【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間中的平行關(guān)系課件 北師大版

(認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定/能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題)7.3空間中的平行關(guān)系1．直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；(2)直線和平面

(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面

(沒有公共點)．2．線面平行的判定定理：如果

一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．相交平行平面外的3．線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線

．4．平行平面的定義：如果兩個平面沒有

，那么這兩個平面互相平行．5．平行平面的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條

直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行．平行公共點相交6．推論：如果一個平面內(nèi)有兩條

直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面互相平行．7．平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面

，那么它們的交線平行．8．性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的

平行于另一個平面．相交相交直線1．若P是平面α外一點，則下列命題正確的是()A．過P只能作一條直線與平面α相交B．過P可作無數(shù)條直線與平面α垂直C．過P只能作一條直線與平面α平行D．過P可作無數(shù)條直線與平面α平行答案：D2．已知平面α外不共線的三點A，B，C到α的距離都相等，則正確的結(jié)論是()A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)答案：D3．(2009·江西)如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形， 則下列命題中錯誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成角為45°答案：C4．已知l、m是空間兩條不同直線，α、β是空間兩個不同平面，給出下列四個條件： ①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α內(nèi)存在不共線的三點到平面β的距離相等； ③l、m是平面α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β； ④l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判斷平面α與平面β平行的條件是________．(寫出所有正確條件的序號)解析：①當(dāng)α、β、γ如長方體的三個相交平面時，其兩兩相互垂直，∴不正確；②當(dāng)α、β相交，α內(nèi)兩條平行于交線且關(guān)于交線對稱的直線上所有點到面β的距離相等，∴不正確；③當(dāng)α、β的交線與m、l都平行時，滿足l∥β，m∥β，∴不正確；④l、m為兩異面直線，則可以平移一條直線使其兩直線相交得到一平面γ，l∥α，m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正確．答案：④1.直線與平面平行的判定定理是由線線平行推出線面平行；而直線與平面平行的性質(zhì)定理則是由線面平行推出線線平行，要注意直線與平面平行性質(zhì)定理和判定定理的交替使用．2．由直線與平面平行，可在該平面內(nèi)找到直線的平行線，可通過作輔助平面完成，而直線與平面平行的性質(zhì)定理則是作輔助平面的重要理論依據(jù)．3．證明直線與平面平行可利用空間向量完成，例如可證直線的方向向量與平面的法向量垂直等．【例1】如右圖所示，在空間四邊形ABCD中，截面EFGH為平行四邊形， 試證：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH. 證明：證法一：∵截面EFGH為平行四邊形，∴EH∥FG，根據(jù)直線 與平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH?平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.證法二：如右圖，設(shè)由EFGH為平行四邊形知：m＝λa＋μb，且m＝y(tǒng)b＋zc，∴即m＝μb.∴m∥b，即BD∥EH，因此BD∥平面EFGH.同理AC∥平面EFGH.變式1.(1)如右圖，已知平面α、β，α∩β＝l，直線m∥α，m∥β， 試用向量法證明：m∥l； (2)若a、b為異面直線， 求證：有且只有一個平面經(jīng)過a且與b平行． 證明：(1)如題圖，取基向量a、b、c作為基底，在直線m上取向量m≠0， 由m∥α知，m＝λa＋μc，由m∥β知，m＝xb＋yc， 由空間向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y(tǒng)，

∴m＝μc，即m∥c，因此m∥l.(2)如圖，在直線a上取一點O，過O作b′∥b，則a與b′確定一個平面，設(shè)此平面為α，b∥b′，b?α，b′?α，∴b∥α；假設(shè)存在α、β平面，兩平面都經(jīng)過a，且與b平行，則α∩β＝a，由變式(1)知a∥b，此與a、b異面矛盾.平面平行的判定定理，是利用了線面平行來推證的，即需要找到或證出兩條相交直線平行于另一平面．這是判定兩平面平行的主要方法．還可以通過一些垂直關(guān)系來判定．【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分別是對角線

AC和BF上的點，且AM＝FN. (1)求證：MN∥平面BEC； (2)設(shè)正方形的邊長為a，AM＝FN＝b，求MN的長； (3)若α和β分別表示直線MN和AC及MN和BF所成的銳角，當(dāng)線段MN的長度最短時，計算α和β的度數(shù)．解答：(1)證法一：如右圖①，過點M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，且不難知Rt△AMH∽Rt△ABC.∴.連結(jié)HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，∴.∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC.∴MN∥平面BEC.證法二：如右圖②連結(jié)AN，并延長與BE相交于G，連結(jié)CG.∵AF∥BG，∴△ANF∽△GNB，∴.∵FN＝AM，AC＝BF，∴.∴，則MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一條直線，∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.(2)如圖①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB，

∴MH⊥平面ABEF.而HN?平面ABEF，∴MH⊥HN.從(1)可知HN⊥AB，又由AC為正方形的對角線，可知MH＝AH，Rt△ANH≌Rt△HNM，∴MN＝AN.在△ANF中，AN2＝AF2＋FN22AF·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝，∴MN＝.(3)由(2)可知：MN＝， ∴當(dāng)b＝a時，MN的長度最短．此時可求出α＝β＝60°.【例3】如右圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點，AB＝a. (1)求證：A1D⊥B1C1； (2)求點D到平面ACC1的距離； (3)判斷A1B與平面ADC1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．面面平行需要由線面平行判定，而直線與平面平行問題可以轉(zhuǎn)化為面面平行問題．解答：(1)證法一：∵點D是正△ABC中BC邊上的中點，∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，∴BC⊥平面A1AD.∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.證法二：如右圖所示，

∵三棱柱ABC—A1B1C1為正三棱柱，

∴A1C＝A1B.∵點D是等腰△A1CB的底邊BC的中點，∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.(2)解法一：如右圖，作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的長為點D到平面ACC1的距離，在Rt△ADC中，AC＝2CD＝a，AD＝a，∴所求距離DE＝a.解法二：設(shè)點D到平面ACC1的距離為x，∵

，∴

a2·CC1＝

a·CC1·x，解得x＝a，即點D到平面ACC1的距離是a.(3)直線A1B∥平面ADC1.以下給出證明：證法一：如右圖，設(shè)A1C交AC1于F，則F為A1C的中點．∵D是BC的中點，∴DF∥A1B.又DF?平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.證法二：如右圖，取C1B1的中點D1，則AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B?平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.變式3.如圖ABC—A1B1C1是各棱長均為a的正三棱柱，D是 側(cè)棱CC1的中點． (1)求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1； (2)若O為△ABC的中心，P為BB1上一點，當(dāng)OP∥

平面AB1D時，試確定點P的位置．解答：(1)證明：如圖，取AB1、AB中點分別為E、F，連接DE，EF，CF，則EF綊BB1，又CD綊BB1，則EF綊CD，因此四邊形CDEF為平行四邊形，又面ABC⊥面AA1BB1，則CF⊥面AA1B1B，∴DE⊥面ABB1A1，又DE?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1；(2)由OP∥平面AB1D，F(xiàn)O∥平面AB1D，知平面PFO∥平面AB1D，因此PF∥AB1，又F為AB的中點，所以P為BB1的中點.【方法規(guī)律】

1．在解決直線與平面、平面與平面平行問題的過程中，要特別注意判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用．2．可利用共面向量定理證明直線與平面平行和四點共面等問題3．利用直線和平面平行可進(jìn)行點到平面距離的轉(zhuǎn)化．4．直線與平面平行的判定定理及平面與平面平行的性質(zhì)定理都是極為重要的作圖的理論和依據(jù).

(本題滿分12分)如右圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD＝AA1＝a，AB＝2a.(1)求證：MN∥面ADD1A1；(2)求二面角P—AE—D的大?。獯穑?1)證明：如圖，取CD的中點K，連結(jié)MK、NK.∵M(jìn)、N、K分別為AE、CD1、CD的中點，∴MK∥AD，NK