導數選擇題之構造函數法解不等式的一類題

D．,D．,C．)(導選題構函解等的類一、單選題．定義在上的函數的導函數為

′

(，若對任意實數，有(??)>′，且(??)+為奇函數，則不等式(+

??

<0的解為A．?0)

B．

11????設數′(是奇函數??)(∈的導函數??(=0當<0時??′(??(??)??

，則使得(>成立的的取值范圍是（）A．??1)∪C．∪

B．??1)∪(D．+．義在上的偶函數(的導函數′(，若對任意的正實數，都有??)??′(2恒成立A．??1)

2

??)<??B．

2

?1成立的實數的取范圍）CD．{??≠．知函數()

定義在數集，上的偶函數，當>0時恒有??

()>?()

，且(2)=0，則不等式(>0的解集為()A．，C．，?∪，

B．?∪+D．，∪+．定義在)

上的函數()

滿足′<1+，0)=，則不等式)>????+1的解為（）A．?)

B．(

C．(+∞

D．)．定義在上的函數=()

滿足任意都有(??+2)?()

，且∈

(()1(時′)

??

)4)2(的大小關系是（）A．

()()()

B．

()()()C．

()((

D．

()())．知偶函??滿足??(??

′

(，=2，則(>3?

的解2集為A．{????>2C．{??>1

B．{<<D．{<<定在上的函數滿足>1???

′

(??),=??

′

(是(的導函數，則不等式??

??

??)>???1（其e為自然對數的底數）的解集為()A．(

B．

C．

(∪+D．(1,+知定義在上的函數=)

的導函數為

′)

足()′)

0)2，則不等式()??

??

的解集為（）A．?)

B．(+∞)

C．(?)

D．2,+10．定在0,+

上的函數f(x)滿足??

′)+1??(2)=，則不式??)??0的集為A．

B．(0,)

C．(+)

D．ln2,1)知定義在上的函數(滿足??

′

(???(<

中

′

(

是函數(??)的導函數．若???>(?

，則實數??

的取值范圍為（）A．

B．+

C．+

D．

11．已知函數f(x)是定義在上的可導函數，且對于∈，均()>f有（）A．e

f(f(0)，f

fB．e2017

f－f(0)，ff(0)C．

f(f，f

f(0)D．e

f－f(0)，f

f(0)知導函數(的定義為導數

′

(滿足′??)???)0,則不等式+??)(?1)<的解為A．

(

B．

(

C．

(D．(．函數是義在區(qū)間(0,+上的可導函數，其導函數為′(，且滿??′(+??)等式(+

2

??+<的解集）A．??|??>}

B．??|??}C．??|?<??<}

D．??|?<<0}知函數()

的導數是=??′)

若(+∞)

都有??()<()成立，()B．(1)<A．√>2)D．(1)>(2C．3(2)．已知函數(滿足條件：??>0時??)+????2確的是（）A．(1)+3(2B．2)+3>4(4)C．1)+8(3)D．(2)+4<3(4)

′

(，則下列不等式正

????????D．3)??()????????D．3)??()C．)6)√√23．定義(上的函數??2成則有（）

′

(是它的導函數，且恒′(??)·A．√2

)??()B．√)>43????????4663．已知函數(是偶函數??)=??(?，且??≠2時其導函數′(滿足(2)′(0，若??3，則（）A．

??

)<??(3)<??)3

B．

??(3)??)<??)3C．??)??(3)<

??

)

D．??(log<3

??

)??(3)函數′(是奇函數??)(∈的導函數>時??′(<

1??

，則使得??

2

?4)??)>0成立的的取值范圍（）．(?2,0)D．(?2)∪

．((2,

．(?2,0)(2,

??(??)??(??)′????(??)??(??)′??(??)??(??)參考答案．B【解析析】構造函數(，則得(的單調性，再根????)+為奇函數得，轉化不等式為(，最后根據單調性性質解不等式.【詳解】構造函數(，則??

′

(=

??(??)??(??)

<0，所以(在上單獨遞減，因為????)+為奇函數，所以+0∴??(0)因此不等式(??)??

??

<0等價于??)，即>，選B.【點睛】利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造構造助函數常根據導數法則進行：如??

′

(??(構造??(=

??(??)

，

′

(+??(0構造(??

??

??(??

′

(??(構造??(??)=

??(??)??

，??

′

(+??(<0構造??)????(等．A【解析】分析：構造函數)=

)??

，首先判斷函數的奇偶性，利用??′(可??斷<時函數的單調性，結合函數圖象列不等式組可得結果詳解：設)=

)??

，則)

的導數為′()=

????′)??()

，因為??0時??′(，??即()()

成立，所以當0時，′()

恒大于零，

()()()()∴當時函數)

)??

為增函數，又???)

?)???

=

)??

=??)

，∴函數)

為定義域上的偶函數，當>時，函數)=

)??

為減函數，又???1)=

?1)?1

=0∴函數)的圖象性質類似如圖，數形結合可得，不等式??())>0，?

??>0??0或，????0??<0可得??1或<，使得????)0成的的取值范圍是?∪，故A.點睛：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，并由函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題.聯已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀變不等式形狀；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數．A【解析】【詳解】分析構造新函數(=??

2

??(???

2

利用導數確定它的單調性從而可得題中不等式的解．詳解(??

2

??(???

2

′(????(??

2

??2=??(????)?

??(????(??)????′(??)???(??)，由已知??0時′(??)??(??)+??′(20，在+∞)上是函數，又∵??(是函數，∴??)=??

2

??)??

2

也是偶函數，??(0)0，不等式

2

??)?<??

2

?1即為

2

??)??

2

<1，即(??)，∴|，∴|>1，即<??>．故選A．點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，然后解函數不等式．解題關鍵是構造新函數．新函數的結構可結合已知導數的不等式和待解的不等式的形式構造．如

??)??，??)

??(??)??

，=??

??

，??)=

??(??)

等等．．B【解析】分析：設=

??(??)??

，結合求導法則，以及題中的條件，可以斷定函數在相應區(qū)間上的單調性，根據函數的單調性和函數的奇偶性求出不等式的解集即可.詳解：設(，所以??)=，??因為當0時，有????′(??)???)0恒成立，所以當0時′(0，所以??(在+上遞增，因為????)??(，以??)=

??(???)???

=，所以??(是奇函數，所以(在(上遞增，因為0，所以??

??(2)2

=0，當>時，??)0等于

??(??)??

>0，所以(??)>

，以>2，當<時，??)0等于

??(??)??

<0，所以(??)<?2)，所以，所以原不等式的解集為?∪+，選B.點睛：該題考查的是有關函數的問題，結合題中所給的條件，結合商函數求導法則構造新函數，結合函數的單調性與導數的符號的關系得相應的結果在求<0時的情況的時候，可以直接根據函數(是偶函數求得結果．B

=又=又【解析】分析：根據題意，設()=)????，對其求導分析可得??()

在區(qū)間()上遞減，利用(0)的值可得0)的值，進而將原不式轉化為)??0)，結合函數的單調性、定義域，分析可得答案詳解：根據題意，設))???，則′)??

′

()??，又由函數(

定義在?1,+∞)

上，且有

′

()<1，則

′

()??

′

()????1<0，則)

在區(qū)間∞)

上遞減，若(0)1，則0)(0)??0=，()>??+(????)??(0)，則1<??，即不等式的解集為).故選：點睛：本題考查函數的導數與函數的單調性之間的關系，關鍵是構造函數

??)=()????，并分析單調性．C【解析】根據題，數()滿任意∈??都有(??)=?()，則(??4)(??+2)=(

，則()

是周期的函，有()=(4),()(1),(=(2)設)=

)??

則導數為′)

)??????()?)′????′()?()由(

時，??′)

)??

，則有′))<0，則有′()

????′()?()

<0，則函數??)在0,4]上為減函數，則有1)>??2)4)，即1)

22

>

44

，又由()4),)=(),((2)

，則有()>

(

>

，2

4變形可得4)>2()>，故選

【方法點睛利用導數研究函數的單調性造函數比較大小屬于難題聯系已知條件和結論，構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀；②若是選題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.．C【解析】【分析】構造函數)=??

2

)?3??

2

+1，由2??)+??

′

(>可得()

在0,)

遞增，結合奇偶性轉化原不等式為||>從而得結果【詳解】由()>3?

12

得

2

?3

2

+10，令)=??

2

)321，′)=2)+??

2

′()?6=[2)+??()?6]

，∴??>0時，′()0,)

遞增，又1)=1)?2=0,時，不等式??)>3?

12

等價于∵)

是偶函數，()

()>(1)也是偶函數，||>可得1或<，

11所以????)3?

的解集為??|1或?1}2

，故選C.【點睛】本題主要考查抽象函數的單調性以及函數的求導法則屬于難題求解類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結論進行類比、聯想、抽象、概括，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀變換不等式形狀；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.．B【解析】【分析】構造函數??)=??

??

)??

??

，??∈)，研究)的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解【詳解】設)=??

??

)??

??

，??∈)，則

′)??()+??′)?????

??

[(+′)?1]則

′)0，??=??)

′)>1?()∵??∴)+??′)?10在定義域內單調遞增∵??()>???1，∴??)>，??0)=(0)0=?1∴??)>??0)

，>0則不等式的解集為，+故選

1111【點睛】本題主要考查了函數單調性，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵。．A【解析】分析：先構造函數??(??)=

??(??)

，再根據函數單調性解不等式.詳解：令(

??(??)

，因為

′

(=

??

′

(??)??(??)

<0，??(0)=2所以????)2??

??

???(??)>??<因此解集為，選點睛：利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造構造助函數常根據導數法則進行：如??

′

(??(構造????)

??(??)

，??′+??(0構??(=????(′??)??(構造??)=

??(??)??

??

′

(+??(0構造(??)=????(等．C【解析】【分析】構造函數??=??(+，可得

′

(=??

′

(>0，??(在0??

，）上單調遞增，原不等式等價于(??【詳解】設(??(+ln，

??

)>，利用單調性可得結果由??

′(1>0可得

′

(=??

′

(+>，??所以(在（0，∞）上單調遞增，又因為??(2)0，

??(??)??(????(??)??(??)不等式(??

??

)??>0等價于??)=??+??>，因此

??

>2，??>，即等式(??

??

)??>0的解集為(ln2,+)

，故選【點睛】利用導數研究函數的單調性構造函數比較大小,于難題聯系已條件和結論造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的形狀變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數11．【解析】【分析】根據題意，構造函(??)，??∈+，用數研究其單調性，可???)在??單調遞減，將2???(??>，轉化為??(???2018)???2018

>

??(2)2

，即(>，從而可得實數的取值范圍.【詳解】令(??)=，??，則??

′

(??)=

????

′

(??)??(??)

∵??

′

(??)???)<0∴

′

(??)0∴函數(??)在(+∞)上單調減

∴>，∴>，∵??(?，???0??(???2018)??(2)???20182

，即(∴?<2且>0，解得??<.∴實數的取值范圍為．故選D．【點睛】本題考查利用導數研究不等式問題利用導數研究不等式恒成立問題或不等式的解集問題，往往要根據已知和所求合理構造函數，再求導進行求解，如本題中的關鍵是利用??????(??)??

′

(??)<”和???>(?的系構造函數??)=．D【解析】【分析】構造函數)=

)

，由()>′(可得函數)=

()

在上調遞減，利用單調性可得結果【詳解】構造函數)=

)

，則′()=

??′)??

(??)′()(??)

=

??′)?)因為∈，均有)??′)

，并且

??

>0,∴??′()，故函數()=

)

在上單調遞減，(>0),??)??0)

，即

??(?2017)??

>，

??(2017)??

<即

2017

)>(0),()<??

2017

0)

，故選D.【點睛】利用導數研究函數的單調性構造函數比較大小,于難題聯系已條件和結論造

??(??)2??(??)2輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數，并確定變量的限制條件，通過研究函數的單調性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的形狀變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數．B【解析】【分析】構造函數(，將不等式轉化為+??)??(，再根(定義域2及單調性化簡求解【詳解】令(

??(??)2

,??<0∴??

′

(

??

2

??

′

(???(????=4

′

(?2??)3

<0因為??+??)?(

??(<0，所以2017+??)

2

+??)(2017+<因為(在(單調遞減，所以

2017??<02017??<0?+??)<?1)2017??>

???<?2017，選B.【點睛】利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造構造助函數常根據導數法則進行：如??

′

(??(構造??(=

??(??)

，

′

(+??(0構造(????(，′??)<??(構造??(=

??(??)??

，

′

(+??(<0構造??)????(等

2222．C【解析】分析：由題意構造函數??)=??

2

求導可知函數是區(qū)間(+上增函數，把原不等式轉化為+<，結合+>求得x的范圍.詳解：[??

2

??)]

′

=2??(

2

??

′

(=??(+??

′

(??)],??

′

(+2??)>??∴[

2

??)]

′

>0,則函數(??)=??

2

是區(qū)間上的增函.由不等式??+

??+2018)<，得??4，解x<-2014，又由??+，得x-2018，即x(-2018,-2014)故選C.點睛：該題考查的是有關解不等式的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點應用導數研究函數的單調性，構造新函數，結合題意求得對應的不等式的解集.．D【解析】分析：由題意構造函)=

)2

(??>)

，結合函數的單調性整理計算即可求得最終結果詳解：令)=

)2

(??>0)

，則：′()=

??′)×??

??()??

=

????′()??()3

，由∈(0,

，都有??′)2()

成立，可得′()在區(qū)間0,+∞)

內恒成立，即函數()是區(qū)間0,+內單調遞減，據此可得：1)>2)，即

12

>

(22

，則(1)>2)本題選擇D選項點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之

11中某數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作.因對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功．C【解析】【分析】令)=??

(2

，得到)

在0,遞增，有1)<(3，從而得到答案．【詳解】構造)=??

2

)???

2

??

′)???(()+?????2

′)?>0在∈(∞)恒成立，)在+∞上是增函數，1<3∴??1)??3得(1)(3)故選.【點睛】

，本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）

f（x）-x

是解題的關鍵，屬中檔題．．D【解析】【分析】：先構造=??

′)???(·tan的原函數??)????，由題意，得出原函數??)????單增函數，由此判斷函數值的大小?！驹斀狻?/p>

??????????√3????√2????1????????1??????√????????????√????????33??????????√3????√2????1????????1??????√????????????√????????33：先構造=??

′)???(·的函數，為x∈)，則????>0，那么在不等2式兩邊同時乘以????不號變，??

′)?)??????）=??

′(?()????[??)????′>0，所以函數x)=??)????單函數，此)6g)g1))，4

3g))，()=

)，g)，1)=(1)????1，所以6

2

64

2

4323g)g)???()<??()?√2()<??(，以A錯4

3

2

4

2

3

4

3g)g1)?6

√32

??()??(1)?√??()，所以B錯66g)g)?64

√32

??()62

??()?2()6)，所以C錯446故選D?！军c睛】：已知抽象函數的性質解不等式的基本解法有兩種1）構造滿足題目條件的特殊函數）還原抽象函數，利用抽象函數的性質求解。．B【解析】分析：先根據函數圖象的平移，得到函的圖象關于直線=2對稱，再通過討論導數的符號得到函數??(的單調性，將4，????上進行比較大小詳解