第四章-不定積分

復(fù)習(xí)：

導(dǎo)數(shù)的定義定義1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

存在,

并稱此極限為記作：則稱函數(shù)若

的某鄰域內(nèi)有定義

,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).書P.35加上四則運(yùn)算公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。以及計(jì)算技巧。

初等函數(shù)的求導(dǎo)

例：求函數(shù)f（x）=x2sinx+2cosx

的導(dǎo)數(shù)。解復(fù)習(xí)：微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))二、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式P402.函數(shù)和、差、積、商的微分法則例解例解例解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.第四章不定積分

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)

§4.2不定積分的積分方法：（換元積分法、分部積分法）

§4.3幾種特殊類型函數(shù)積分舉例1011

回顧:微分學(xué)的基本問題是“已知一個(gè)函數(shù),

如何求它的導(dǎo)數(shù).”

積分學(xué)包括兩個(gè)基本部分:不定積分和定積分.

本章研究不定積分的概念、性質(zhì)和基本積分方法.

那么,如果已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要求原來的函數(shù),這類問題,是微分法的逆問題.這就產(chǎn)生了積分學(xué).12問題:

若已知某一函數(shù)F(x)

的導(dǎo)數(shù)為?(x),求這個(gè)函數(shù).則稱F(x)是已知函數(shù)?(x)在該區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).一.原函數(shù)的定義定義1

設(shè)?(x)定義在區(qū)間I上,若存在函數(shù)F(x),使得對(duì)

§4.1不定積分的概念和性質(zhì)有例因?yàn)椋砸驗(yàn)樗?3定義：

若函數(shù)?(x)在區(qū)間I上連續(xù),則?(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在。簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).(證明略)原函數(shù)存在性定理:定義：

設(shè)F(x)是函數(shù)?(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則對(duì)任何常數(shù)C,F(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).證

因?yàn)閱栴}：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？所以F(x)+C也是函數(shù)?(x)的原函數(shù).14定理1

設(shè)F(x)和G(x)都是函數(shù)?(x)的原函數(shù),則

G(x)=F(x)+C(常數(shù))證由拉格朗日定理知由此可見:

若F(x)是?(x)的一個(gè)原函數(shù),則表達(dá)式F(x)+C可表示?(x)的所有原函數(shù)。二.不定積分的定義定義2

函數(shù)?(x)的全體原函數(shù)稱為?(x)的不定積分.記為顯然，若F(x)是函數(shù)?(x)的一個(gè)原函數(shù),則

15任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量例如16例1

求解解例2

求17例3

求下列不定積分18三.不定積分的幾何意義而是?(x)的原函數(shù)一般表達(dá)式,所以它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族,其特點(diǎn)是:

(1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y=F(x))沿y軸平行移動(dòng)|c|個(gè)單位而得到.(如圖)當(dāng)c>0時(shí),向上移動(dòng);當(dāng)c<0時(shí),向下移動(dòng).oxyxy=F(x){|c|19

oxyxy=F(x)(2)即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處,每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等,都為?(x).從而相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行.注:當(dāng)需要從積分曲線族中求出過點(diǎn)的一條積分曲線時(shí),則只須把代入y=F(x)+C中解出C即可.20例4

已知一條曲線在任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù),且過點(diǎn)求此曲線方程.解

設(shè)所求曲線為y=?(x),則故所求曲線為y=ln|x|+221四、不定積分與微分的關(guān)系22五、基本積分表2324導(dǎo)數(shù)公式表積分公式表以上基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ),必須記牢！25例5

求下列不定積分4.1.3不定積分性質(zhì)

2627直接積分法:

利用基本積分公式和性質(zhì)求不定積分的方法稱為直接積分法.用直接積分法可求出某些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.例6

求下列不定積分2829例8

一種流感病毒每天以的速率增加,其中t是首次爆發(fā)后的天數(shù),如果第一天有50個(gè)病人,試問在第10天有多少個(gè)人被感染？解設(shè)在第t天有Q(t)個(gè)人被感染,則

30由題意知當(dāng)t=1時(shí),Q(t)=50.代入上式可解出C=–69,則即在第10天有10931個(gè)人被感染.31練習(xí)題無窮多

常數(shù)

全體原函數(shù)

積分曲線

積分曲線族

平行

連續(xù)

3233

能利用直接積分法求出的不定積分是很有限的.一.湊微分法(第一換元法)例

計(jì)算分析:此不定積分在積分表中查不到.§5.2換元積分法為了求出更多函數(shù)的不定積分,下面建立一些有效的積分法.這是因?yàn)楸环e函數(shù)cos2x的變量是“2x”,與積分變量“x”不同.但如果能把被積表達(dá)式改變一下,使得被積函數(shù)的變量與積分變量變得相同,那么就可用公式求出此不定積分.

(u是x的函數(shù))34注:

這種方法的實(shí)質(zhì)是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí),可采用恒等變形將原來的微分dx湊成新的微分d()使原積分變成可直接用積分公式來計(jì)算.這種方法稱為湊微分法.其理論依據(jù)為35定理4

證利用不定積分的定義及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.注1.定理4中,若u為自變量時(shí),當(dāng)然有當(dāng)u換為(x)時(shí),就有成立.——不定積分的這一性質(zhì)稱為積分形式的不變性.注2.

湊微分法的關(guān)鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.即成立.36(1)根據(jù)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則,把

dx湊成d(x).如

(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d(x).如“湊微分”的方法有:37例1

求下列各不定積分結(jié)論1:383940以下常見的湊微分公式！4142例2

求不定積分結(jié)論2:同理可得43例3

求下列各式的不定積分44結(jié)論3:45或原式同理可得46例4

求下列各式的不定積分同理可得結(jié)論4:一般地,對(duì)形如這樣的不定積分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)先降次后再積分；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)應(yīng)先湊微分再積分；47一般地,對(duì)形如這樣的不定積分若n≠m，且一奇一偶時(shí)，則應(yīng)湊奇次冪的三角函數(shù)；若同為偶，則化為48對(duì)形如這樣的不定積分應(yīng)先積化和差后再積分.49(5)

求解還有其他方法嗎？50練習(xí)兩次湊微分51例5

求解法1解法2解法3注:對(duì)于同一個(gè)不定積分,采用的方法不同,有時(shí)得到的原函數(shù)的表達(dá)式就完全不同,但這些不同的表達(dá)式之間僅相差一個(gè)常數(shù).如52解例6

設(shè)求.令53二.第二換元法（作代換法）注:用直接積分和湊微分法是不易計(jì)算此積分的.但作變換從而注:這種經(jīng)過適當(dāng)選擇變量代換x=(t)將積分求出此積分后回代t的方法稱為第二換元積分法.化為積分(較易積出)54定理5

設(shè)函數(shù)?(x)連續(xù),

x=(t)單調(diào)可微,

且,而證明在此方法中要注意兩個(gè)問題:1.函數(shù)的原函數(shù)存在.2.要求代換式x=(t)的反函數(shù)存在且唯一.則55注1:第二換元積分法是先換元,再積分,最后回代.這與湊微分法(先湊后換元)不一樣.注2:第二換元積分法主要用來求解被積函數(shù)為無理函數(shù)的不定積分.換元的目的是將無理函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的積分.分兩類講:1.根號(hào)里是一次式的,即2.根號(hào)里是二次式的,即等。1.被積函數(shù)含有的因子時(shí),可令例1

求下列積分化簡(jiǎn)函數(shù)后再積分.5657解58但在具體求解時(shí)要根據(jù)被積函數(shù)所含二次根式的不同情況作不同的三角代換,作法如下：2.被積函數(shù)含有的因子時(shí),可作三角變換,利用三角函數(shù)恒等式使二次根式有理化.例2

求下列各積分59?tax如圖6061?tax如圖解

x=atant,t∈(-,)，

則dx=adt,

=asect,因此有62?tax則dx=asecttantdt,=atant,故思考：求63例3

求解令64例4

求令解3.倒代換

——當(dāng)被積函數(shù)的分母的次數(shù)較高時(shí)，可采用倒代換

65例5

求66解由題意知?jiǎng)t例6(1)設(shè)函數(shù)?(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx,求不定積分67(2)若己知

,求：

通過上述幾種積分方法的學(xué)習(xí),將以下幾個(gè)公式補(bǔ)充在積分表里：6869定理5

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則§5.3分部積分法IntegrationbyParts直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計(jì)算問題;但對(duì)形如等類型的不定積分,下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則來推得分部積分法.證由d(uv)=vdu+udv,得udv=d(uv)–vdu,對(duì)此式兩邊同時(shí)求不定積分,得采用這兩種方法卻無效.70而不定積分易于計(jì)算,則可采用分部積分公式,使計(jì)算大為簡(jiǎn)化.注1:不定積分不易計(jì)算,例1

求解

(1)設(shè)

由分部積分公式得71(2).要比容易積出.注2:分部積分法是基本積分法之一,常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分這類積分在具體計(jì)算過程中,如何正確地選定u和v卻顯得非常重要.一般說來要考慮以下兩點(diǎn):(1).v要容易求得;后一積分更難求72例2

求一般按“反對(duì)冪指三”的順序,后者先湊入的方法確定u和v.73比原積分更難積出.例3求下列不定積分否則若

7475練習(xí)：76參考答案：77例4求這是一個(gè)關(guān)于的方程,移項(xiàng)并兩邊同除以2,得注:有些不定積分需要將積分的幾種方法綜合起來使用.還有不同的解法嗎？78例5

求解令先換元再分部積分先湊微分再分部積分79(3)設(shè)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，求80是f(x)的一個(gè)原函數(shù),求解

因?yàn)?4)已知是f(x)的一個(gè)原函數(shù)所以81例6求不定積分解綜合練習(xí)題82例7求不定積分解83例7求不定積分解原式84例8求不定積分解令則還有解法嗎？先分部積分再換元85例9解法1求先分部積分,設(shè)則于是再設(shè)則于是后換元.86代入上式,得例9解法1求87解法2先換元,例9求后分部積分.設(shè)則再設(shè)則88例10解求已知的一個(gè)原函數(shù)是根據(jù)題意再注意到兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得89例11解求不定積分令則于是原式其中90例12解求不定積分先折成兩個(gè)不定積分,再利用分部積分法.原式91例13解求不定積分92例14解求其中為正整數(shù).用分部積分法,當(dāng)時(shí)有即于是93例14解求其中為正整數(shù).用分部積分法,當(dāng)時(shí)有于是以此作遞推公式,即可得并由94例15解利用分部積分計(jì)算選于是95例15解利用分部積分計(jì)算選于是方便.注:本題選比選更能使解題96一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義:兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).其中、都是非負(fù)整數(shù);及都是實(shí)數(shù),并且假定分子與分母之間沒有公因式:(1)這有理函數(shù)是真分式;(2)這有理函數(shù)是假分式.97一、有理函數(shù)的積分利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例981.由代數(shù)學(xué)知,任何多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總能分解成一次因式和二次質(zhì)因式的乘積,即其中為常數(shù);k…,s?α,…,β為正整數(shù),且2.任何一個(gè)真分式均可唯一地分解為若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和.注意99一、有理函數(shù)的積分(1)分母中若有因式則分解后為(其中都是常數(shù))若分解后有(2)分母中若有因式其中則分解后為真分式化為最簡(jiǎn)分式之和的一般規(guī)律:100一、有理函數(shù)的積分則分解后為(都是常數(shù))若分解后有注:求有理函數(shù)積分的關(guān)鍵是分式化為最簡(jiǎn)分式之和.利用待定系數(shù)法將真101例1分解有理分式解設(shè)整理得即102例2分解有理分式解設(shè)代入特殊值來確定系數(shù)取并將值代入()取取(*)103例3分解有理分式解兩邊同乘以得:令得再將上式兩邊求導(dǎo):104例3分解有理分式解令得同理,兩邊同乘以令得所以105一、有理函數(shù)的原函數(shù)將有理函數(shù)化為部分分式之和后,只出現(xiàn)三類情況:(1)多項(xiàng)式;(2)(3)討論情況(3):而其中106有理函數(shù)的原函數(shù)而其中時(shí),107一、有理函數(shù)的原函數(shù)上述三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).緒論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).時(shí),108例4求不定積分解根據(jù)例1的結(jié)果原式109例5求不定積分解根據(jù)例2的結(jié)果原式110例6求不定積分解根據(jù)例5的結(jié)果,有111解根據(jù)上述方法,有112