自動控制基礎(chǔ)-第三章課件

第三章控制系統(tǒng)的時域分析法（一）一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能

（二）二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能

（三）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)）（四）線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

主要問題：一、時域分析法概述建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。分析和設(shè)計(jì)是自動控制原理課程的兩大任務(wù)。（a）系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)。（b）設(shè)計(jì)是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機(jī)構(gòu)和裝置并確定相應(yīng)的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿足所要求的性能指標(biāo)。系統(tǒng)分析的目的在于“認(rèn)識”系統(tǒng)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的在于“改造”系統(tǒng)。系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)方法一般有時域法、根軌跡法和頻域法。（1）時域法常用的典型輸入信號主要包括單位脈沖函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位速度（斜坡）函數(shù)，單位加速度函數(shù)。（2）時域性能指標(biāo)：穩(wěn)、準(zhǔn)、快延遲時間：階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的50％所需的時間。上升時間：階躍響應(yīng)從終值的10％上升到終值的90％所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達(dá)到終值所需的時間。峰值時間：階躍響應(yīng)越過終值達(dá)到第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間：階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值誤差帶內(nèi)所需的最短時間。有時也用終值的2％誤差帶來定義調(diào)節(jié)時間。超調(diào)量:峰值超出終值的百分比，即

在上述動態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時間（描述快”），超調(diào)量（描述“勻”）以及峰值時間二、一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能

（1）一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及單位階躍響應(yīng)

其中T=1/K稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。

系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為:一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如右圖所示，響應(yīng)是單調(diào)的指數(shù)上升曲線。依調(diào)節(jié)時間的定義有：時間常數(shù)是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。時間常數(shù)越小，系統(tǒng)極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸，過渡過程越快。（2）一階系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算

r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一階系統(tǒng)典型響應(yīng)d(t)11(t)

t（3）一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)例：原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為現(xiàn)采用如圖3-5所示的負(fù)反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間減小為原來的0.1倍,并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)和的取值。

其中，，和分別稱為系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。三、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能

（1）二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類標(biāo)準(zhǔn)形式：

、二階系統(tǒng)的分類：注意：二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)與閉環(huán)極點(diǎn)分布關(guān)系數(shù)學(xué)上，線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成。通解由微分方程的特征根決定，代表自由響應(yīng)運(yùn)動。如果微分方程的特征根是,且無重根，則把函數(shù)，稱為該微分方程所描述運(yùn)動的模態(tài)，也叫振型。如果特征根中有多重根，則模態(tài)是具有，形式的函數(shù)。如果特征根中有共軛復(fù)根，則其共軛復(fù)模態(tài)與可寫成實(shí)函數(shù)模態(tài)與。每一種模態(tài)可以看成是線性系統(tǒng)自由響應(yīng)最基本的運(yùn)動形態(tài)，線性系統(tǒng)自由響應(yīng)則是其相應(yīng)模態(tài)的線性組合。，

√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0sin(ωdt+β)e-ξωth(t)=√1-ξ211n過阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(2)二階過阻尼系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能

（臨界阻尼，過阻尼）時系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算(3)二階欠阻尼系統(tǒng)的時間響應(yīng)及動態(tài)性能二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法：(a)直角坐標(biāo)表示：

(b)極坐標(biāo)表示：

二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

對上式做拉氏反變換：

二階欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算:

（a）峰值時間

即有

根據(jù)峰值時間定義可得

（b）超調(diào)量

將峰值時間代入c(t)，整理后可得（c）調(diào)節(jié)時間

按階躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入5％誤差帶的時間計(jì)算調(diào)節(jié)時間。令可得：

可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)量只取決于阻尼比，而調(diào)節(jié)時間則與阻尼比和自然頻率均有關(guān)。典型欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及極點(diǎn)分布之間的關(guān)系當(dāng)固定，增加（減小）時，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中圓弧軌跡（I）移動，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量減?。煌瑫r由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，增加，調(diào)節(jié)時間減小。當(dāng)固定，增加時，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中的射線軌跡（II）移動，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，增加，調(diào)節(jié)時間減小。一般實(shí)際系統(tǒng)中，時間常數(shù)T是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)增益K是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。K增大時，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面下圖中的垂直線（III）移動，阻尼變小，超調(diào)量會增加。例：二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)分別如下圖(a),(b)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)的值。

例：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求解：（1）開環(huán)增益K=10時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)；（2）確定使系統(tǒng)阻尼比為0.707的K值。改善二階系統(tǒng)動態(tài)性能的措施

:

實(shí)際應(yīng)用中常采用測速反饋和比例＋微分控制方式改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能。例：在如下圖所示系統(tǒng)中分別采用測速反饋和比例+微分控制，其中。分別寫出它們各自的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算出動態(tài)性能指標(biāo)，并進(jìn)行對比分析。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖(a)圖(b)圖(c)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)參數(shù)0.1580.50.53.163.163.16開環(huán)零點(diǎn)—-4.63-4.63極點(diǎn)0，－10，－10，－1閉環(huán)零點(diǎn)——-4.63極點(diǎn)-0.5±j3.12-1.58±j2.74-1.58±j2.74動態(tài)性能1.011.151.0560％16.3％23％72.22.1

圖(b)系統(tǒng)引入速度反饋，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調(diào)量減?。粓D(c)系統(tǒng)采用了比例加微分控制，微分信號有超前性，相當(dāng)于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。相對于原系統(tǒng)而言，兩種方法均可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。比較圖(a)和(b)兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，后者比前者多一個開環(huán)零點(diǎn)，因而影響了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置（改變模態(tài)）。比較圖(b)，(c)兩系統(tǒng)有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，只是閉環(huán)傳遞函數(shù)中后者較前者多一個閉環(huán)零點(diǎn)。附加閉環(huán)零點(diǎn)不會影響閉環(huán)極點(diǎn)，因而不會影響單位階躍響應(yīng)中的各模態(tài)。但它會改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)，由此影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。

四、高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及性能估算（1）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以表示為：其中：。由于均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)只能是實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換可表示為：對上式進(jìn)行拉氏反變換可得

可見，除常數(shù)項(xiàng)外，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)模態(tài)的組合，組合系數(shù)即部分分式系數(shù)。模態(tài)由閉環(huán)極點(diǎn)確定，而部分分式系數(shù)與閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布有關(guān)，所以，閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能均有影響。當(dāng)所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面時，隨時間的增加所有模態(tài)均趨于零（對應(yīng)瞬態(tài)分量），系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)最終穩(wěn)定在。很明顯，閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對值越大，相應(yīng)模態(tài)趨于零的速度越快。在系統(tǒng)存在重根的情況下，以上結(jié)論仍然成立。（2）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

對穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對應(yīng)的模態(tài)只影響階躍響應(yīng)的起始段，而距虛軸近的極點(diǎn)對應(yīng)的模態(tài)衰減緩慢，系統(tǒng)動態(tài)性能主要取決于這些極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)分量。此外，各瞬態(tài)分量的具體值還與其系數(shù)大小有關(guān)。根據(jù)部分分式理論，各瞬態(tài)分量的系數(shù)與零、極點(diǎn)的分布有如下關(guān)系：①若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很小；②若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而又遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很?。虎廴裟硺O點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)就比較大。系數(shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應(yīng)中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又沒有零點(diǎn)的極點(diǎn)對系統(tǒng)的動態(tài)性能起主導(dǎo)作用，稱相應(yīng)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。（1）穩(wěn)定性的概念

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動控制理論的基本任務(wù)之一。定義：如果在擾動作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根均具有負(fù)的實(shí)部，或所有閉環(huán)特征根均位于左半s平面。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：（1）必要條件：（2）勞斯（Routh）判據(jù)：勞斯表滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必穩(wěn)定，因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要用勞斯判據(jù)來判斷。判據(jù)：勞斯表第一列元素均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個數(shù)例：四階系統(tǒng)特征方程：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0，判斷穩(wěn)定性。解:建立勞斯表s4s3s2s1s01710521010

勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,ξ)的范圍;(2)當(dāng)ξ=2時，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1之左的K值范圍。解：當(dāng)

x=2

時，進(jìn)行平移變換：五、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

對穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。（1）誤差與穩(wěn)態(tài)誤差按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差。

按輸出端定義的誤差:

計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性

（2）求誤差傳遞函數(shù)（3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差

例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知r(t)=n(t)=t，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求r(t)分別為A·1(t),At,At2/2時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解．綜上可知，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素主要包括：系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，外作用的類型（控制量，擾動量及作用點(diǎn)），外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）(1)時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)直接分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的一種方法。(2)穩(wěn)定是自動控制系統(tǒng)能否正常工作的首要條件。系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用的大小和形式無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均位于左半s平面(即系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部)。(3