導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論

導(dǎo)數(shù)常用一些技巧和論（年國(guó)新課標(biāo)··）已知f

2x

x

.（）論f

的單調(diào)性；（）若

有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值范圍解析）'若0

，則

恒成立，所以f

在上遞減；若，令

，

ln

.當(dāng)x

時(shí)，f'

，所以

在

上遞減；當(dāng)x

時(shí)，f'

，所以

1在,a

上遞增綜上，當(dāng)0

時(shí)，f

在R上遞減；當(dāng)0

時(shí)，f

在

1上遞減，在,a

上遞增（）f

有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足

fmin

，即且f

x

min

f

10a

.構(gòu)造函數(shù)

gx.易g

x

，以

單調(diào)遞減又因?yàn)?/p>

g

，所以

100aa

.下面只要證明當(dāng)

0時(shí)f

有兩個(gè)零點(diǎn)即可，為此我們先證明當(dāng)x時(shí)，

.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)

h易'

x

，∴

hmin

.當(dāng)

時(shí)，

f

e2e

2

，3flnalnlna

，其中

ln

，lna

，所以

在

13和a

上各有一個(gè)零點(diǎn)故a

的取值范圍是注意：點(diǎn)過程用到了常用放縮技巧。一方面：

ae2xaexaex

ln

；另一方面：0

時(shí)，

（目測(cè)的）xx，xxxxx，xxxxx2第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）lnxx

，

，ln（放縮成雙撇函數(shù)）lnx

11

，1lnx，lnxxx

，（放縮成二次函數(shù)）xx

，ln

1x，ln22（放縮成類反比例函數(shù)）ln

x

2，xx，ln0xx

，

，ln1第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）e

x

e

x

e

x

，（放縮成類反比例函數(shù)）

x，ex

，（放縮成二次函數(shù)）

1x2x，exx6

3

，第三組：指對(duì)放縮

ln

第四組：三角函數(shù)放縮xxtanxx

1x2，xcos2

2

x

.第五組：以直線y

為切線的函數(shù)yln，

x

，

2

，y

x

，y

.221feaaa223221feaaa223經(jīng)模型一

lnx或.xlnx【例1】討論函數(shù)f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

時(shí)，無零點(diǎn)f'

x

，f

ln

.（）

時(shí)，個(gè)點(diǎn).f

x

，f

.（）0

時(shí)，個(gè)零點(diǎn).f

（目測(cè)

f

1

a1011f.

，其中

.（縮）f

1ln

，其中

2

.（到了ln

）（）時(shí)，個(gè)點(diǎn)f'

x

，單調(diào)遞增

f

，1

a

1a

11aae

.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例：f

討論f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令x

，

m2

a討論f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令

1m

a討論

xmx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮g

fx

討論f

ln

mx

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)考慮g

，令

32，m2討論f

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令

tx

，2

討論f

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令

e

）經(jīng)模型二

exex或y【例2】討論函數(shù)f（）a0時(shí)，個(gè)點(diǎn).

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)f

，f

單調(diào)遞增.且

f

1

，所以在

上有一個(gè)零點(diǎn)；（）a時(shí)無零點(diǎn)f

恒成立；（）

時(shí)，無零點(diǎn)f

f

；（）a時(shí)2個(gè)零.f

1a

，

，fa

.【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題：f

x

討論

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（令2x

，

m2

a討論f

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)去分母后與1等討論

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)平方后與1等討論

2

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（移項(xiàng)開方后換元與1等價(jià)討論f

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（乘以系數(shù)e，令a討論

x

lnx

的點(diǎn)個(gè)數(shù)（令

t

，轉(zhuǎn)化成2）討論f

x

mx

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令x

m，e2minmin經(jīng)模型三y

x【例】討論函數(shù)f（）a時(shí)1個(gè)點(diǎn)

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)f'

x，flnx

單調(diào)遞增fx（）a時(shí)1個(gè)點(diǎn)）0（）時(shí)，無零點(diǎn)

，

1

.f

xx2

，fmin（）時(shí)，個(gè)零.x0

.

1fflne（）

時(shí)，2個(gè)點(diǎn).f

1a

，

f

，f

，【變式過元和等價(jià)變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題：f

x

討f

x

1x

ln

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；討論f討論f

ae

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（考慮xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)令e

f

，令x

討論

x

x

ax

的零點(diǎn)