減少解析幾何運算量的常用策略

22減少解析何運算量的用策略解析幾何是在坐標系的基礎(chǔ)上代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門數(shù)學學科此數(shù)學運算就不可避免地出現(xiàn)在其中果解題時思維的起點與方法選擇的不當不繁瑣就是出錯，因此，運用解題的思維策略，選擇恰當?shù)乃季S起點與方法，以最大限度地減少解析幾何的運算量．回定義定義定是對數(shù)學對象的本質(zhì)性的概括和內(nèi)在規(guī)律的揭示有刻地理解概念的本質(zhì)和定理所揭示的內(nèi)在規(guī)律能靈活運用它來簡化解題過程的題雖可以不依賴于定義，但如能回到定義，則常能使問題獲得簡捷的解法，波利亞就提倡“回到定義例一線被兩直線

l

：

2y

和

l

：

2

截得的線段的中點恰好是坐標的原點．求這條直線的方程．簡析略解：此題的一般求解思路是：先求出

l

分別與

l

1

、

l

2

的交點（用

k

l

表示后利用中點坐標公式求出

k

l

，進而得到

l

的方程，這樣運算量太大．如果我們對直線與方程的定義有深刻的理解，就會自覺地利用定義，并結(jié)合運用設(shè)而不求的技巧來尋求簡捷解法．設(shè)l分與l、l交于點M、，設(shè)M的標為（,y2

有

y1

①又因為M、關(guān)于對，所以點的標為（0①×２＋②，得．

有

②可見

M(xy）l：y1

上，又此直線過原點，由兩點確定一直線知所求直線的方程為

y

．例已

12

分別是橢圓

2ya2

的左右焦點，M是該橢圓上的一動點，MN是MF1

的外角平分線，

QMN于Q，求動點Q的跡方程．y略解：設(shè)Q(x,)，長F和線2交于P，Px，且MPQ所以MPMF，PQFQ，2

M相1MFQ2

．

1

O

M

2

由橢圓的定義得：

FPMFMPMFMF

．

圖１所以

x)

2(2y)2(2

，即

x

2

y

2

2所以，動點

Q

的軌跡方程為

x2y22

．1/8２．設(shè)而不求例３

已知ABC的三個頂點在橢圓

4x

2y

上若AABC重是橢圓的右焦點，求直線

的方程．簡析略解：因A橢圓的短軸的頂點，右焦點F為ABC重心，所以F的坐標與三頂點

,BC

的坐標有關(guān)，故設(shè)

,y),x,11

，則13y13又因為BC在橢圓上，故

12y12421

4

80

④由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ兩點的坐標，再求直線的程．對思維監(jiān)控評價里題的方是正確的通過四個方程來求出四個坐標的運算是比較麻煩的，能否有比較簡單的途徑呢？由③－④得：

4(xy)(y)112

．由題意知：

x012

，將①、②整體代入得

112

，這個正好是直線

的斜率

1212

，而中點坐標M

y12)，即M(3,22

，所以直線

BC

的方程為：

65

(x

．問題之所以得到簡捷地解答，就是用了設(shè)而不求的策略．３．用好對稱數(shù)學中的對稱是廣義的，有幾何圖形的對稱，數(shù)量關(guān)系式結(jié)構(gòu)的對稱，對偶等，用起來比較靈活而解析幾何中的對稱是比較直觀的是靈活運用化為簡化難為易．例４如2直

l

上任取一點

M

過

M

點且以橢圓

xy123的焦點為焦點作橢圓，問當圓方程．

M

在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出具有最短長軸的橢y簡析略解：橢兩焦點為

(1

，

2

，

F'

M作

1

關(guān)于直線

l

的對稱點

F

，要使所作橢圓的長軸2/8

1

O

2

圖最短，即

MF

最短，也就是

最短，故

M

點應(yīng)是直線

F'F

與已知直線

l

的交點，如圖．

xy直線

FF1

的方程為

:y

，由方程組

xy

得點

(

，由中點坐標公式得解方程組

'(9,6)，直線xyxy

F'的方程為:x2得所求M的坐標為（－５，４由于

FF1

，此時橢圓的方程為

4536

．注怎樣能使橢圓的長軸最短？然想到橢圓的定義小――折線段的和最短――三點一直線――尋找對稱點――對變換明的解法找到了對稱能供一種清晰的想象力，這種想像力常能使我們看到并發(fā)現(xiàn)用別的方法也許較難發(fā)現(xiàn)的關(guān)系．４．活用平幾由于解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門數(shù)學學科平幾何的許多知識就能使我們的思路來得直觀明了．例（年國高考試題設(shè)拋物線

y

2px(

的焦點為

，經(jīng)過

的直線交拋物線于AB兩點在物的準線上BC∥x軸明直線AC經(jīng)原點．簡析略證：如圖３，記x軸準線l交Ｅ，過Ａ作l垂足為Ｄ，則AD∥FE∥BC．

lD

y

A連結(jié)，EF交于點N，由平幾知識得：ENCNNF，，ADACBC

EＣ

Ｏ

N

Ｆ

Ｂ

E圖３根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，AFAD，BFBC，所以

EN

ADAB

即

N

是

EF

的中點與拋物線的頂點Ｏ重合，所以直線過原點O．５．巧用向量向量是高中教材的新增內(nèi)容由向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性向量為工具改變了傳統(tǒng)的平面三角、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容的學習體系，使幾何問題徹底代數(shù)化了，使數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的更深刻、更完3/8//線

y

例６（年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）已知點2x交于Ｂ，Ｃ兩點，試判斷的形狀．

(1,2)

，過點

D

的直線與拋物解：設(shè)

B(2t)，C(t,2t)

，

t1

2

，

t1

，

t2

，則有

DBtt

，DCtt2)．∵ＢＣ，Ｄ三點共線，∴

∥

DC

．所以

(t(t25)(22)

＝０

tt12tt1

．又

(21

t2)t1

1,2t＝(21

t

＋(2t(2t2)12＝

(t(2

［

(t(2

＋４］＝０，所以

，故ABC為角三角形．例７

已知圓

C:

22

和兩個定點

(1,0),(1,0)

，點Ｐ為圓Ｃ上的動點，過點Ｐ的圓Ｃ的切線為

l

，點Ａ關(guān)于

l

的對稱點為

A

/

，求

/B

的最大值．分析的規(guī)解法是求點/的跡方程用點間距離公式去求

/

的表達運用點

A

/

的軌跡方程將二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值

/

的最大值．這里所用的純解析法雖然思路很直接，但求出點/的軌跡方程是一個難點，很難突破，并且運算量大，過程繁瑣．而平面向量的幾何計算靈活方便，運用平面向量的運算法則合理安排運算，使問題的解決變得簡潔．

y

A

解：如圖1設(shè)與線l交點Q，接OPOQ

QP由

O

分別為

AB,

'

的中點，

得∥AB，且

/

．

A

B

l又

AA

'

lOPl，OP∥'．圖１設(shè)

(m

，

OP

，則

AQmOP

，PQOQmOP

，4/822由題意得OPPQ，OP０，即OPOAmOP]

＝０，即

OAOP

＝０，得

OPOA4(m

．又

OQOA

＝

OAmOA2OP

2

＝＝１＋

24(1)m

2＝m22

∵

，∴當

時，

2

，∴

．

所以

/

，

此時

AQOP

，點

P

的坐標為（０，

２線程為

y

２，點

A

'

的坐標為（－１，６．利用極坐標例８已橢圓

x2416

，直線

l

：

xy12

．

P

Ｐ是l上點線OP交圓于Ｒ點在上滿足

OR當Ｐ在l上移動時，求點Ｑ的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線年國高考壓軸)解題的策略分析：本題是求動點Ｑ

(,y

的軌跡方程，即找到關(guān)于的式，可以用一般法來解，即設(shè)點Ｑ

(,y

，Ｑ

(,)QQ

，Ｒ

(xy

，再布立方程組來解．但必須看到這里有

x,y

，

y

Q

，

,

六個末知量，這樣，所立的方程組中不下五個方程，因此，即使可解，也該暫緩，看有否別的方法？從條件

OR

知，這是一個與長度與角度有關(guān)的問題故可用參數(shù)法解比較簡單不要就此停步再是否還有別的方法？的確用坐標法來解將會顯得簡捷分辯了方法間的優(yōu)劣之后策層面的問題已經(jīng)解決，但仍不要大意，要繼續(xù)細心分辯，因為在選擇極坐標法來解后，還有個極點選在原點還是在橢圓左焦點的問題關(guān)到極坐標方程是用統(tǒng)一式還是用互化式的問題是個學生用極坐標法來解時常常難以選擇里考慮到

,,OR

都是從原點出發(fā)的線段長度，故選用以坐標原點為極點來解，即不用統(tǒng)一式而用互化式．這樣，分辯清了，簡捷的方法、合理的運算和要運用的知識也就自然擇優(yōu)而定了．７．用好焦半徑公式例９如已知梯形

ABCD中AB=2,點

E

分有向線段

所成的比為雙曲5/8線過、D、三,且以AB為點，當圍(2000年全國高考試題

23≤時，求雙曲線的離心的值范34解題的策略分析一看到這個題不說當年一些普通考生望題興嘆就是一些基礎(chǔ)不錯的考生也沒了頭緒不是于它是一個雙參數(shù)范圍問題且在未知雙曲線方程的情況下來求離心率e的值范圍，再加上大家期望要用上的已知條件：

23≤中34又是大家在日常解題中著實有點感到后怕的“點

E

分有向線段

所成的比時一些有思維策略的學生就有了用武之地：他們首先從審題后看到題設(shè)中無系無方程，因此，用分而治之的策略，從建立坐標系，確立方程的形式入手：如圖以AB的直平分線為軸以所的直線為軸建立直角坐標系xoy則CD軸.因雙曲線過C且以A,B為

A

yo

B

點由雙曲線的對稱性知、D關(guān)軸稱，并設(shè)雙線方程為2—(a＞0,b＞則心率=．a(chǎn)ba在做好這一基礎(chǔ)性工作的前題下如何由圍求e的圍就成了解決本題的思維核心他看到在本題這個雙參問題中e既相制約又在一個矛盾中統(tǒng)一統(tǒng)一在一個方程里，這是考查學生在解題某個階段視哪一個為主元，哪一輔元，而在解題另一個階段，又需要主輔互換，反客為主，真是個考查辯證思維的絕妙押軸題．這雖難，但也正是考生一顯身手，展示自己思維能力的好地方，也是與眾考生一決高下的分水嶺．因此，他們根據(jù)圍已知這一條件，進而確立：先視元再視為元，找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系=

f(e)

，將問題轉(zhuǎn)化歸為已知范圍，再解不等式，由此求出參e的圍這樣一個整體的思路和思維策略．于是，他們先視元找系式：依題意A)

h，E(x)中AB為雙曲線的半焦距2是梯形的高.定比分點公式得：x=

21

=

(c2(1

，y=．16/82222但在如何再視

e

為主元，找出兩個參數(shù)之間的關(guān)

=

f(e)

上，是又一次體現(xiàn)思維水平的層次性和思維策略的重要性．視角一：視點

、

E

為直線ＡＣ與雙曲線的交點，這時，雖能把方程

h

(x)

代入

2—得ab

ba2h)x2ah2cxa2h2a2)

．這一常規(guī)思路雖正確，解題方向也不錯，但要用上這一方程不但難，而且繁，在應(yīng)試的情況下當然應(yīng)另辟蹊徑．思路敏銳的學生在不代前就暫時放棄了．視角二：視點、在曲線上，將C、的標和ee22—42

a

代入雙曲線的方,①e4

2

h()()1

22

=1

②由①得：

h22=—b4

③e2將③式代入②式整理:4

故

=1

3e2

由題設(shè)

2323≤,得≤≤,故得34324

7≤e≤.所以雙曲線的離心率

e

的取值范圍[

7

]．視角三：視、AE為點、到點Ａ的距離由焦半徑公式得：ACc

ea2

，

AEE

e(2c)．2()而

、

AE

同號，從而

AC

AC1

．所以

(c

e

2

231

．由題設(shè)

2323≤得≤≤故得34324

7

≤

e

≤

7/8所以雙曲線的離心率

e

的取值范圍[

]．這里同是

C

、

E

二點，但由于解題思維策略的運用，從