正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

第九章解三角形正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課后篇鞏固提升1.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè),在所在河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算A,B兩點(diǎn)的距離為()m 3m2m m解析△ABC中,AC=502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AB答案A2.如圖,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B后,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cosθ=()3+1 3 3 D.3+1解析在△ABC中,由正弦定理得BC=ABsin∠BACsin在△BCD中,sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)50×22=3-1,又因?yàn)閏osθ答案C3.某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩個(gè)觀察所分別位于C,D兩點(diǎn),已知△ACD為等邊三角形,且DC=3km,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)位于CD兩側(cè))時(shí),測(cè)得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為()km km km km解析如圖所示:∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2sin75°.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°,所以AB=5+23≈(km).答案C4.如圖,為了測(cè)量某濕地A,B兩點(diǎn)間的距離,觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C,D,E.從D點(diǎn)測(cè)得∠ADC=°,從C點(diǎn)測(cè)得∠ACD=45°,∠BCE=75°,從E點(diǎn)測(cè)得∠BEC=60°.現(xiàn)測(cè)得DC=23千米,CE=2千米,則A,B兩點(diǎn)間的距離為()A.6千米 2千米千米 3千米解析在△ACD中,∠ADC=°,∠ACD=45°?∠DAC=°?AC=DC=23;在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°?∠CBE=45°,利用正弦定理得到:CEsin∠CBE=在△ABC中,∠ACB=60°,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB?AB=3.故選C.答案C5.如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度是60m,則河流的寬度是()(3-1)m (2-1)m(3+1)m (3-1)m解析由題意可知:∠ABC=105°,∠BAC=45°,∴AC=60sinC=由正弦定理BCsin∠BAC=AC602sin60°cos45°即河流的寬度為120(3-1)m.故選D.答案D6.如圖,為了測(cè)量山坡上燈塔CD的高度,某人從高為h=40的樓AB的底部A處和樓頂B處分別測(cè)得仰角為β=60°,α=30°,若山坡高為a=35,則燈塔高度是() 解析過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC于點(diǎn)F,如圖所示,在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=∴AD=hcosαsin(β-α),在Rt△ADF中,DF=ADsinβ=hcosαsinβsin(β-α),又山高為a,則燈塔答案B7.某船在A處看到燈塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到達(dá)B處,看到燈塔S在北偏西76°方向,則此時(shí)船到燈塔S的距離為海里.

解析由條件可得,∠BSA+∠BAS=76°,所以∠BSA=76°-40°=36°.在△SAB中,由正弦定理,得BSsin∠BAS=ABsin答案8.在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式,如圖,在坡度為15°的觀禮臺(tái)上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B的距離為106米,則(1)AN=米;(2)旗桿的高度為米.

解析依題意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知ABsin∠BNA=NAsin∠NBA,所以AN=AB所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=203×32=30米,所以旗桿的高度為答案203309.某人向正東走了xkm后,右轉(zhuǎn)150°,又走了3km,此時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)3km,則x=.

解析作出圖形如下圖所示:設(shè)起點(diǎn)為點(diǎn)A,向正東走xkm后到達(dá)點(diǎn)B,然后向右轉(zhuǎn)150°行走3km到達(dá)點(diǎn)C,此時(shí)AC=3km,那么在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=3,B=30°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即3=x2+9-2×x×3×32整理得x2-33x+6=0,解得x=3或23.答案3或2310.如圖所示,近日我國(guó)漁船編隊(duì)在島A周圍海域作業(yè),在島A的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站B,某時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近,現(xiàn)測(cè)得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航,上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小時(shí)的速度向島A直線航行以保護(hù)我國(guó)漁船編隊(duì),30分鐘后到達(dá)D處,此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得B,D間的距離為21海里.(1)求sin∠BDC的值;(2)試問(wèn)海警船再向前航行多少分鐘方可到達(dá)島A?分析(1)在△BDC中,根據(jù)余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.(2)首先利用和差公式計(jì)算sin∠ABD,△ABD中,由正弦定理可得AD長(zhǎng)度,最后得到時(shí)間.解(1)由已知可得CD=40×12=在△BDC中,根據(jù)余弦定理求得cos∠BD