正弦定理與余弦定理的應(yīng)用設(shè)計

正弦定理與余弦定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1．能夠運用正弦定理．余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．2．通過將實際問題建立數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生充分認(rèn)識到建立數(shù)學(xué)模型的重要性，進(jìn)行測量，掌握數(shù)學(xué)術(shù)語及數(shù)學(xué)作圖方法，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．教學(xué)重點分析測量問題的實際情景，從而找到測量距離的方法．教學(xué)難點實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定，即根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖．教學(xué)課時第一課時教學(xué)過程：課題導(dǎo)入在測量工作中，經(jīng)常會遇到不方便直接測量的情形．例如，如圖所示故宮角樓的高度，因為頂端和底部都不便到達(dá)，所以不能直接測量．假設(shè)給你米尺和測量角度的工具，你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？如果能，寫出你的方案，并給出有關(guān)的計算方法；如果不能，說明理由．【設(shè)計思路】“情境與問題”以故宮角樓的高度測量為背景，引人本小節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，有利于學(xué)生了解歷史文化，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感．使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)．教材引入先給出實際問題，因為角樓頂端和底端都不方便到達(dá)，所以高度不能直接測量．然后給出米尺和測量角度的工具，讓學(xué)生自己設(shè)計測量方案．在這個過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把實際圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形．考慮到若一開始就求解“情境與問題”中A，B

不可到達(dá)的模型，對于學(xué)生可能有困難，不妨先讓學(xué)生求解

A，B

兩點可到達(dá)時的數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)一步變式為

A，B

兩點不可到達(dá)時的數(shù)學(xué)模型．講授新課上圖中角樓的高度問題可以轉(zhuǎn)化為：用米尺與測量角度的儀器，怎樣得到不便到達(dá)的兩點之間的距離？如圖（1）所示，設(shè)線段

AB

表示不便到達(dá)的兩點之間的距離，在能到達(dá)的地方選定位置

C

進(jìn)行測量．用測量角度的儀器可以測量出∠ACB

的大小，但是因為點

A，B

都不便到達(dá)，所以∠ABC

的3條邊都無法用米尺測量．（2）如圖（2）所示，在可到達(dá)的地方再選定一點

D，并使得

CD

的長

m

能用米尺測量．用測量角度的儀器測出∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ACD=θ，∠ADC

=φ．然后，利用α，β，γ，θ，φ 以及m即可求出AB的長．首先，在△BCD中，因為∠CBD=-β-γ，所以，由正弦定理可得因此同理，從△ACD可得，最后在△ABC中，根據(jù)AC，BC，α，利用余弦定理就可以求出AB的長．教材中給出的方法可以認(rèn)為是從

C

點橫著走一段距離到達(dá)

D

點，思考：還有其他方法求出建筑的高度嗎？若有，請設(shè)計另外一種方法．下面是提供一種參考方法：如右圖所示，沿著BC

方向走一段距離到達(dá)

D點，用米尺測量出CD的長度為m．用測量角度的儀器測量出∠ACB=α，∠ADC=β．在△ADC中，∠CAD=

α-β，由正弦定理得因此，在Rt△ABC中可得三、例題講授例1：在200m高的山頂A處，測得山下一塔頂B與塔底C的俯角分別是30°，60°，試求此塔的高度（測量儀器的高度忽略不計）．解析：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200×tan30°=在Rt△ABD中，AD=OC=∠BAD=30°,則BD=AD·tan∠BAD=×tan30°=所以BC=CD-BD=OA-BD=200-=所以，此塔的高度為米.例2：一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD．（tan8°≈，長度精確到m）解析：由正弦定理可得：所以在故山的高度約為1047米．【設(shè)計意圖】在前面經(jīng)歷應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實際問題——建筑物的高度之后，通過例1——一個豎直平面上的高度、例2——立體中的高度，逐步加深培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)解決實際問題的信心．課堂總結(jié)1．高度測量問題有以下兩個關(guān)注點．（1）空間向平面的轉(zhuǎn)化．高度測量問題往往是空間中的問題，為了方便觀察，減小誤差，需要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．（2）解直角三角形與解斜三角形結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．