函數(shù)的應(yīng)用(一)

函數(shù)的應(yīng)用(一)題型1一次函數(shù)模型1．一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)解析式為(D)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)解析：因為90min＝h，所以汽車的速度為180÷＝120(km/h)，則路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)解析式為y＝120t(t≥0)．2．某廠日產(chǎn)拖把總成本y(元)與拖把日產(chǎn)量x(把)的函數(shù)解析式為y＝5x＋4000，而拖把出廠價格為每把10元，該廠為了不虧本，日產(chǎn)拖把至少為(D)A．200把 B．400把C．600把 D．800把解析：由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日產(chǎn)拖把至少800把才不虧本．3．列車從A地出發(fā)直達500km外的B地，途中要經(jīng)過離A地300km的C地，假設(shè)列車勻速前進，5h后從A地到達B地，則列車與C地距離y(單位：km)與行駛時間t(單位：h)的函數(shù)圖象為(C)解析：因為列車勻速前進，所以列車行駛速度v＝eq\f(500,5)＝100(km/h)，所以列車eq\f(300,100)＝3(h)后到達C地，此時距離C地0km，即函數(shù)圖象經(jīng)過點(3,0)，由此可排除A，B，D，知C正確．題型2冪函數(shù)與二次函數(shù)模型4．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m(件)與每件的售價x(元)滿足一次函數(shù)：m＝162－3x.若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應(yīng)定為(B)A．30元 B．42元C．54元 D．越高越好解析：設(shè)每天的銷售利潤為y元，則y＝(x－30)(162－3x)，30≤x≤54，將上式配方后得y＝－3(x－42)2＋432，當(dāng)x＝42時，y取得最大值．故每件商品的售價定為42元時，每天才能獲得最大的銷售利潤．5．為保護環(huán)境，某單位采用新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最多不超過300噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)解析式可近似的表示為：y＝x2－200x＋40000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為300元．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在什么范圍？解：(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為eq\f(y,x)＝x＋eq\f(40000,x)－200，x∈(0,300]．因為x＋eq\f(40000,x)－200≥2eq\r(x·\f(40000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(40000,x)，即x＝200時，才能使每噸的平均處理成本最低．(2)設(shè)該單位每月獲利為S(元)，則S＝300x－y＝300x－(x2－200x＋40000)＝－x2＋500x－40000≥0，解得100≤x≤400，由題意可知0<x≤300，所以當(dāng)100≤x≤300時，該單位每月不虧損．題型3分段函數(shù)模型6．某客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100公里，票價是每公里元，如果超過100公里，超過部分按每公里元定價，則客運票價y(元)與行程公里數(shù)x(公里)之間的函數(shù)解析式是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，0≤x≤100，,10＋，x>100)).解析：由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，0≤x≤100，,×100＋x－100，x>100，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，0≤x≤100，,＋10，x>100.))7．某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計計算．可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣優(yōu)惠率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元，則他實際所付金額為__1_120__元．解析：設(shè)折扣金額為y元，購物總金額為x元，由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤600，,x－600，600<x≤1100，,x－1100＋25，x>1100.))因為y＝30＞25，所以x＞1100，所以(x－1100)＋25＝30，解得x＝1150,1150－30＝1120(元)，故此人購物實際所付金額為1120元．易錯點讀不懂圖象信息致錯8．水池有兩個相同的進水口和一個出水口，每個口進出水速度如圖甲、乙所示，某天0點到6點該水池蓄水量如圖丙所示，給出以下3個論斷：甲乙丙①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到5點不進水也不出水．則一定正確的論斷是(A)A．① B．①②C．①③ D．①②③解析：由甲，乙圖得進水速度1，出水速度2，①0點到3點時斜率為2，蓄水量增加速度是2，只進水不出水，故①對；②不進水只出水時，蓄水量減少速度應(yīng)為2，②錯；③兩個進水一個出水時，蓄水量減少速度也是0，故③錯．故選A.[誤區(qū)警示]正確理解每一個函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵，本題容易錯選C.對于③中，當(dāng)兩個進水一個出水時也符合，這是個動態(tài)中的零增量．(限時30分鐘)一、選擇題1．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如下圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是(B)A．3100元 B．3000元C．2900元 D．2800元解析：設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，函數(shù)圖象過點(1,8000)，(2,13000)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝8000，,2k＋b＝13000，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝5000，,b＝3000，))所以y＝5000x＋3000，x≥0.當(dāng)x＝0時，y＝3000.所以營銷人員沒有銷售量時的收入是3000元．2．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(D)A．在t1時刻，兩車的位置相同B．t1時刻后，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．在t0時刻，甲車在乙車前面解析：由圖象可知，在t0時刻前，甲車的速度高于乙車的速度，由路程s＝vt可知，甲車走的路程多于乙車走的路程，所以在t0時刻，甲車在乙車前面．3．某城市對一種售價為每件160元的電子產(chǎn)品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是(A)A．[4,8] B．[6,10]C．[4%,8%] D．[6%,10%]解析：根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，因此，實數(shù)R的取值范圍是[4,8]．4．一個體戶有一批貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為%.如果月末售出，可獲利120元，但要付保管費5元．這位個體戶為獲利最大，則這批貨(D)A．月初售出好B．月末售出好C．月初或月末售出一樣D．由成本費的大小確定解析：設(shè)這批貨物成本費為x元，若月初售出時，到月末共獲利為y1＝100＋(x＋100)×%；若月末售出時，可獲利為y2＝120－5＝115(元)．則y1－y2＝100＋(x＋100)×%－115＝%×(x－525)，所以當(dāng)成本費大于525元時，月初售出好；當(dāng)成本費小于525元時，月末售出好；當(dāng)成本費等于525元時，月初或月末售出均可．故選D.5．某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數(shù)對(t，P)，點(t，P)落在圖中的兩條線段上；該股票在30天內(nèi)的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示，且Q與t滿足一次函數(shù)關(guān)系．第t天4101622Q(萬股)36302418那么在這30天中第幾天日交易額最大(B)A．10 B．15C．20 D．25解析：當(dāng)0≤t<20時，設(shè)P＝at＋b，根據(jù)圖象知過點(0,2)，(20,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,6＝20a＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝\f(1,5)，))所以P＝eq\f(1,5)t＋2.同理可得當(dāng)20≤t≤30時，P＝－eq\f(1,10)t＋8.綜上可得，P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2，0≤t<20，,－\f(1,10)t＋8，20≤t≤30.))由題意可設(shè)Q＝kt＋m，把(4,36)，(10,30)代入可得k＝－1，m＝40，所以Q＝－t＋40.y＝P·Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2))－t＋40，0≤t<20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,10)t＋8))－t＋40，20≤t≤30，))當(dāng)0≤t<20時，t＝15時，ymax＝125萬元，當(dāng)20≤t≤30時，t＝20時，ymax＝120萬元．綜上可得，第15天日交易額最大．二、填空題6．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超出800元部分的14%納稅；超過4000元的按全稿酬的%納稅．某人出版了一本書共納稅420元，則這個人的稿費為__3_800__元．解析：若這個人的稿費為4000元時，應(yīng)納稅(4000－800)×14%＝448(元)．又因為420＜448，所以此人的稿費應(yīng)在800到4000之間，設(shè)為x，所以(x－800)×14%＝420，解得x＝3800(元)．7．某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為C＝aQ2＋3000，其中a為常數(shù)，且當(dāng)年產(chǎn)量為200時，總成本為15000.記該產(chǎn)品的平均成本為f(Q)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(平均成本＝\f(總成本,年產(chǎn)量)))，則當(dāng)Q＝__100__，f(Q)取得最小值，這個最小值為__60__.解析：由題意得15000＝40000a＋3000，解得a＝eq\f(3,10)，所以C＝eq\f(3,10)Q2＋3000，則f(Q)＝eq\f(C,Q)＝eq\f(3Q,10)＋eq\f(3000,Q)≥2eq\r(\f(3Q,10)×\f(3000,Q))＝60，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3Q,10)＝eq\f(3000,Q)，即Q＝100時，f(Q)取得最小值，最小值為60.三、解答題8．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P＝3eq\r(2a)－6，乙城市收益Q與投入b(單位：萬元)滿足Q＝eq\f(1,4)b＋2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元)．(1)當(dāng)甲城市投資50萬元時，求此時公司總收益；(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大？解：(1)當(dāng)甲城市投資50萬元，即x＝50時，乙城市投資120－50＝70(萬元)，所以總收益f(50)＝3eq\r(2×50)－6＋eq\f(1,4)×70＋2＝(萬元)．(2)由題知，設(shè)甲城市投資x萬元，則乙城市投資(120－x)萬元，所以f(x)＝3eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(120－x)＋2＝－eq\f(1,4)x＋3eq\r(2x)＋26，依題意得