第一章 中線模型的構(gòu)造

60060600600中線模型構(gòu)造當(dāng)已知條件中出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)時(shí)先想到的作輔助線解題方法是什么？如果已知兩個(gè)中點(diǎn)呢？名師講堂知識(shí)點(diǎn)睛1、線段的中點(diǎn)如圖1-1a將段AB分相等的兩條線段AM與BM。點(diǎn)M叫線段AB的點(diǎn)。類似地，還有線段的三等分點(diǎn)，四等分點(diǎn)，如1-1（c）2、等腰三角形（）義：如圖1-2，△中，如果，eq\o\ac(△,則)是腰角形。（）質(zhì)：等三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”等三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（“簡(jiǎn)寫(xiě)成三線合一”判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”3、等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)角都相等并且每一個(gè)角都等于，“三線合一”。（）定：三角都相的三角形是等邊三角形；有個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形；三相等的三角形是等邊三角形。、直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。性質(zhì)：直角三角形中兩銳角互余；直三角形斜邊中線等于斜邊一半；直三角形中，如果一個(gè)銳角等于，么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；④直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

勾股定理。即如果直角三角形中兩直角邊是a、

，斜邊為c

，則

。（）定：有個(gè)角是角的三角形是直角三角形；如三角形的三邊長(zhǎng)ac直接三角形。、全等三角形

滿足

，那么這個(gè)三角形就是定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。判定：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等SSS兩和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全SAS兩和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全ASA兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等HL☆小提示S-Side（邊A-Angle角（邊（角邊）、三角形的中位線（）義：我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，如1-3在ABC中D分是、AC中，則

叫做ABC的位線。（）理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。如圖1-3，在

中，DE

是

ABC

的中位線，則

DE∥

且

DE

。技巧提煉很多幾何題會(huì)給出“點(diǎn)×是線段××的中點(diǎn)”這樣的條件看到“中點(diǎn)”我們應(yīng)該想到什么呢？“中點(diǎn)”有哪些作用呢？已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)，可以考慮：倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)線段）構(gòu)造全等三角形。如圖1-4（1-4（）示三角形中位線定理已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線。已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”。有些題目的中點(diǎn)不直接給出，此時(shí)需要我們挖掘題目中的隱含中點(diǎn)，例如直角三角形中斜邊中點(diǎn)，等腰三角形底邊上中點(diǎn)，當(dāng)沒(méi)有這些條件的時(shí)候，可以用輔助線添加。例題精講例1

如圖1-5a

ABC

中，

,

AC20

求

邊上中點(diǎn)

的范圍。解析：如圖1-5（長(zhǎng)AD

到點(diǎn)

，使得DE

,連接

AD,ADBEDCECDBA在ACE中，＜＜,20＜AE20＜AE1ADAE,24＜16.綜上所述AD例2如圖（在ABC中邊上的中線，E并延長(zhǎng)，交AC于，AFEF，證AC.解析

是AD

上一點(diǎn)連接BE證法一：如圖1-6b長(zhǎng)AD

到點(diǎn)

G

，使

DGAD

，連接

.DB,BDGCDA,ADGDADC.AC.又AF,EAFAEF.BED,G,AC.解法二：如圖1-6(c)，延長(zhǎng)

到點(diǎn)

G

，使得

DG

,連接

CG

.D是B點(diǎn)，CD.CDGGBED,.AFEF,BEGG即EAF..變式如圖1-7，已知在

ABC

中，

是

邊上的中線E

是AD

上一點(diǎn)，且

,延長(zhǎng)

,交AC于F

，

與EF

相等嗎？為什么？變式如圖1-8在

中，

交

于點(diǎn)

，點(diǎn)

是

中點(diǎn)，

交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

，交AB

于點(diǎn)G若

為ABC角平分線，求證：

BGCF例3

如圖1-9（

Rt

中，

,點(diǎn)D為

的中點(diǎn)，點(diǎn)

、F

分別為、

上的點(diǎn)且EDFD

以段

、、FC

為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能三角形是銳角三角形，還是直角三角形，或者是鈍角三角形？解析：以線段

、、FC

為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形證明：如圖1-9（長(zhǎng)FD到使GDFD，接

EG、BDBDGFD≌(CF,FCDGBD∥BG90

0

，EBG

0FDFD,EG.EBG中，

2

2

，

2

2

EF

2

線段BE、EF、為邊能構(gòu)成個(gè)直角三形變式CFEF如圖1-10，已知M為邊的中點(diǎn)，、于、，接EF。證：

、

的平分線分別交ABAB變式如圖1-11所，在中是的點(diǎn)，DMDN，果

CN

DM

2

DN

2

，求證：

AD

124.點(diǎn)評(píng)例－例3是用作倍長(zhǎng)中線或倍長(zhǎng)類中線的方法想求證的線段或角全等轉(zhuǎn)化到另一個(gè)圖形中，從而得到所求。例4已知：如圖1-12（中，、CF分為邊AC上的高D為

的中點(diǎn)，EF

于點(diǎn)，證：FM

.解析證明：如圖1-12接DF、.BECF分別為邊、上的高，BECBFC90

.在Rt和RtD是BC中點(diǎn)，DE

11,DF22DE又DM,DM是的垂直平分.EM.例5

已知：ABD和都是直角三角形，且

.如圖1-13a連接DE解析

，設(shè)M為DE

的中點(diǎn)，連接MBMC.求證：MC.如圖（長(zhǎng)

交

于點(diǎn)

N

,

0

，∥，MENMDBMDMBD≌MB即M是BN中.MCMB

0

，點(diǎn)評(píng)例4、5是利用角三角形斜邊中線的性質(zhì)來(lái)證明線段相等，特別是例5隱中點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)。例6問(wèn)題一：如圖1-14a四形

ABCD

中，

CD

，

、

分別是

、

的中點(diǎn)，連接

并延長(zhǎng)，分別與BACD的長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，求證

.問(wèn)題二：如圖1-14（四形ADBC中與CD相于O，，、分別是

AD

的中點(diǎn)，連EF

，分別交

、AB

于點(diǎn)

MN

，判斷

的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié).問(wèn)題三：如1-14cABC中ABD在AC上，、分是BC、的中點(diǎn)接EF判斷的形狀并證.

并延長(zhǎng)

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)EFC

接GD，解析證明）圖1-14（接BD

，取BD

的中點(diǎn)，連接

HE、.，、F分別是CAD的中點(diǎn)，1FHABFH∥21HEDC∥2HEHF,HFEFH∥MBHEBME,CNEBMECNE.等腰三角形（提示：取

AC

中點(diǎn)H

，連接

FHEH

）AGD是直角三角形證明：如圖1-14e接BD

，取

的中點(diǎn)H

，連接

HE.0000F是的中點(diǎn)，，HF

AB.HFEBGE.1同理，HE∥CDHE2HEFEFCABCDHEHFEHEF.，BGEAFG.AGF等邊三角形.AFFG,GFFDFGDFDG30

0

，90

0

，即AGD是角三角形點(diǎn)評(píng)例是用三角形中位線的性，將相等的線段縮小一半放在了新的圖形中，減半的線段仍然相等。例7如圖1-15知ABC中ABACCE是AB

邊上的中線，延長(zhǎng)AB到，使BDAB，證：解析

CD.證法一：如圖1-15（長(zhǎng)CE到點(diǎn)FEF,連BF.

，使得點(diǎn)是A的中點(diǎn)，BE.AE,FE,EBF,EBFABACABCACBACBDBC.DBCFBCDBCCDCFCE.0000證法二：如圖1-15（長(zhǎng)EHCE,連接.

CE

到點(diǎn)，得EA中點(diǎn)BE.EHECAEHCEBBEBEC.CBEHAE又ABBCACABBCACAHCAB,CBDBD,AC.ACBD,DBCBC,DBC。DC證法三：如圖1-15（長(zhǎng)

BC

到點(diǎn)F

，使得，接AF.BEAF.ABAC,ACB.180CBDFCACBDACAB,ACCB,FCACBDAC,≌CBDAF1CEAF,21CD,即CD2證法四：如圖1-15（

CD

中點(diǎn)

，連接

BF點(diǎn)為D中點(diǎn)，1FBAC,FB.2ACFB.ACABC又BF∥,ACBFBC.EBCEBCFBCCEBCFBCE.1CFCD21CE即CDCE.2證法五：如圖1-15（長(zhǎng)AC到，得

，連接

BF.AFACAFABF≌ACDBFE是B中點(diǎn)，ABF的中位11BF22CDCE證法六：如圖1-15（

AC

中點(diǎn)

，連接

BF與D與D點(diǎn)為AD中,CD，F(xiàn)B.,ACB,即EBC點(diǎn)為A中點(diǎn)點(diǎn)為AC中點(diǎn)FCEBEBFC,EBC,EBCFCBCEBFFBCD,CECD,即CD.點(diǎn)評(píng)例是道多解題，思路很寬利用中點(diǎn)作中線、倍長(zhǎng)中線、中位線等輔助線是常用的解題方法。例8問(wèn)題1：圖（角ABC中，點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，

AEBC,BFAC

，垂足分別為點(diǎn)E、F、BF交于點(diǎn)接、DE

的為.問(wèn)題：圖1-16（角ABC中

CB

，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)點(diǎn)M三角形ABC的部，且

MACMBC

過(guò)點(diǎn)M分別作

MEMFAC

,足分別為點(diǎn)EF，接DE、，證：DE.問(wèn)題3如圖1-16（c將上面問(wèn)題2中的條CB，其他條件不變，試探究之的量關(guān)系，并證明你的結(jié).解析問(wèn)題

k

的值為1.問(wèn)題證明：如圖1-16（）CBCACAB.MACMBCCABCBA即MBA.MEBC,MFAC垂分別點(diǎn)、F，AFMBEM./AFMBEM,BEMAF.點(diǎn)D是邊的點(diǎn)，.DAF,BEAF,問(wèn)題

DEDF證明：如圖1-16e）示，分別取AMBM的點(diǎn)G、，連接DGFG、、點(diǎn)D、、H分別是AB、、的中點(diǎn)，DG∥BM,DH∥,DG

1BM,DHAM.2四邊形DHMG是平行四DGM.MEBCMF垂分別為點(diǎn)、F.FG

11AMBH.22FGEHGAFGFA.FGM,EHMFAMEBM,EHM,即DGFDHEEHDGEHDDGFHD≌DEDF小試牛刀小試如圖在等腰直角三角形ABC中

，為AC上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEDF,交AB點(diǎn)，交BC于F若AE=4FC=3，求EF的。小試如圖1-18，在正方形ABCD中F是AB點(diǎn)，連接，作DE交BC于，，點(diǎn)E交CF于，求證：AM=AD。小試如圖1-19所，AM證：。

DAE

M是BE的點(diǎn)AB=AC，AD=AE，求小試如圖所，等腰梯形ABCD中

AB∥CD

，

ADBC

，

AC

與BD

交于點(diǎn)，

AOB60

，

P、R

分別是

OA

的中點(diǎn)，求證：是正三角形。小試如圖1-21所

ABC

中

EBC邊中點(diǎn)證：M、Q、M、Q、MNQABD