易易操操作作的的方方法法．．解解題題時(shí)時(shí)要要注注意意共共線線向向量量定定理理的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示本本身身具具有有公公式式特特征征，，應(yīng)應(yīng)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)利利用用這這一一點(diǎn)點(diǎn)來(lái)來(lái)構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)和和方方程程，，以以便便用用函函數(shù)數(shù)與與方方程程的的思思想想解解題題．．考點(diǎn)三向量共線(平行)的坐標(biāo)表示(2010年高考陜陜西卷)已知向量量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.【思路點(diǎn)撥撥】由向量平平行的充充要條件件列出關(guān)關(guān)于m的方程，，然后求求解．【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.例3【答案】m＝－1【誤區(qū)警示示】解答本題題過(guò)程中中，易將將方程列列成(－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出錯(cuò)，，導(dǎo)致此此種錯(cuò)誤誤的原因因是：沒(méi)沒(méi)有準(zhǔn)確確記憶兩兩個(gè)向量量平行的的充要條條件，將將其與向向量垂直直的條件件混淆．．向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算算常在三三角函數(shù)數(shù)、解析析幾何等等知識(shí)交交匯點(diǎn)處處命題，，解答這這類問(wèn)題題的關(guān)鍵鍵是認(rèn)真真領(lǐng)會(huì)題題中所給給信息，，并將所所得的信信息應(yīng)用用于題目目中去，，以解決決實(shí)際問(wèn)問(wèn)題．考點(diǎn)四向量的綜合問(wèn)題已知向量量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用用v＝f(u)表示．(1)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)與f(b)的坐標(biāo)；(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)；(3)證明：對(duì)任意意的向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．例4【思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找找出“函數(shù)”v＝f(u)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，，此處的變量量為向量的坐坐標(biāo)，因此，，可通過(guò)坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決決問(wèn)題．【解】(1)∵a＝(1,1)，∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．又∵b＝(1,0)，∴f(b)＝(0,2××0－1)＝(0，－1)．(3)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．方法技巧1．用向量解解答幾何問(wèn)問(wèn)題的一般般思路是：：選擇一組組基底，運(yùn)運(yùn)用平面向向量基本定定理將條件件和結(jié)論表表示成向量量形式，再再通過(guò)向量量的運(yùn)算來(lái)來(lái)解答．(如例1)2．向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算，，使得向量量的線性運(yùn)運(yùn)算都可用用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)了向量運(yùn)運(yùn)算完全代代數(shù)化，將將數(shù)與形緊緊密結(jié)合起起來(lái)，就可可以使很多多幾何問(wèn)題題的解答轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們們熟知的數(shù)數(shù)量運(yùn)算．．(如例2)方法感悟3．兩個(gè)向量量共線的充充要條件在在解題中具具有重要的的應(yīng)用，一一般地，如如果已知兩兩向量共線線，求某些些參數(shù)的值值，則利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),則a∥b的充要條件件是x1y2－x2y1＝0”比較簡(jiǎn)捷．．(如例3)4．對(duì)于向量量坐標(biāo)的綜綜合應(yīng)用，，關(guān)鍵是利利用已知條條件轉(zhuǎn)化為為方程或函函數(shù)關(guān)系式式解決．(如例4)1．?dāng)?shù)學(xué)上的的向量是自自由向量，，向量a＝(x，y)經(jīng)過(guò)平移后后得到的向向量的坐標(biāo)標(biāo)仍是(x，y)．2．若若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則則a∥b(b≠0)的充充要要條條件件是是a＝λb，這這與與x1y2－x2y1＝0在本本質(zhì)質(zhì)上上是是沒(méi)沒(méi)有有差差異異的的，，只只是是形形式式上上不不同同．．失誤誤防防范范考情分析考向瞭望?把脈高考向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算和和向向量量共共線線的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示是是高高考考的的預(yù)測(cè)2012年高考仍將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與應(yīng)用能力．(2009年高高考考廣廣東東卷卷)若平平面面向向量量a，b滿足足|a＋b|＝1，a＋b平行行于于x軸，，b＝(2，－－1)，則則a＝________.【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】利用用a＋b平行行于于x軸，，設(shè)設(shè)出出a＋b的坐坐標(biāo)標(biāo)．．利利用用向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算并并分分類類討討論論．．命題探源源例【解析】∵a＋b平行于x軸，故可可設(shè)a＋b＝(m,0)，由|a＋b|＝1?m2＝1，故m＝±1.當(dāng)m＝1時(shí)，a＝(1,0)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)；當(dāng)m＝－1時(shí)，a＝(－1,0)－b＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．∴a＝(－1,1)或(－3,1)．【答案】(－1,1)或(－3,1)【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】(1)本題易失失誤的是是：①模的坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算不不知，不不能將模模的關(guān)系系轉(zhuǎn)化為為坐標(biāo)關(guān)關(guān)系；②不理解向向量與x軸平行的的含義．．(2)在解決向向量問(wèn)題題時(shí)，如如果沒(méi)有有向量的的坐標(biāo)形形式，可可以引入入坐標(biāo)使使抽象問(wèn)問(wèn)題具體體化．其其實(shí)，向向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算算是一種種把其他他運(yùn)算轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為純純數(shù)字運(yùn)運(yùn)算的有有效途徑徑，尤其其是碰到到幾何問(wèn)問(wèn)題時(shí)(一些涉及及幾何圖圖形的向向量試題題，由于于幾何性性質(zhì)不能能直接應(yīng)應(yīng)用而使使問(wèn)題變變得復(fù)雜雜難求，，如果能建建立適當(dāng)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)標(biāo)系，用用代數(shù)式式表示圖圖形的性性質(zhì)，即即圖形數(shù)數(shù)字化，，以“數(shù)”解“形”，可使解解題思路路清晰，，便于問(wèn)問(wèn)題順