高考導數(shù)題的解題技巧絕版

...wd......wd......wd...導數(shù)題的解題技巧導數(shù)命題趨勢：〔1〕多項式求導〔結合不等式求參數(shù)取值范圍〕,和求斜率〔切線方程結合函數(shù)求最值〕問題.〔2〕求極值,證明不等式，函數(shù)單調性,應用題,與三角函數(shù)或向量結合.【考點透視】1．了解導數(shù)概念的某些實際背景〔如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等〕；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念．2．熟記基本導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法那么．了解復合函數(shù)的求導法那么，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)．3．理解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件〔導數(shù)在極值點兩側異號〕；會求一些實際問題〔一般指單峰函數(shù)〕的最大值和最小值．【例題解析】考點1導數(shù)的概念對概念的要求：了解導數(shù)概念的實際背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念.例1．〔2007年北京卷〕是的導函數(shù)，那么的值是．[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和計算等根基知識和能力.[解答過程]故填3.例2.(2006年湖南卷〕設函數(shù),集合M=,P=,假設MP,那么實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和集合等根基知識的應用能力.[解答過程]由綜上可得MP時,考點2曲線的切線〔1〕關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P〔x,y〕的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.〔2〕關于兩曲線的公切線假設一直線同時與兩曲線相切，那么稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.〔2007年湖南文〕函數(shù)在區(qū)間，內各有一個極值點．〔I〕求的最大值；〔II〕當時，設函數(shù)在點處的切線為，假設在點處穿過函數(shù)的圖象〔即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側〕，求函數(shù)的表達式．思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程：〔I〕因為函數(shù)在區(qū)間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為〔〕，那么，且．于是，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．〔II〕解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，那么不是的極值點．而，且．假設，那么和都是的極值點．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在〔〕．當時，，當時，；或當時，，當時，．設，那么當時，，當時，；或當時，，當時，．由知是的一個極值點，那么，所以，又由，得，故．例4.〔2006年安徽卷〕假設曲線的一條切線與直線垂直，那么的方程為〔〕A．B．C．D．[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和直線方程等根基知識的應用能力.[解答過程]與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為.應選A.例5．(2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2-4x+2y+=0相切的直線的方程為()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和圓的方程、直線方程等根基知識的應用能力.[解答過程]解法1：設切線的方程為又應選A.解法2:由解法1知切點坐標為由應選A.例6.兩拋物線,取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數(shù).解答過程：函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為，即①曲線在點Q的切線方程是即②假設直線是過點P點和Q點的公切線，那么①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，假設△=，即時，解得，此時點P、Q重合.∴當時，和有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為.考點3導數(shù)的應用中學階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調性，以“導數(shù)〞為工具，能對其進展全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數(shù)學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1..求函數(shù)的解析式;2.求函數(shù)的值域;3.解決單調性問題;4.求函數(shù)的極值〔最值〕;5.構造函數(shù)證明不等式.典型例題例7．〔2006年天津卷〕函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如以下列圖，那么函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)圖象性質等根基知識的應用能力.[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間內的圖象上有一個極小值點.應選A.例8.〔福建省2008年普通高中畢業(yè)班質量檢查〕函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0處取得極值．(I)求實數(shù)a的值；(Ⅱ)假設關于x的方程，f(x)=在區(qū)間[O，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；(Ⅲ)證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立．[考察目的]本小題主要考察函數(shù)的導數(shù)、單調性、極值和不等式等根基知識；考察化歸及數(shù)形結合的思想方法；考察分析問題、解決問題的能力。解答過程：解：(Ⅰ)=∵x=0時，f(x)取得極值，∴=0，故=0，解得a=1.經檢驗a=1符合題意.(Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=+b,得ln(x+1)-x2+x-b=0，令φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b，那么f(x)=+b在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個不同實數(shù)根．，當x∈(O，1)時，>O，于是φ(x)在(O，1)上單調遞增；當x∈(1，2)時，<0，于是φ(x)在(1，2)上單調遞減．依題意有∴l(xiāng)n3-1≤b<ln2+.(Ⅲ)f(x)=ln(x+1)-x2–x的定義域為{x|x>-1}，由(Ⅰ)知，令=0得，x=0或x=-(舍去)，∴當-1<x<0時，>0，f(x)單調遞增；當x>0時，<0，f(x)單調遞減.∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.∴f(x)≤f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當且僅當x=0時，等號成立).對任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)<+，故ln()<.例9.函數(shù)的值域是_____________.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學數(shù)學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數(shù)的單調性求出最大、最小值。此例的形式構造較為復雜，采用導數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，，即函數(shù)的定義域為.，又，當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10．〔2006年天津卷〕函數(shù)，其中為參數(shù)，且．〔1〕當時，判斷函數(shù)是否有極值；〔2〕要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；〔3〕假設對〔2〕中所求的取值范圍內的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．[考察目的]本小題主要考察運用導數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調性及極值、解不等式等根基知識，考察綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學思想方法.[解答過程]〔Ⅰ〕當時，，那么在內是增函數(shù)，故無極值.〔Ⅱ〕，令，得.由〔Ⅰ〕，只需分下面兩種情況討論.①當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+↗極大值↘極小值↗因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.=2\*GB3②當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且假設，那么.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)在內的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.〔=3\*ROMANIII〕解：由〔=2\*ROMANII〕知，函數(shù)在區(qū)間與內都是增函數(shù)。由題設，函數(shù)內是增函數(shù)，那么a須滿足不等式組或由〔=2\*ROMANII〕，參數(shù)時時，.要使不等式關于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11．(2006年山東卷)設函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區(qū)間.[考察目的]此題考察了函數(shù)的導數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考察了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力[解答過程]由得函數(shù)的定義域為，且〔1〕當時，函數(shù)在上單調遞減，〔2〕當時，由解得、隨的變化情況如下表—0+極小值從上表可知當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增.例12．〔2006年北京卷〕函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經過點，，如以下列圖.求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕的值.[考察目的]本小題考察了函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉化等根基知識的綜合應用,考察了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力[解答過程]解法一：〔Ⅰ〕由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以〔Ⅱ〕由得解得解法二：〔Ⅰ〕同解法一〔Ⅱ〕設又所以由即得所以例13．〔2006年湖北卷〕設是函數(shù)的一個極值點.〔Ⅰ〕求與的關系式〔用表示〕，并求的單調區(qū)間；〔Ⅱ〕設，.假設存在使得成立，求的取值范圍.[考察目的]本小題主要考察函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考察綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.[解答過程]〔Ⅰ〕f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，那么f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是極值點，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.當a<－4時，x2>3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，3〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔3，―a―1〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).當a>－4時，x2<3＝x1，那么在區(qū)間〔－∞，―a―1〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間〔―a―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，當a>0時，f(x)在區(qū)間〔0，3〕上的單調遞增，在區(qū)間〔3，4〕上單調遞減，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f(4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－〔2a＋3〕e3，a＋6].又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只須僅須〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是〔0，〕.例14〔2007年全國二〕函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且．〔1〕證明；〔2〕假設z=a+2b,求z的取值范圍。[解答過程]求函數(shù)的導數(shù)．〔Ⅰ〕由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．所以當時，為增函數(shù)，，由，得．〔Ⅱ〕在題設下，等價于即．化簡得．此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線：．所圍成的的內部，其三個頂點分別為：．ba212ba2124O所以的取值范圍為．考點4導數(shù)在不等式的證明及解決不等式中求參數(shù)的問題中的應用.一、構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)證明不等式1.直接由所證不等式構造函數(shù)，討論構造函數(shù)單調性,到達證明不等式的目的把要證明的不等式通過構造函數(shù)轉化為再通過求的最值,從而實現(xiàn)對不等式的證明.例1〔2010年全國理科卷2〕設函數(shù)．EQ\o\ac(○,1)證明：當時，,EQ\o\ac(○,2)設當時，，求的取值范圍．證明：EQ\o\ac(○,1)當時，，當且僅當構造函數(shù)：，那么對求導得：.當時，，在上是增函數(shù),當時，，在上是減函數(shù).于是在處到達最小值，因而當時，，即，所以當時，.=2\*GB3②略.2.常系數(shù)變易法對形如(或可化為〕的不等式，根據題意可適中選擇〔或〕為主元，構造函數(shù)〔或〕.例2〔2004年全國理科卷2〕函數(shù)，EQ\o\ac(○,1)求函數(shù)的最大值；EQ\o\ac(○,2)設，證明：.解:EQ\o\ac(○,1)略EQ\o\ac(○,2)由，那么.首先選擇為主元，構造函數(shù)：，那么對求導得：.當時，，因此在內為減函數(shù)，當時，，因此在上為增函數(shù).從而，當時，有極小值，因為，由,所以，即,其次構造函數(shù)：，那么對求導得：.當時,,因此在上為減函數(shù)，因為,，所以，即：,綜上所述，原不等式成立.二、利用導數(shù)求出函數(shù)的極值、最值(或值域)后,再證明不等式最值證明在不等式中的應用,一般將不等式通過移項，構造一個函數(shù)，然后求這個函數(shù)的極(最)值,應用恒成立關系就可以證明.例3〔2009年全國理科卷2〕設函數(shù)有兩個極值點，且，EQ\o\ac(○,1)求的取值范圍，并討論的單調性,EQ\o\ac(○,2)證明：.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:EQ\o\ac(○,1)對求導得：令，其對稱軸為.由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得.當時，，所以在內為增函數(shù)；當時，，所以在內為減函數(shù)；當時，，所以在內為增函數(shù).EQ\o\ac(○,2)由EQ\o\ac(○,1)可知，有，所以.設，那么.當時，，所以在單調遞增；當時，，在單調遞減.所以，當時，，故．W.三、利用導數(shù)解決不等式中求參數(shù)的問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，有些往往把變量別離后可以轉化為(或)恒成立,于是大于的最大值(或小于的最小值),從而把不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題.但是有些不能把變量別離或者別離之后求解非常麻煩的，要通過適當?shù)淖儞Q來求解，在求解的過程中往往都要結合函數(shù)的性質通過分類討論的思想進展求解.總之，利用導數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.1.變量別離后，不等式可以轉化為(或〕的恒成立問題例4〔2008年安徽理科卷20題〕設函數(shù)EQ\o\ac(○,1)求函數(shù)的單調區(qū)間,EQ\o\ac(○,2)對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.解:EQ\o\ac(○,1)對求導得：假設那么列表如下+0--單調增極大值單調減單調減EQ\o\ac(○,2)在兩邊取對數(shù),得,由于所以，由EQ\o\ac(○,1)的結果可知,當時,,為使對所有成立,當且僅當,即.2.通過適當?shù)淖儞Q，構造函數(shù)解決不等式恒成立問題例5〔2008年全國理科卷2〕設函數(shù)．EQ\o\ac(○,1)求的單調區(qū)間,EQ\o\ac(○,2)如果對任何，都有，求的取值范圍.解：EQ\o\ac(○,1)對求導得：．當〔〕時，，即,當〔〕時，，即．因此在每一個區(qū)間〔〕是增函數(shù)，在每一個區(qū)間〔〕是減函數(shù)．EQ\o\ac(○,2)構造函數(shù)，設，那么．從而，當時，．又，所以當時，，即．當時，令，那么.由，有，因此在上單調增加，又，即．于是，．當時，有．因此，的取值范圍是．總之，導數(shù)是解決不等式問題的一個很有用的工具，利用導數(shù)解決不等式的問題其實就是要適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)，運用導數(shù)來研究所構造函數(shù)的單調性，進而解決不等式中的問題.考點5導數(shù)的實際應用建設函數(shù)模型,利用導數(shù)研究最值典型例題例15.〔