【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨立性檢驗課件 北師大版

(會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量的相關(guān)關(guān)系/了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程/了解獨立檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法簡單應(yīng)用/了解假設(shè)檢驗的基本思想、方法簡單應(yīng)用/了解聚類分析的基本思想、方法簡單應(yīng)用)9.3

變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析及獨立性檢驗1．相關(guān)關(guān)系的量：當(dāng)自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析．3．散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖．4．正相關(guān)與負(fù)相關(guān)概念：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)．如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)．5.

回歸直線：設(shè)所求的直線方程為，其中求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.6．相關(guān)系數(shù)：r＝叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用 它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度．7．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：|r|≤1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越大；且|r|越接近0，相關(guān)程度越?。?．獨立性檢驗：一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為

{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：2×2列聯(lián)表

若要推斷的論述為H1：X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論H1成立的可能性：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(1)通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．①在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大．②在二維條形圖中，可以估計滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)2的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大．”(2)可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：①根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值k0；②利用公式K2＝，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機(jī)變量K2的觀測值k；③如果k＞k0，就以(1－P(K2≥k0))×100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)．1．在對兩個變量x，y進(jìn)行線性回歸分析時有下列步驟： ①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求線性回歸方程；④求相關(guān)系數(shù)；⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖． 如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量x，y具有線性相關(guān)結(jié)論，則在下列操作順序中正確的是() A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③① 答案：D2．對兩個變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是() A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程＝bx＋a必過樣本中心() B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好 D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝－0.9362，則變量y和x之間具有線性相 關(guān)關(guān)系 答案：C3．(2009·寧夏、海南)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u、v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)，由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)．答案：C4．下面是一個2×2列聯(lián)表

則表中a、b處的值分別為() A．94,96B．52,50C．52,54D．54,52 答案：C

y1y2總計x1a2173x222527總計b46判斷兩個變量正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，有三種方法：1．利用散點圖；2．利用相關(guān)系數(shù)r的符號；當(dāng)r＞0時，正相關(guān)；r＜0時，負(fù)相關(guān)；3．在已知兩變量線性相關(guān)時，也可以利用回歸方程＝a＋bx.當(dāng)b＞0時，＝a＋bx是增函數(shù)，兩變量是正相關(guān)，當(dāng)b＜0時，＝a＋bx是減函數(shù)， 兩變量是負(fù)相關(guān)．【例1】山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上對某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)． (1)畫出散點圖； (2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系．施化肥量x15202530354045棉花產(chǎn)量y330345365405445450455思維點撥：用施化肥量x作為橫軸，產(chǎn)量y為縱軸可作出散點圖，由散點圖即可分析是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解答：(1)散點圖如右圖所示， (2)由散點圖知，各組數(shù)據(jù)對應(yīng)點大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系.對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析時，首先要作出散點圖，然后進(jìn)行相關(guān)性檢驗，在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線．

【例2】一臺機(jī)器使用時間較長，但還可以使用．它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機(jī)器運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件)11985(1)對變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗；(2)如果y與x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；(3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個，那么，機(jī)器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？思維點撥：利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(也可利用散點圖)．如果線性相關(guān)，再求回歸直線方程并加以判斷．(2)＝0.7286x－0.8571.(3)要使≤10?0.7286x－0.8571≤10，所以x≤14.9013.所以機(jī)器的轉(zhuǎn)速應(yīng)控制在14.9013轉(zhuǎn)/秒以下．解答：變式2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：

(1)y與x間是否有線性相關(guān)關(guān)系？若有，求出線性回歸方程； (2)估計使用年限為10年時的維修費用．使用年限(x)/年23456維修費用(y)/萬元2.23.85.56.57.0所謂獨立性檢驗，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，先利用三維柱形圖和二維條形圖粗略判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，再利用公式計算K2的值，比較它與臨界值的大小關(guān)系，來判斷事件X與Y是否有關(guān)的問題．【例3】(2009·遼寧)某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表： 甲廠：分組[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)頻數(shù)12638618292614乙廠：(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.分組[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)頻數(shù)297185159766218甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計解答：(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝72%；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為＝64%. 所以有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”

甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320合計5005001000(2)變式3.在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表； (2)畫出二維條形圖； (3)檢驗休閑方式是否與性別有關(guān)，可靠性有多大．解答：(1)2×2列聯(lián)表如圖：休閑方式性別看電視運動合計女432770男213354合計6460124(2)二維條形圖如圖：(3)假設(shè)休閑方式與性別無關(guān)，則K2＝≈6.201＞5.024，所以有理由認(rèn)為休閑方式與性別無關(guān)是不合理的，即我們有97.5%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)．【方法規(guī)律】1．求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a，b，由于a，b的計算量大，計算時應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤．(注意回歸直線方程中一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為a，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同)．2．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：①確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；②根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；③求出回歸直線方程．3．獨立性檢驗是一種假設(shè)檢驗，在對總體的估計中，通過抽取樣本，構(gòu)造合適的隨機(jī)變量，對假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷.

為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績y進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成績.數(shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達(dá)到115分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.【答題模板】(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到b＝＝0.5，a＝100－0.5×100＝50，∴線性回歸方程為＝0.5x＋50.當(dāng)y＝115時，x＝130.建議：進(jìn)一步加強對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進(jìn)一步提高．

【分析點評】1.成績的穩(wěn)定