任意角的三角函數(shù)設(shè)計

任意角的三角函數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1、理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義；2、掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等（二）教學(xué)重難點1、通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號；2、通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等；（三）教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課思考題：我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為180°，那么sin200°的值還是三角形中200°的對邊與斜邊的比值嗎？設(shè)計意圖：通類比角的概念的推廣，修正三角函數(shù)定義。由此展開新課.師生活動：師問生答.2.新知探究問題①:在初中時我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎？問題②:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？設(shè)計意圖：通過提問，讓學(xué)生知道任意角的三角函數(shù)。教師活動：教師提出問題,學(xué)生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對回答正確的學(xué)生進行表揚,對回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形.教師提示:前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實數(shù)集是一一對應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫出角α的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).如右圖,設(shè)銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有sinα==,cosα==,tanα==.討論結(jié)果:①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).②sinα==,cosα==,tanα==.問題③:如果改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？問題④:你利用已學(xué)知識能否通過取適當(dāng)點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化？活動:教師先讓學(xué)生們相互討論，并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點,計算一下對應(yīng)的比值,獲得具體認識,并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進行對比,學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化.此時sinα==b,cosα==a,tanα==.在引進弧度制時我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對值等于圓心角α所對的弧長(符號由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點就是α的終邊與單位圓的交點.銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標(biāo)表示.同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).圖2如圖2所示,設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).討論結(jié)果:③這三個比值與終邊上的點的位置無關(guān),根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,有sinα==,cosα==,tanα==.由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.④能.問題⑤:學(xué)習(xí)了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個新的函數(shù),我們可以對哪些問題進行討論?問題⑥:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?活動:教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學(xué)生回顧所學(xué)知識,并總結(jié)回答老師的問題,教師對學(xué)生總結(jié)的東西進行提問,并對回答正確的學(xué)生進行表揚,回答不正確或者不全面的學(xué)生給予提示和補充.教師讓學(xué)生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學(xué)生上黑板板書.按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖3中的括號內(nèi).三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα圖3教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結(jié)論.對于正弦函數(shù)sinα=y,因為y恒有意義,即α取任意實數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時,無意義,即tanα無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時,才有x=0,所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時,恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠+kπ(k∈Z).(由學(xué)生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α|α≠+kπ,k∈Z}三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當(dāng)點P在第一、二象限時,縱坐標(biāo)y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.討論結(jié)果:⑤定義域、值域、單調(diào)性等.⑥y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠+kπ(k∈Z)},值域是R.3.應(yīng)用示例例1求的正弦、余弦和正切值.解:在平面直角坐標(biāo)系中,作∠AOB=，如右圖易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2已知角α的終邊經(jīng)過點P0(-3,-4)，求角α的正弦、余弦和正切值.活動:教師留給學(xué)生一定的時間,學(xué)生獨立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點的坐標(biāo)來定義,既不失一般性,又簡單,更容易看清對應(yīng)關(guān)系.教師要點撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合,但要提醒學(xué)生注意α角的任意性.如圖,設(shè)α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點,點P與原點的距離r=>0,那么:①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).這樣定義三角函數(shù),突出了點P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點.解:由已知,可得OP0==5.如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P(x,y).分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;圖5tanα===.點評:本例是已知角α終邊上一點的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.例3求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時,角θ為第三象限角.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗證在不同的象限內(nèi)各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號,取決于x,y的符號,當(dāng)點P在第一、二象限時,縱坐標(biāo)y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角.因為①sinθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上;又因為②式tanθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限.因為①②式都成立,所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是角θ為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明.點評:本例的目的是認識不同位置的角對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號,其條件以一個不等式出現(xiàn),在教學(xué)時要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力.變式訓(xùn)練已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例4課本P14例4變式訓(xùn)練求下列三角函數(shù)值:(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).活動:引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點,終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么?引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明.由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一):sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值.這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.4.課堂小結(jié)本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了