專題11 全等模型-半角模型

2020年決勝中考經(jīng)典專題分析專題11全等模型—半角模型什么叫半角模型定義：我們習(xí)慣把等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使得兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型我們稱為半角模型半角模型特征：兩個(gè)角是一半的關(guān)系，并且兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，大角的兩邊相等解題思路（1） 將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形；（2） 證明與半角形成的三角形全等；（3） 通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題口訣：大角加半角，大角兩邊相等，構(gòu)造全等由題意得：四邊形ABCD是正方形，所以AB=ADZABH=ZD在厶ABH和AADF中(AB=ADZABH=ZD (邊角邊)BH=DF因此△ABH^^ADF (SAS)則有ZFAD=ZHABAH=AFVZBAD=90°，ZEAF=45°AZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°即ZHAE=ZHAB+ZBAE=45°ZHAE=ZEAF在△△HAE和△FAE中AH=AFZHAE=ZEAFAE=AE因此△HAE94FAE，所以HE=EF則可以推理出：HB+BE=EF三角形CEF的周長(zhǎng)等于EF+EC+FC=HB+BE+EC+FC=BC+DC則可以推理出：三角形CEF的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)一半由上面證明得△HAE^^FAE，所以ZBEA=ZFEA則可以推理出：AE平分ZBEF又?.?△ABH9AADF, AZH=ZAFD,?/△HAE^^FAE,AZH=ZAFE,即ZAFE=ZAFD,則可以推理出：AF平分ZDFE.《典例1》如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是AD,CD上的點(diǎn)，ZEBF=45°,△EDF的周長(zhǎng)為10,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)？答案》由題意得,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H使得AH=CF???四邊形ABCD是正方形.\ZHAB=ZC=90°AB=BC???△HAB^^FCB即BH=BCZHBA=ZCBH則有ZHBE=ZEBF=45°{BH=BCZHBE=ZEBF (邊角邊)BE=BE.?.△HAE9AFBE (SAS)即HE=FE因此FE=AE+CF?△EDF的周長(zhǎng)等于AD＋DC=10,???四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2(AD+DC)=20.《精準(zhǔn)解析》先作輔助線使得AH=CF，構(gòu)造△HAB^^FCB，再證明厶HAE9AFBE得EF=EH,推理出EF=AE+CF,則最終得到AEDF的周長(zhǎng)等于AD+DC=10,四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2(AD+DC)=20120°半角模型，頂角為120°的等腰三角形BDC,ZMDN=60°AABC是等邊三角形.

由題意得等腰三角形BDC中，ZBDC=120。所以ZDBC=ZDCB=30°,???△ABC是等邊三角形.??ZABD=ZACD=90。，即ZHBD=ZACD,在△HBD和△NCD中,BH=CN,ZHBD=ZACD,BD=DC,所以△HBD9ANCD(SAS),即DH=DN,ZHDB=ZCDN,因此ZHDM=ZMDN,則在AMDN和厶HDM中，DH=DNZHDM=ZMDN (邊角邊)DM=DM因此△MDN9AHDM,結(jié)論：MN=BM+NC,三角形AMN的周長(zhǎng)=2倍等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).《典例2》如圖，三角形ABC是等邊三角形，三角形BDC是等腰三角形，且ZBDC=120°,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60°的角，使得兩邊分別交AB于M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,,已經(jīng)三角形ANM的周長(zhǎng)為6,求等邊延長(zhǎng)AB到點(diǎn)H,使得BH=CN由題意得等腰三角形BDC中，ZBDC=120。所以ZDBC=ZDCB=30°?△ABC是等邊三角形

.??ZABD=ZACD=90。即ZHBD=ZACD在厶HBD和△NCD中{BH=CN（SAS）SAS）（SAS）SAS）所以△HBD9ANCD即DH=DN,ZHDB=ZCDN,因此ZHDM=ZMDN,則在AMDN和△HDM中DH=DNZHDM=ZMDN （邊角邊）DM=DM所以△MDN9AHDM因此MN=BM+NC,三角形AMN的周長(zhǎng)=2倍等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)???三角形AMN的周長(zhǎng)等于6,???等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)=6十2=3,因此等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為：3x3=9.《精準(zhǔn)解析》先作輔助線使得BH=CN，構(gòu)造△HBD△NCD，再證明△MDN9AHDM得HM=NM,推理出NM=BH+BM=BH+CN，因?yàn)槿切蜛MN的周長(zhǎng)等于6,所以推理出等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)=6-2=3，因此等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為：3x3=9《典例3》已知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,ZMAN繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他的兩邊分別交于CB,DC（或他們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M,N,AH丄MN于點(diǎn)H（1） 如圖1,ZMAN繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：（）（2）如圖2,ZMAN繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BM^DN時(shí)，（1）中的結(jié)論還可以成立嗎？如果不成立寫(xiě)出結(jié)論,成立的話請(qǐng)證明。（3） 如圖3,已知ZMAN=45°,AH丄MN于點(diǎn)H,且MH=2.NH=3,求AH的長(zhǎng)（可以利用（2）的結(jié)論）AA答案》1》如圖1，AH=AB???AB=ADZD=ZABE=90。在Rt^AEB和Rt^AND中，AB=AD,ZD=ZABE,BE=DN???Rt^AEB^Rt^AND即AN=AE, ZNAD=ZEAB?ZEAM=ZNAM=45°在厶AEM和AANM中，AN=AE,ZEAM=ZNAM,AM=AM,.?.△AEM9AANM則厶AEM的面積等于AANM的面積EM=MN???AB,AH分別是AAEM和AANM對(duì)應(yīng)的高因此AB=AH《精準(zhǔn)分析》延長(zhǎng)CB至E,使得BE=DN，證明△AEM^^ANM，因此AB=AH.《典例4》如圖3分別沿AM,AN翻折，△AMH’AANH,得到△ABM和△AND,?BM=2,DN=3,ZB=ZD=ZBAD=90°分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C,得到正方形ABCD由《2》可知,AH=AB=BC=CD=AD設(shè)AH=xMC=x－2 NC=x－3在RtAMCN中，由勾股定理得，MN2=MC2＋NC2則有52