數(shù)字信號處理復習總結-最終版

緒論：本章介紹數(shù)字信號處理課程的基本概念。0.1信號、系統(tǒng)與信號處理1.信號及其分類信號是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個函數(shù)可以是時間域、頻率域或其它域，但最基礎的域是時域。分類：周期信號/非周期信號確定信號/隨機信號能量信號/功率信號連續(xù)時間信號/離散時間信號/數(shù)字信號按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：2.系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號的物理設備，或者說，凡是能將信號加以變換以達到人們要求的各種設備都稱為系統(tǒng)。3.信號處理信號處理即是用系統(tǒng)對信號進行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、估計、識別等等。所謂“數(shù)字信號處理”，就是用數(shù)值計算的方法，完成對信號的處理。0.2數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計算的方法對信號進行變換和處理。不僅應用于數(shù)字化信號的處理，而且第1頁共60頁也可應用于模擬信號的處理。以下討論模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。（1）前置濾波器將輸入信號xa(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2）A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次xa(t)的幅度，抽樣后的信號稱為離散信號。在A/D變換器中的保持電路中進一步變換為若干位碼。（3）數(shù)字信號處理器（DSP）（4）D/A變換器按照預定要求，在處理器中將信號序列x(n)進行加工處理得到輸出信號y(n)。由一個二進制碼流產(chǎn)生一個階梯波形，是形成模擬信號的第一步。5）模擬濾波器把階梯波形平滑成預期的模擬信號；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號ya(t)。0.3數(shù)字信號處理的特點1）靈活性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對數(shù)字信號可以存儲、運算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標。0.4數(shù)字信號處理基本學科分支數(shù)字信號處理（DSP）一般有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號處理技術——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號處理器——DigitalSignalProcessor。0.5課程內(nèi)容該課程在本科階段主要介紹以傅里葉變換為基礎的“經(jīng)典”處理方法，包括：（1）離散傅里葉變換及其快速算法。（2）濾波理論（線性時不變離散時間系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號，要求信號頻譜占據(jù)不同的頻段）。在研究生階段相應課程為“現(xiàn)代信號處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號對象主要是隨機信號，主要內(nèi)容是自適應濾波（用于分離相加性組合的信號，但頻譜占據(jù)同一頻段）和現(xiàn)代譜估計。簡答題：1．按自變量與函數(shù)值的取值形式是否連續(xù)信號可以分成哪四種類型?2．相對模擬信號處理，數(shù)字信號處理主要有哪些優(yōu)點?3．數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成有哪些？第2頁共60頁第一章：本章概念較多，需要理解和識記的內(nèi)容較多，學習時要注意。1.1離散時間信號1.離散時間信號的定義離散時間信號是指一個實數(shù)或復數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。一般由模擬信號等間隔采樣得到：x(n)xatnTxa(nT)n。時域離散信號有三種表示方法：1）用集合符號表示2）用公式表示3）用圖形表示2.幾種基本離散時間信號（記住定義）1）單位采樣序列2）單位階躍序列第3頁共60頁3）矩形序列4）實指數(shù)序列5）正弦序列ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。對連續(xù)信號中的正弦信號進行采樣，可得正弦序列。設連續(xù)信號為，它的采樣值為，因此（重點）這個式子具有一般性，它反映了由連續(xù)信號采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的一般關系。另外需要說明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。例：已知采樣頻率FT=1000Hz,則序列x（n）=cos(0.4πn)對應的模擬頻率為(400π)弧度/s。說明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關系：。FT（6）復指數(shù)序列復指數(shù)序列是以余弦序列為實部、正弦序列為虛部所構成的一個復數(shù)序列。（7）周期序列(重點)所有n存在一個最小的正整數(shù)N,滿足：x(n)x(nN),則稱序列x(n)是周期序列，周期為N。(注意：按此定義，模擬信號是周期信號，采用后的離散信號未必是周期的)例：正弦序列sin(0n)的周期性：2k當0N2k，k為整數(shù)時，sin[N0(nN)]sin(0n)，即為周期性序列。周期0，式中，k、N限取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)?？煞謳追N情況討論如下：（1）當2/0為整數(shù)時，只要k1，N2/0就為最小正整數(shù)，即周期為2/0。（2）當2/0不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時，設2/0P/Q，式中，P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)（互為素數(shù)就是兩個數(shù)沒有公約數(shù)），取kQ，則NP，即周期為P。（3）當2/0是無理數(shù)時，則任何k皆不能使N為正整數(shù)，這時，正弦序列不是周期性的。例：X(n)=cos(0.4πn)的基本周期為(5)。[說明]基本周期的定義即計算公式：N2k，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時k取值）。本題ω=0.4π，代入上式得到：N5,k1。第4頁共60頁3.信號運算（1）加法：兩個信號之和由同序號的序列值逐點對應相加得到。（2）乘法：兩個信號之積由同序號的序列值逐點對應相乘得到。（3）移位：當，序列右移（稱為延時）；當，序列左移（稱為超前）。（4）翻轉：（5）尺度變換：或，其中M和N都是正整數(shù)。當時，序列是通過取x(n)的每第M個采樣形成，這種運算稱為下采樣。對于序列，定義如下這種運算稱為上采樣。4.信號分解（重點）任一信號x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權和：簡記為1.2時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)定義x(n)T.y(n)y(n)Tx(n)線性系統(tǒng)（重點）判定公式：若y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)]則y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ay1(n)by2(n)第5頁共60頁時不變系統(tǒng)（重點）判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-n0)=T[x(n-n0)]例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時不變系統(tǒng)。（重點）（1）y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)；（2）y(n)x2(n)；解：y'(n)x(nn)2x(nn1)3x(nn2)（1）令：輸入為x(nn0)，輸出為000n)x(nn)2x(nn1)3x(nn2)y'(n)y(n0000故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ax1(n)bx2(n)2(ax1(n1)bx2(n1))3(ax1(n2)bx2(n2))T[ax1(n)]ax1(n)2ax1(n1)3ax1(n2)T[bx2(n)]bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2)T[ax1(n)bx2(n)]aT[x1(n)]bT[x2(n)]故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）y(n)x2(n)令：輸入為x(nn0)，輸出為y'(n)x2(nn0)，因為y(nn0)x2(nn0)y'(n)故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為T[ax1(n)bx2(n)](ax1(n)bx2(n))2aT[x1(n)]bT[x2(n)]ax12(n)bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)（LTI或者LSI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關系（重點）：h(n)T[(n)]第6頁共60頁y(n)x(m)(nm)my(n)T[x(m)(nm)]my（n）=x(m)h(nm)=x（n）*h（n）m重點：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應的卷積【說明】離散時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應h(n)為系統(tǒng)對單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應。單位沖激響應的概念非常重要。在時域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應h(n)唯一確定，因此，我們常常用單位沖激響應描述LTI系統(tǒng)。在這種情況下，LTI系統(tǒng)的輸入輸出關系可以由卷積運算描述：y（n）=m

x(m)h(nm)=x（n）*h（n）物理意義：卷積和運算具有顯式意義，即可以用來確定系統(tǒng)的輸出。如果系統(tǒng)確定，則其單位沖激響應是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對任意輸入的響應。注意：計算卷積和的關鍵是求和區(qū)間的確定。因此，常常需要繪制序列x(m)和h(n-m)的圖形。利用序列x(m)和h(n-m)的圖形可助我們方便地確定求和區(qū)間。卷積的求解方法（重點）：線性卷積是一種非常重要的一種運算，對它的求解，一般我們采用作圖法。線性卷積滿足交換律，設兩序列長度分別是N和M，線性卷積后序列的長度為N＋M－1。卷積的計算過程包括翻轉、移位、相乘、相加四個過程。1）將和用和表示，畫出和這兩個序列；2）選擇一個序列，并將其按時間翻轉形成序列；3）將移位n，得到；4）將和相同m的序列值對應相乘后，再相加。例：設x(n)n,0≤n≤4，h(n)4,x(n)和h(n)如圖1所示。求x(n)和h(n)的卷積y(n)。（重R(n)點）x(n)R4(n)4n1n012340123圖1解方法一：用圖解法求卷積和。(1)將x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示(圖2中(a)、(b)圖)。第7頁共60頁x(m)4R4(m)R4(m)mmm012340123-3-2-10(a)(b)(c)R4(1m)R4(2m)-2-101mmy(n)-101210(d)(e)R4(5m)mn01234501234567(f)(g)圖2圖解法求卷積過程(2)將h(m)進行反折，形成h(m)(圖2中(c)圖)；將h(m)移位n，得到h(nm)(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。(3)將x(m)和h(nm)相同m的序列值相乘，再相加，得到y(tǒng)(n)(圖2中(g)圖)。y(n)1,3,6,10,9,7,41≤n≤7再討論解析法求線性卷積。用式y(tǒng)(n)x(m)h(nm)m求解上式首先要根據(jù)x(m)和h(nm)的非零值區(qū)間確定求和的上下限，x(m)的非零值區(qū)間為1≤m≤4，h(nm)的非零值區(qū)間為0≤nm≤3，或n3≤m≤n，由兩個非零值區(qū)間可得n的取值區(qū)間為1≤n≤7，它們的乘積x(m)h(nm)的非零值區(qū)間應滿足：1≤m≤4和n3≤m≤n因此當n1、n7時，y(n)0；nn(n1)y(n)m12當1≤n≤3時，m0；4(n1)(8n)y(n)m1當4≤n≤7時，2。mn3與圖解法結果一致。y(n)用公式表示為第8頁共60頁n(n1)/21≤n≤3y(n)(n1)(8n)/24≤n≤70其他方法二：當序列x(n)和h(n)的長度分別為有限長N和M時，可采用“不進位乘法”求兩序列線卷積。x(n)0,1,2,3,4h(n)1,1,1,1如圖1所示：，y(n)0,1,3,6,10,9,7,4例：兩線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位取樣響應分別為h1(n)和h2(n)，輸入為x(n)，求系統(tǒng)的輸出y(n)。已知：x(n)u(n)，h1(n)(n)(n4)，h2(n)anu(n)。解：設第一個系統(tǒng)的輸出為(n)，則(n)x(n)h1(n)u(n)[(n)(n4)]u(n)u(n4)＋(n1)＋(n＋(n)2)(n3)因而輸出為y(n)(n)h2(n)[(n)(n1)(n2)(n3)]anu(n)anu(n)an1u(n1)an2u(n2)an3u(n3)系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若|x(n)|，則|y(n)|（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：n

|h(n)|(系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應絕對可和)（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（記住!!）第9頁共60頁2)因果系統(tǒng)：n0時刻的輸出y(n0)只由n0時刻之前的輸入x(n),nn0決定（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)0,n0（記住!!）因果系統(tǒng)的單位脈沖響應必然是因果序列。（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（記住!!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：n

|h(n)|，h(n)0,n0（記住!!）或：H(z)的極點在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿足：|z|Rx,Rx1（記住!!）例：判斷線性時不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出依據(jù)。（重點）(1)y(n)1N1x(nk)；Nk0nn0（2）y(n)x(k)；knn0解：（1）只要N1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。如果x(n)M，則y(n)M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。nn0（2）如果x(n)M，y(n)x(k)2n01M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，knn0因為輸出還和x(n)的將來值有關。注意：如果給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！例：設某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應為h(n)anu(n)（a為實數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點）解：討論因果性：因為n0時，h(n)0，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。討論穩(wěn)定性：1a1h(n)ann1aann0n0a1∵∴當a1時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：設某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應為h(n)anu(n1)（a為實數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點）解：討論因果性：因為n0時，h(n)0，所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。討論穩(wěn)定性：第10頁共60頁n1111ah(n)ana()na1nnn1n1aa1∵∴當a1時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.3線性常系數(shù)差分方程差分方程定義卷積和是一種LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型，一般情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出NM關系。aky[nk]bkx[nk]k0k0差分方程給出了系統(tǒng)響應y[n]的內(nèi)部關系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。差分方程求解○1經(jīng)典法○2遞推法○3變換域法（參見下章z域變換）（重點）例：設系統(tǒng)的差分方程為y(n)0.5y(n1)1.5x(n)，輸入序列為x(n)(n)，求輸出序列y(n)。解：一階差分方程需一個初始條件。設初始條件為：y(1)0則y(0)0.5y(1)1.5x(0)1.5y(1)0.5y(0)1.5x(1)0.75y(2)0.5y(1)1.5x(2)0.375y(n)1.5(0.5)nu(n)設初始條件改為：y(1)1則y(0)0.5y(1)1.5x(0)2y(1)0.5y(0)1.5x(1)1y(2)0.5y(1)1.5x(2)0.5y(n)2(0.5)nu(n)該例表明，對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。幾點結論（重點）（1）對于實際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個因果解。但對第11頁共60頁于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進行限制。2）一個線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入x(n)=0(n<n0)時，則輸出y(n)=0(n<n0)，系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。1.4模擬信號數(shù)字處理方法模擬信號數(shù)字處理框圖xa(t)：模擬信號輸入預濾波：目的是限制帶寬（一般使用低通濾波器）○1采樣：將信號在時間上離散化A/DC：模/數(shù)轉換○2量化：將信號在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值）○3編碼：將幅度值表示成二進制位（條件fs2fc）數(shù)字信號處理：對信號進行運算處理D/AC：數(shù)/模轉換（一般用采樣保持電路實現(xiàn)：臺階狀連續(xù)時間信號在采樣時刻幅度發(fā)生跳變）平滑濾波：濾除信號中高頻成分（低通濾波器），使信號變得平滑ya(t)：輸入信號經(jīng)過處理后的輸出信號2．連續(xù)信號的采樣對連續(xù)信號進行理想采樣，設采樣脈沖，則采樣輸出在討論理想采樣后，信號頻譜發(fā)生的變化時，可遵循下面的思路：1）由；2）由；3）根據(jù)頻域卷積定理，由計算出。計算過程：第12頁共60頁1）2）周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此其中系數(shù)所以其傅里葉變換3）因此，采樣后信號頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時幅度為原來的1/T倍。這是一個非常重要的性質，應熟練掌握。時域抽樣定理（重點）一個限帶模擬信號xa(t)，若其頻譜的最高頻率為F0，對它進行等間隔抽樣而得x(n)，抽樣周期為T，或抽樣頻率為Fs1/T；只有在抽樣頻率Fs2F0時，才可由xa(t)準確恢復x(n)。例：有一連續(xù)信號xa(t)cos(2ft),式中，f20Hz,2（1）求出xa(t)的周期。（2）用采樣間隔T0.02s對xa(t)進行采樣，試寫出采樣信號%xa(t)的表達式。（3）求出對應x%a(t)的時域離散信號(序列)x(n)，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)周期為T10.05sf第13頁共60頁^(tnT)fnT)(tnT)(T0.05s)（2）x(t)x(t)cos(2nn（3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故225，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)0.82簡答題：（重點）1．是不是任意連續(xù)信號離散后，都可從離散化后的信號恢復出原來的信號？為什么？2．一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想采樣以后，其頻譜會產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會產(chǎn)生失真？3．說明時域采樣定理的要點？4．離散信號頻譜函數(shù)的一般特點是什么？5．畫出模擬信號數(shù)字處理框圖。并說明各部分的作用。名詞解釋：（重點）時域采樣定理線性系統(tǒng)、時不變系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)第14頁共60頁第二章：本章涉及信號及系統(tǒng)的頻域分析方法，概念較多，但很基礎，學習時要注意。2.1序列的傅里葉變換的定義及性質1.定義DTFT是一個用來確定離散時間序列頻譜的重要數(shù)學工具。物理意義：傅里葉變換是將對信號的時域分析轉換為對其在頻域的分析，便于研究問題。若序列滿足絕對可和條件則其離散時間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里葉變換）定義為X(ej)x[n]ejn------（記住!!）n反變換定義為：x[n]1X(ej)ejnd------2傅里葉變換對例：設x(n)R4(n)，求其序列傅里葉變換。（重點）解第15頁共60頁jx(n)ejnjnX(e)DTFT[x(n)]RN(n)ennN1jNjN/2ejn1eeen01ejej/2eNsinN12ej2sin2當N4時

jN/2ejN/2j/2ej/2X(ej)sin2e3jsin/2(2-5)j2.1所示。X(e)的幅度和相位隨變化曲線如圖41arg[X(e)]20或X(ej)sin(4/2)sin(/2)x(n)1n0123arg[X(ej)]X(ej)42002圖2.1R4(n)的幅度與相位曲線例：試求如下序列的傅里葉變換：（重點）（1）x1(n)(nn0)（2）x2(n)1(n1)(n)1(n1)22（3）x3(n)anu(n2),0a1（4）x4(n)u(n3)u(n4)解：X1(ej)(nn0)ejnejn0（1）nX2(ej)x2(n)ejn1ej11ej1jsin（2）n22X3(ej)anu(n2)ejnanejna2e2j，0a1（3）nn21aej第16頁共60頁333（4）X4(ej)u(n3)u(n4)ejnejnejnejnnn3n0n1e1e

4j

e1e

1ej31ejej=

j7sin7jej321sin22.性質1）周期性（重點）：DTFT是關于ω的周期為2π的周期函數(shù)。X(ej)x(n)ej(2M)nX(ej(2M))M為整數(shù)nX1(ej)FT[x1(n)]，X2(ej)FT[x2(n)]，那么2)線性（重點）：設FT[ax1(n)bx2(n)]aX1(ej)bX2(ej)3）時移特性（重點）4）頻移特性5）時域卷積定理（重點）6）頻域卷積定理7）帕斯瓦爾定理時域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。X(ejω)的實部為ω的偶函數(shù)，X(ejω)的虛部為ω的奇函數(shù)。對稱關系的總結（重點）：如果x[n]為復數(shù)序列，其DTFT為X(ejω),(a)x[n]實部的DTFT為X(ejω)的共軛對稱部分-----------xre[n]Xcs(ej)1X(ej)X*(ej)2(b)x[n]虛部的DTFT為X(ejω)的反共軛對稱部分-----------xim[n]Xca(ej)1X(ej)X*(ej)2第17頁共60頁(c)x[n]的共軛對稱部分的DTFT為X(ejω)的實部-----------xcs[n]1x[n]x*[n]Xre(ej)2(d)x[n]的反共軛對稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部-----------xca[n]1x[n]x*[n]jXim(ej)2如果實序列x[n]的DTFT為X(ejω),(e)x[n]的偶對稱部分的DTFT為X(ejω)的實部，-----------xev[n]1x[n]x[n]Xre(ej)2(f)x[n]的奇對稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部，-----------xod[n]1x[n]x[n]jXim(ej)2例：設系統(tǒng)的單位取樣響應h(n)anu(n),0a1，輸入序列為x(n)(n)2(n2)，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；（2）分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。（重點）解：（1）y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]anu(n)2an2u(n2)X(ejw)[(n)2(n2)]ejwn12ej2wn（2）H(ejw)anu(n)ejwnanejwn11nn0aejwY(ejw)H(ejw)gX(ejw)12ej2w1aejw2.2時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系：^X(ejT1Xa(jjks)2X(ejT)s2Fs)Xa(j)Tk式中T2.3序列的Z變換Z變換定義(重點)Z變換為離散時間信號與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學工具。給定一離散時間序列x(n)，其z變換定義第18頁共60頁為：X(z)x(n)znRxzRx------（記住!!）k其中，zes,sj。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為收斂域(ROC)。注意：Z變換+不同收斂域對應不同收斂域的不同序列唯一序列（Z變換+收斂域）(重點)例：求以下序列的Z變換及收斂域：（重點）1）2nu(n)；（2）2nu(n1)；（3）2n[u(n)u(n10)]解：（1）ZT[2nu(n)]2nu(n)zn2nzn11z1,z1nn0122ZT[2nu(n1)]2nu(n1)zn2nzn2nzn（2）nn1n12z1112z121z1,z29ZT[2nu(n)u(n10)]2nzn（3）n01210z10z121z1,0[說明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換?？梢岳肵(ej)X(z)zej。2Z變換和DTFT之間的關系(重點)jDTFT為單位圓上的z變換。數(shù)學表達為：X(e)X(z)zej------記住并理解!序列特性與X(z)的收斂域ROC的關系。(重點)收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質而定。同時，也只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。一般來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：Rx|z|Rx總結：a.ROC不包含任何極點。b.有理z變換的收斂域ROC由其極點界定。第19頁共60頁c.對于有限長序列x[n],其z變換的收斂域ROC為整個z-平面，可能在z=0或z=∞除外。只有序列為(n)時，收斂域是整個Z平面。d.對于右邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點最遠的極點確定，其形式為zRx。e.對于左邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點最近的極點確定，其形式為zRx。f.對于雙邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC環(huán)狀收斂域，，其形式為公共收斂域RxzRx。Z反變換(重點)常用序列的Z變換(重點--記住!!)：Z[(n)]1,|z|01Z[u(n)]1z1,|z|1Z[anu(n)]11,|z||a|az1Z[bnu(n1)]11,|z||b|bz1逆變換x(n)1j?X(z)zn1dzx，C：收斂域內(nèi)繞原點逆時針的一條閉合曲線c留數(shù)定理：x(n)[X(z)zn1在C內(nèi)極點留數(shù)之和]留數(shù)輔助定理：x(n)[X(z)zn1在C外極點留數(shù)之和]第20頁共60頁利用部分分式展開：X(z)Ak，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點)1akz1基本要求：用部分分式展開法求z反變換。(重點)例：假設X(z)11，收斂域ROC為0.3z0.5,則X(z)的z反變換0.5z110.3z11為((0.5)nu(n1)(0.3)nu(n))。（重點）說明：本題要求掌握序列的時域特性域z變換收斂域之間的對應關系。具體說，有限長序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。nu(n1)1ROC:z典型序列的z變換表達式是否記住了？1z1這兩個典1nu(n)z1ROC:z1型z變換對，對求z變換或逆z變換非常重要。X(z)

zz例：已知z0.5z2，試求與X(z)對應的所有可能的序列x(n)。（重點）解：同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應的序列也不同。本題沒有給定收斂域，所以必須先確定收斂域。X(z)有兩個極點：z10.5，z22，因為收斂域總是以極點為邊界，所以收斂域有以下三種情況：z0.5，0.5z2，z2，三種收斂域對應三種不同的原序列，分別討論如下：（1）z0.5對應左邊序列∴x(n)0.5nu(n1)2nu(n1)（2）0.5z2對應雙邊序列∴x(n)0.5nu(n)2nu(n1)（3）z2對應右邊序列∴x(n)0.5nu(n)2nu(n)X(z)1(12z1)(10.5z1)z2，用部分分式展開法求逆Z變換。（重點）例：設解：先去掉z的負冪次，以便于求解，將X(z)的分子分母同乘以z2，得：z2X(z)0.5)(z2)(zX(z)zA1A2將等式兩端同時除以z，得：z(z2)(z0.5)z2z0.5第21頁共60頁A1X(z)(zX(z)z4Res[,2]2)(z2)zzz2(z2)(z0.5)z23A2X(z)(z0.5)X(z)(z0.5)z1Res[,0.5]zz0.52)(z0.5)z23z(z4z1zX(z)23z0.5因而得：3zx(n)42nu(n)10.5nu(n)由收斂域知，x(n)為右邊序列，得：33主要應用于單階極點的序列。Z變換的性質○線性性質(重點)M(z)ZT[m(n)]mm1aX(z)bY(z)RzR○2序列的移位性質(重點)X(z)ZT[x(n)]RxzRxZT[x(nn0)]zn0X(z)RxzRx3序列乘以指數(shù)序列的性質(重點)○X(z)ZT[x(n)]RxzRxy(n)anx(n)a為常數(shù)Y(z)ZT[anx(n)]X(a1z)aRxzaRx○X(z)ZT[x(n)]xzx4序列乘以n的ZTRRZT[nx(n)]zdX(z)RxzRxdx○X(z)ZT[x(n)]xzx5復共軛序列的ZTRRZT[x*(n)]X*(z*)RxzRx○6初值定理X(z)ZT[x(n)]x(0)limX(z)z第22頁共60頁○終值定理limx(n)lim(z1)x(z)7zz1○8時域卷積定理(重點)設(n)x(n)*y(n)X(z)ZT[x(n)]RxzRxY(z)ZT[y(n)]RxzRx則W(z)ZT[(n)]X(z)Y(z)RwzRw○X(z)xzx9復卷積定理ZT[x(n)]RRZT[y(n)]Y(z)RyzRy(n)x(n)y(n)W(z)21j?cX()Y(z)dRxRyzRxRy○X(z)xzx10帕斯維爾定理ZT[x(n)]RRZT[y(n)]Y(z)RyzRyRxRy1，RxRy1那么x(n)y*(n)21cX()Y*(1*)1dnj?2.4離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應系統(tǒng)函數(shù)定義（重點）一個線性時不變離散時間系統(tǒng)在時域中可以用它的單位取樣響應h(n)來表征，即：y(n)x(n)h(n)對等式兩邊取Z變換并根據(jù)時域卷積定理，有：Y(z)X(z)H(z)Y(z)H(z)一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)零狀態(tài)響應的則：X(z)Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復頻域特性。第23頁共60頁系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關系aky(nk)bkx(nk)(給定差分方程，能計算其系統(tǒng)函數(shù)，或給定系統(tǒng)函數(shù)，能計算得到k0k0差分方程。)（重點）頻率響應（重點）頻率響應是一個重要的概念，根據(jù)頻率響應，可理解濾波。頻率響應定義為系統(tǒng)單位沖激響應的DTFT：H(ej)h[n]ejnH(ejj)ejH(e)（重點）n其中，|H(ejω)|稱為幅頻響應，H(ej)稱為相頻響應。系統(tǒng)的頻率響應是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，這一點和連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應是不同的，學習時應加以注意。若h(n)為實數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應在區(qū)間內(nèi)是偶對稱的，而相位響應是奇對稱的。注意：僅當穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應。頻率響應H(ejω)可根據(jù)DTFT與z變換之間的關系簡單得到：jjX(e)X(z)zejH(e)H(z)zej穩(wěn)態(tài)響應的求解結論：對于LTI系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列x(n)=cos(ω00則輸出響應y(n)必為相同形式的正弦序t+φ),列，但需在ω=ωjωH(ej)在ω=ω0的值進行移位，0的幅頻響應|H(e)|進行加權，并通過相頻響應即：y[n]=|H(ejω000j0)))|cos(ωt+φ+H(e例：假設實序列x[n]的DTFT記為X(ej),則其幅值X(ej)是關于ω的（偶函數(shù)）。說明：還記得反復強調(diào)的一句話，實序列的DTFT的幅度、實部是關于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關于頻率ω奇函數(shù)。例：對于一LTI離散時間系統(tǒng)其頻率響應H(ej)1,如果系統(tǒng)輸x(n)=cos(n),響應10.5ej3的穩(wěn)態(tài)輸出響應y(n)=(1.15cos(n0.52))。3H(ej)H(ej)ejH(ej)說明：將系統(tǒng)的頻率響應寫成幅度相位表達式：，則輸出信號為：第24頁共60頁jjy[n]H(e3)cos(nH(e3))3。這里由于給出了H(ej)的具體表達式，所以需要分別計算jH(e3)j出和H(e3)之值。用系統(tǒng)函數(shù)極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點）MY(z)bizii0（傳輸函數(shù)H(z)為系統(tǒng)的單位沖激響應h（n）的Z變換。）系統(tǒng)函數(shù)：H(z)MX(z)aizik01)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若|x(n)|，則|y(n)|線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：|h(n)|n或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（牢記此結論!）2)因果系統(tǒng)：n0時刻的輸出y(n0)只由n0時刻之前的輸入x(n),nn0決定線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)0,n0或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（牢記此結論!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：|h(n)|，h(n)0,n0n或：H(z)的極點在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿足：|z|Rx,Rx1（牢記此結論!）例：.一因果LTI離散時間系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)1n10.5z1,則系統(tǒng)的單位沖激響應為(0.5u（n）)。說明：根據(jù)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應，其實就是將傳遞函數(shù)進行逆z變換，但要注意系統(tǒng)的因果性如何。1例：因果IIR離散時間LTI系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)H(z)10.5z

，則系統(tǒng)(穩(wěn)定)。例：一FIR離散時間LTI系統(tǒng)總是(穩(wěn)定)。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域如果包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果你熟悉了序列的z變換的ROC的性質，則此題不難回答。對于因果系統(tǒng)來說，其單位沖激響應為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的整個區(qū)域。而這個圓就位于離原點最遠的極點上，所以，對于因果系統(tǒng)，如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應是一個有限長序列，其z變換的ROC為除了無窮遠和原點之外的第25頁共60頁整個z平面，自然包括單位圓，所以FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點及極點確定MMMbizi(1ziz1)(zzi)zMX(z)i0Ai1Ai1NNNakzk(1zkz1)(zzk)zNk0k1k1（式中，zk是極點，zi是零點；在極點處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應包括極點。）系統(tǒng)函數(shù)H（z）的極點位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點位置主要影響頻響的谷點位置及形狀。例：設一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)x(n)ay(n1)，0a1，用幾何法分析其幅頻特性。（重點）解：對差分方程兩邊取Z變換，得：Y(z)X(z)az1Y(z)系統(tǒng)函數(shù)為：左所示：

Y(z)1zH(z)1az1zaza，極點為za，零點為z0，如下圖X(z)當0時，由于極點矢量長度最短，幅頻特性出現(xiàn)峰值，隨著的增加，幅度逐漸減小，當時，由于極點矢量長度最長，幅頻特性出現(xiàn)谷值，隨著的增加，幅度逐漸增大，直到2時，幅頻特性出現(xiàn)峰值，如上圖右所示。簡答題：（重點）1.說明有限長序列、左邊序列、右邊序列、雙邊序列的概念和收斂域各是什么？2.說明系統(tǒng)頻率響應的概念？系統(tǒng)的頻率響應和系統(tǒng)函數(shù)是什么關系？（單位圓上（zej）的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應）說明FIR系統(tǒng)為什么始終是穩(wěn)定的？怎樣在z域表示離散時間LTI系統(tǒng)?答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時間LTI系統(tǒng)。第26頁共60頁第三章：DFT是為適應計算機分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點章節(jié)。前言信號處理中會遇到幾種信號形式：（1）連續(xù)周期信號（2）連續(xù)非周期信號（3）離散非周期信號（4）離散周期信號(重點)各種信號在時域和頻域之間總的來說都是傅里葉變換，但具體形式及應用是不同的。1．連續(xù)周期信號——傅里葉級數(shù)（FS）~連續(xù)周期信號x(t)可展開成傅里葉級數(shù)：~cnejn0tx(t)（*）n20~T0T0式中，，為x(t)的周期。cn1T0/2傅里葉級數(shù)的系數(shù)為：T0T0/2

~jn0tdtx(t)e幅度頻譜是指各次諧波的振幅隨頻率的變化關系，即：cn~(n0)時域頻域連續(xù)時間、周期非周期、離散頻率2．連續(xù)非周期信號——傅里葉變換（FT）第27頁共60頁連續(xù)非周期信號x(t)的傅里葉變換為：X(j)x(t)ejtdt20T00)變成因為非周期可視為，則離散頻譜間距T0，則X(j的連續(xù)函數(shù)。時域頻域連續(xù)時間、非周期非周期、連續(xù)頻率3．離散非周期信號——序列的傅里葉變換（DTFT）X(ej)x(n)ejnn如果把序列看成連續(xù)時間信號的采樣，采樣間隔為T，則數(shù)字頻率和模擬角頻率的關系為T，且x(n)x(nT)，代入上式，得：X(ejT)x(nT)ejnTn時域頻域離散時間、非周期周期、連續(xù)頻率4．離散周期信號——離散傅里葉級數(shù)（DFS）~N的周期序列，即：~~rN)r為任意整數(shù)設x(n)是周期為x(n)x(n表3.1四種傅里葉變換形式的歸納一般規(guī)律：一個域的離散對應另一個域的周期延拓，一個域的連續(xù)必定對應另一個域的非周期。(重點)3.1離散傅里葉級數(shù)1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）說明：離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。第28頁共60頁連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。周期為N的復指數(shù)序列的基頻序列為次諧波序列為由于，即，因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有N個是獨立的。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時，我們只能取N個獨立的諧波分量，通常取k=0到(N-1)，即*）式中，1/N是習慣上采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。利用將（*）式兩端同乘以，并對一個周期求和即由于所以也是一個以N為周期的周期序列。因此，時域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍然是一個周期序列。稱為離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。令，則其中，符號DFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。例：設x(n)R4(n)，將x(n)以N8~~為周期進行周期延拓，得到周期序列x(n)，求x(n)的DFS。解：第29頁共60頁~7~2knX(k)＝x(n)ejn03j4knen01ejk441ejk41ejk1ejk4jkjkejke2(e22)jkjkejke8(e88)j3ksin2ke8sin8k其幅度特性為：2.周期序列的傅里葉變換思路：由利用和DTFT的頻移特性，可得第30頁共60頁傅里葉變換時域、頻域對應關系：根據(jù)序列的傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)頻域特性，再結合連續(xù)時間信號的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時、頻域的一般對應關系：連續(xù)→非周期，離散→周期。這種對應關系很重要，要求熟記(重點)。3.2有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)說明：(DiscreteFourierTransform，DFT離散傅里葉變換)定義(重點)N1x(n)WNkn，0≤k≤N1------（記住!!）X(k)DFT[x(n)]{DFS[x(nN)]}RN(k)n0x(n)IDFT[X(k)]{IDFS[X(kN)]}RN(n)1N1X(k)WNkn，0≤n≤N1------Nk0記住!j2其中，WNeN應當注意，雖然x(n)和X(k)都是長度為N得有限長序列，但他們分別是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，周期為N的周期序列xp(n)可以看成長度為N的有限長序列x(n)周期延拓的結果。本質上是做DFS或IDFS，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時更要注意。(重點)DFT的隱含周期性：WNkWNkmNk,m為整數(shù)，N為自然數(shù)(重點)例：設x(n)R4(n)，求x(n)的4點DFT。(重點)解：x(n)的4點離散傅里葉變換為：N1j2kn3j2j3sin(k)X(k)Nknkx(n)ee4e4n0n0sin(k)k0,1,2,34第31頁共60頁以N4為周期將x(n)延拓成周期序列，得~x(n)：~N1~j2323X(k)x(n)eknejknejkn0n0其離散傅里葉級數(shù)為：

sin(k)sin(k)4例：設x(n)R4(n)，求x(n)的8點DFT。(重點)解：x(n)的8點離散傅里葉變換為：N1j23j2j3X(k)knknkx(n)eNe8e8n0n0

sin(k)2sin(k)8k0,1,2,,7第32頁共60頁以N8為周期將x(n)延拓成周期序列，得~x(n)：其離散傅里葉級數(shù)為：N1jkn3jknjksin(k)~~2232Ne8e8X(k)x(n)en0n0sin(k)8由例可見，離散傅里葉變換的結果與變換區(qū)間長度N的取值有關。離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關系(重點)X(k)X(j)|2kX(z)|Nze

j2kNDFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間[0,2]上的等間隔采樣。X(k)為第33頁共60頁X(z)在Z平面單位圓上的N點等間隔采樣。時域分析記住結論：時域抽樣對應頻域的周期拓展，頻率抽樣對應時域的以周期N的周期拓展。y(n)x(nmN)這可以表述為如下公式：m3.3離散傅里葉變換的基本性質線性性質若y(n)ax1(n)bx2(n)則Y(k)DFT[y(n)]aX1(k)bX2(k)循環(huán)移位性質設x(n)是長度為M的有限長序列，則x(n)的N點循環(huán)移位定義為（NM）：y(n)x((nm))NRN(n)循環(huán)移位的實現(xiàn)步驟：序列點數(shù)M不夠時補零，補到所需點數(shù)Nx(n)(補充N-M個零點)將x(n)以N為周期延拓為周期序列~x(n)x((n))N移位~x(nm)x((nm))N取主值序列y(n)x((nm))NRN(n)循環(huán)卷積定理（重點）1）設序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點循環(huán)卷積定義為第34頁共60頁L1yc(n)[h(m)x((nm))L]RL(n)m0式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max［N，M］。2)循環(huán)卷積矩陣y(0)cx(0)x(L1)x(L2)Lx(1)h(0)y(1)cx(1)x(0)x(L1)Lx(2)h(1)y(2)c＝x(2)x(1)x(0)Lx(3)h(2)MMMMOMMy(L1)cx(L1)x(L2)x(L3)Lx(0)h(L1)特點：（1）第1行是序列{x(0),x(1),,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長度M<L，則需要在x(n)末尾補L－M個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別線性卷積：翻折—>乘加—>移位：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）循環(huán)卷積：補零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對應值相加例：計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點和8點循環(huán)卷積。（重點）yc(0)1432110yc(1)2143110yc(2)3214110解：按照循環(huán)卷積矩陣寫出h(n)與x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為yc(3)4321110yc(0)1000043211yc(1)2100004313yc(2)3210000416yc(3)43210000110yc(4)0432100009yc(5)0043210007yc(6)0004321004h(n)與x(n)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為yc(7)0000432100【補充】①計算h(n)與x(n)的線性卷積？②哪一種情況下計算的循環(huán)卷積結果就等于線性卷積？【說明】當循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結果就等于線性卷積。假設h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M。循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N＋M－1。（重點）3）時域循環(huán)卷積定理設h(n)和x(n)的長度分別為N和M，其L點循環(huán)卷積為L1yc(n)h(n)○x(n)h(m)x((nm))LRL(n)Lm0第35頁共60頁H(k)DFT[h(n)]L0kL1且DFT[x(n)]LX(k)則由DFT的循環(huán)卷積定理有Yc(k)DFT[yc(n)]LH(k)X(k)0kL14復共軛序列的DFT性質：設x*(n)是x(n)的復共軛序列，長度為N，X(k)DFT[x(n)]N，則DFT[x*(k)]NX*(Nk)0kN1例：給定一16-點實序列x（n）,其16-點DFT記為X(k),已知X(13)=2+j3,則X*(3)=(2+j3)。說明：DFT的性質。實序列的DFT的共軛對稱性：X(k)＝X*(N-k)，或X(N-k)＝X*(k)。DFT的共軛對稱性（重點）可總結出DFT的共軛對稱性質：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j。3.4頻域采樣定理離散傅里葉變換相當于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機計算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個很吸引人的問題。我們考慮一個任意的絕對可和的序列x(n)，它的z變換為如果對X(z)單位圓上進行等距離采樣現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。為了弄清這個問題，我們從周期序列開始第36頁共60頁由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時域周期為頻域采樣點數(shù)N。在第一章我們看到，時域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限長的，則時域周期延拓時，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差。對于長度為M的有限長序列，只有當頻域采樣點數(shù)N大于或等于序列長度M時，才有即可由頻域采樣值X(k)恢復出原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點）1zNN1X(k)X(z)1Wkz1內(nèi)插公式：Nk0N3.5DFT的應用舉例1.用DFT計算線性卷積(重點)用循環(huán)（周期）卷積計算有限長序列的線性卷積(重點)對周期要求：NN1N21（N1、N2分別為兩個序列的長度）(記住!!)2.用DFT進行譜分析的誤差問題(重點)（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。（2）截斷效應任何帶限信號都是非時限的，任何時限信號都是非帶限的。實際問題中遇到的離散時間序列可能是非時限的、無限長序列，在對該序列利用DFT進行處理時，由于作DFT的點數(shù)總是有限的，因此就有一個必須將該序列截斷的問題。序列截斷的過程相當于給該序列乘上一個矩形窗口函數(shù)RN(n)。如果原來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截斷后有限長序列的頻譜為第37頁共60頁截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面：①頻譜泄露：由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在進行DFT時，由于取無限個數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時域截斷是必然的，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。②譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱譜間干擾)，特別是強信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強信號譜的旁瓣誤認為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。（3）柵欄效應由于DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。由于柵欄效應總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋”而無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補若干個零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作DFT時，由于點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。產(chǎn)生原因說明：由傅里葉變換理論知道，若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間必然為無限長。(重點)如果用DFT分析連續(xù)信號的頻譜，在對連續(xù)信號采樣時，無法滿足采樣定理，那么就會出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。當連續(xù)信號無限長或很長時，在對連續(xù)信號采樣時，采樣點數(shù)太多以致無法存儲和計算，需要將信號截斷，這樣將導致頻譜的泄漏現(xiàn)象。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要根據(jù)具體的情況，選擇適當形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。用DFT計算連續(xù)信號的頻譜只能得到采樣點上的頻譜，而不能看到整個頻譜，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。可以通過增加點數(shù)，因為點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。3.用DFT進行譜分析的參數(shù)選擇問題(重點)對模擬信號頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。（1）在已知信號的最高頻率fc(即譜分析范圍)時，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率Fs滿足：Fs>2fc。（2）采樣頻率Fs，采樣點數(shù)N，譜分辨率F=Fs/N，如果保持采樣點數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點數(shù)N。因為NT=Tp，T=Fs-1，只有增加對信號的觀察時間Tp，才能增加N。3）采樣點數(shù)N>2fc/F4）最小記錄時間Tp≥1/F例：用DFT對實信號進行譜分析，要求頻率分辨率F50Hz，信號最高頻率為fmax1000Hz，試確定以下參數(shù)：（1）最小記錄時間；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點數(shù)；（4）若要求頻率分辨率提高一倍，求最少采樣點數(shù)。（重點）Tpmin10.02s解（1）Fmax第38頁共60頁Tmax10.5ms（2）2fmaxNmin2fmaxTpmin40（3）FmaxTmaxNmin2fmax200080（4）Fmax25簡答題：（重點）一個序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關系是什么？2.序列的DTFT和序列的z變換間的關系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關系是什么？有限長序列x(n)的長度為M，對其進行頻域采樣，不失真的條件是什么？兩個有限長序列x1(n),0nM，x2(n),0nN，對它們進行線性卷積，結果用y(n)表示，y(n)的長度是多少？如果進行循環(huán)卷積，那么什么時候線性卷積和循環(huán)卷積的結果相等？用DFT進行譜分析帶來哪些誤差問題？采取什么措施可以減少這些誤差？時域采樣定理的要點是什么？頻域采樣定理的要點是什么？第39頁共60頁第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。4.1直接計算DFT的問題及改進的途徑直接計算DFT，需要次復數(shù)乘法，次復數(shù)加法。直接計算離散傅里葉變換，由于計算量近似正比于N2，顯然對于很大的N值，直接計算離散傅里葉變換要求的算術運算量非常大。(重點)我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來改善離散傅里葉變換的計算效率。1）的對稱性2）的周期性利用的對稱性和周期性，將大點數(shù)的DFT分解成若干個小點數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個基本思路發(fā)展起來的。(重點)說明：快速傅里葉變換FFT(FastFourierTransform)分類：按時間抽?。―IT）算法和按頻率抽取（DIF）算法。第40頁共60頁4.2基2FFT的算法原理和FFT運算特點1）數(shù)據(jù)要求：N2M2）計算效率（乘法運算次數(shù)：1NM，加法計算次數(shù)：NM）（復數(shù)運算）2（DFT運算：乘法運算次數(shù)：N2，加法計算次數(shù)：N2）（復數(shù)運算）對于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。1時域抽取法如下：（DecimationInTime,DIT–FFT）設序列x(n)長度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點的子序列：x(2r)x1(r)rN10,1,L,2,Nx(2r1)x2(r)r0,1,L12則x(n)的DFT為NN1N1122X(k)DFT[x(n)]x(n)WNnkx(2r)WN2rkx(2r1)WN(2r1)kn0r0r0N1N122x1(r)WN2rkWNkx2(r)WN2rkr0r0N1N122x1(r)WNrk/2WNkx2(r)WNrk/2r0r0X1(k)WNkX2(k)所以X(k)X1(k)WNkX2(k)k0,1,N/21N1N1X1(k)2x1(r)WNrk/22x1(r)WNrk/2DFT[x1(r)]N/2r0r0N1N1X2(k)2x2(r)WNrk/22x2(r)WNrk/2DFT[x2(r)]N/2r0r0將X(k)又可以寫為X(k)X1(k)WNkX2(k)k0,1,L,N12XkNX1(k)WNkX2(k)k0,1,L,N122第41頁共60頁上式將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT運算，運算過程如下圖示利用蝶形運算求解。運算量：由按時間抽取的FFT流圖可見：每級都由N/2個蝶形單元構成，因此每級都需要N/2次復數(shù)乘法和N次復數(shù)加法。這樣，M級運算共需要：mFNMNlog2N復數(shù)乘法：22復數(shù)加法：aFNMNlog2N而直接計算DFT需要：復數(shù)乘法：N2復數(shù)加法：N(N1)以乘法為例，對FFT算法與直接DFT算法的運算量進行比較：NN2Nlog2NN2/(Nlog2N)22864125.41281638444836.6102410485765120204.8可以看出：當N越大時，F(xiàn)FT算法的優(yōu)越性越突出。DIT-FFT算法與DFT運算量的比較直接計算DFT與FFT算法的計算量之比為N22NN越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點越為明顯Nlog2N2Nlog2說明：掌握給定點數(shù)的基2DIT-FFT蝶形圖8點DFT的完整FFT流圖：第42頁共60頁2頻域抽樣法（DecimationInFrequency,DIF–FFT）將長度為N=2M的序列x(n)前后對半分開,其N點DFT可表示為N1N12N1X(k)x(n)WNnkx(n)WNnkx(n)WNnkn0n0Nn2N1N1NN22nkx(n)WNnkxnWN2n0n02N12NWNNk/2WNnkx(n)xnk0,1,,N1n02按k的奇偶可將X(k)分為兩部分取偶數(shù)時N12Nr0,1,L,NWN2nrX(2r)x(n)xn1n022N12Nx(n)xnWNnr/2n02k取奇數(shù)時X(2r1)N12x(n)n0

N1NWNn(2r1)r0,1,L,N12x(n)xnn022xnNWnWnr2NN/2N/21x1(n)x(n)xnNX(2r)rn2x1(n)WN/2令得到n0NN/21WNnx2(n)x(n)xnX(2r1)x2(n)WNrn/22n0注：DIT—FFT與DIF—FFT特點比較(重點)第43頁共60頁相同之處：1）DIF與DIT兩種算