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第10章圖像變換22人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是,往往許多問題在頻域中討論時,有非常方便分析的一面。例如,空間位置上的變化不改變信號的頻域特性。問題的提出3圖像變換(一)原則上,所有圖像處理都是圖像的變換。狹義上講,圖像變換特指數(shù)字圖像經(jīng)過某種數(shù)學(xué)工具的處理,把原先二維空間域的數(shù)據(jù),變換到另外一個“變換域”形式描述的過程。如:傅立葉變換將時域或空域信號變換成頻域的能量分布描述。通常“另外一個變換域”更集中地代表了圖像中的有效信息,或者是更便于達(dá)到某種處理目的。44圖像變換的前提條件:首先,提出的變換必須是有好處的,換句話說,可以解決時域中難以解決的問題。其次,變換必須是可逆的,可以通過逆變換還原回原時域中。常用的圖像變換包括:頻域變換(傅立葉變換,離散余弦變換);圖像的時頻域變換(小波變換);以及其他各種正交變換等。圖像變換(二)5本章內(nèi)容簡介圖像的頻域變換—傅立葉變換傅立葉變換的應(yīng)用離散余弦變換(DCT)小波變換小波變換在圖像處理中的應(yīng)用6610.1圖像的頻域變換—傅立葉變換與前述各種圖象處理不同,傅立葉變換可以將時域信號變換到頻域中進(jìn)行處理,因此傅立葉變換在信號處理中有著特殊重要的地位。傅立葉(Fourier)變換以圖象中灰度的變化頻率為處理對象,是一種重要的圖象處理技術(shù);實際計算中是采用數(shù)值計算的方法計算傅立葉變換的,稱為離散傅立葉變換(DFT)。具體算法則使用快速傅立葉變換(FFT)算法。除以上FT以外,圖象處理中還可使用沃爾什(Walsh)變換WT、余弦變換、小波變換等數(shù)學(xué)方法。7DFT的原理對于一個N點(diǎn)有限長序列x(n),其DFT變換可表示為:其中:k=0,1,…,N-1;78DFT的運(yùn)算量假如x(n)為N項的復(fù)數(shù)序列,由DFT變換,任一X(m)的計算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法,一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實數(shù)加法。即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”(四次實數(shù)乘法和四次實數(shù)加法),那么求出N項復(fù)數(shù)序列的X(k),即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N^2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時候,需要N^2=1048576次運(yùn)算。因此,在N較大時,計算量不可想象。89如何減小DFT的計算量分解N為較小值:把序列分解為幾個較短的序列,分別計算其DFT值,可使乘法次數(shù)大大減少;利用旋轉(zhuǎn)因子的周期性、對稱性進(jìn)行合并、歸類處理,以減少DFT的運(yùn)算次數(shù)。周期性:對稱性:歐拉公式:910FFT利用上述對稱性和周期性,可以簡化DFT的運(yùn)算??梢园演^多點(diǎn)的DFT分解為多個較少點(diǎn)的DFT運(yùn)算。由于DFT的運(yùn)算量與點(diǎn)數(shù)成正比,減少DFT的點(diǎn)數(shù)就能減少DFT的總運(yùn)算量。不斷地繼續(xù)分解得到的DFT,可以加快DFT的運(yùn)算過程,這種DFT的快速計算方法,我們稱為FFT。1011基2FFT算法FFT算法基本上分為兩大類:時域抽取法FFT(簡稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(簡稱DIF―FFT)。時域抽取法FFT的算法思想:將序列x(n)按n為奇、偶數(shù)分為x1(n)、x2(n)兩組序列;用2個N/2點(diǎn)DFT來完成一個N點(diǎn)DFT的計算。設(shè)序列x(n)的長度為N,且滿足:N=2M,M為自然數(shù)。(1)按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點(diǎn)的子序列1112基2FFT算法(二)(2)用N/2點(diǎn)X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N點(diǎn)DFTX(k)12偶數(shù)奇數(shù)注意:這里的k的取值范圍為0,1,…,N-113基2FFT算法(三)(3)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期,且,X(k)又可表示為:對上式的運(yùn)算用下圖所示的流圖符號來表示這樣將N點(diǎn)DFT分解為兩個N/2點(diǎn)的DFT圖:蝶形運(yùn)算符號完成一個蝶形運(yùn)算需要一次復(fù)數(shù)乘和兩次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算,經(jīng)過一次分解后,共需要復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加的次數(shù)為2(N/2)2+N/2和2(N/2)214N=8時域抽取基2FFT算法信號流圖1515二維離散傅立葉變換
——正變換設(shè)圖像大小為M*N,原圖為f(x,y),其頻譜為F(u,v),則:二維傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為兩次一維傅立葉變換。1616二維離散傅立葉變換
——反變換注:逆變換的系數(shù)不為1。1717二維離散傅立葉變換
——作用1)可以得出信號在各個頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。2)可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。1818二維傅立葉變換的應(yīng)用
——用于計算卷積從前面各章中學(xué)習(xí)的圖像處理算法中知道,如果抽象來看,其實都可以認(rèn)為是圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波(如:平滑濾波、銳化濾波等)。如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時,直接進(jìn)行時域中的卷積運(yùn)算是不可思議的。傅立葉變換可以把卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為點(diǎn)乘運(yùn)算,由此簡化運(yùn)算,提高計算速度。二維傅立葉變換的應(yīng)用
——用于計算卷積19202010.2傅立葉變換的應(yīng)用前面已經(jīng)提到了傅立葉變換有兩個好處,即:可以獲得信號的頻域特性;可以將卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算。因此二維傅立葉變換的應(yīng)用也是根據(jù)這兩個特點(diǎn)來進(jìn)行的。212110.2.1圖像傅立葉變換后的頻率分布頻域上的高頻信息對應(yīng)著空域上變化比較劇烈的區(qū)域,而低頻信號對應(yīng)著空域上變化比較緩慢的區(qū)域。實際上變化比較劇烈的信號主要集中在不同景物的邊界上,而大部分信息主要集中在邊界內(nèi)部的非邊界景物信息之中。這樣,圖像的傅立葉變換的幅頻特性在其幅頻圖的四個角上比較亮,而在中心部分比較暗。為了方便觀察,通常是將幅頻圖進(jìn)行四個對角子塊的置換,這樣,低頻部分集中在圖像的中心部分,便于觀察。2222圖像傅立葉變換后的頻率分布綜上所述,就可以用“低頻部分反映圖像的概貌,高頻部分反映圖像細(xì)節(jié)”來總結(jié)頻域上的信息強(qiáng)度與空域上的像素特性之間的關(guān)系。根據(jù)這一對應(yīng)關(guān)系,可以獲得利用傅立葉變換后的幅頻特性進(jìn)行圖像的濾波處理。232310.2.2圖像的高通濾波圖像的頻域變換有一個非常突出的優(yōu)點(diǎn),就是可以將信號的信息強(qiáng)度進(jìn)行重新分配。因為景物的細(xì)節(jié)部分集中在高頻區(qū)段。因此,可以通過圖像高通濾波將圖像中景物的細(xì)節(jié)信息(邊界信息)提取出來。圖像的高通濾波,可以通過特定的濾波器(如Butterworth高通濾波器)來實現(xiàn),也可以簡單地將頻譜圖中的低頻分量強(qiáng)制為0。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進(jìn)行傅立葉逆變換,就可以得到圖像高頻部分。242410.2.3圖像的低通濾波圖像經(jīng)傅立葉變換之后,將景物的概貌部分集中在低頻區(qū)段。故可通過圖像低通濾波將其中景物的概貌信息提取出來。具體實現(xiàn)時,與高通濾波類似,可以借助特定的濾波器,也可以將頻譜圖中的高頻強(qiáng)制為0,就相當(dāng)于一個低通濾波器作用在圖像上。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進(jìn)行傅立葉逆變換,就可以得到圖像概貌部分。252510.2.4傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用圖像信息在空域中是依據(jù)景物的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分布的。因其信息強(qiáng)度的不集中,故不易壓縮。如果對圖像進(jìn)行傅立葉變換,則圖像信息在頻域中大多集中在低頻部分。充分利用這一特點(diǎn),則可進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。人在觀察圖像時,圖像的概貌可以達(dá)到理解圖像內(nèi)容的目的。因此,在不苛求圖像的再現(xiàn)質(zhì)量的場合下,可以通過只對圖像傅立葉變換后頻譜的低頻部分進(jìn)行編碼的方法,達(dá)到減少圖像數(shù)據(jù)量的目的。262610.3離散余弦變換(DCT)傅立葉變換的一個最大的問題是:它的參數(shù)都是復(fù)數(shù),在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此,我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下,產(chǎn)生了DCT變換。2727離散余弦變換(DCT)正變換:逆變換:其中:2828離散余弦變換(DCT)
——應(yīng)用余弦變換實際上是利用了傅立葉變換的實數(shù)部分構(gòu)成的變換。余弦變換主要用于圖像的壓縮,如目前的國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。即高頻部分壓縮多一些,低頻部分壓縮少一些。2910.4小波變換傅立葉變換可以使信號分析在頻域上進(jìn)行。但傅立葉變換有一個嚴(yán)重的不足,即做變換時丟掉了時間信息,無法根據(jù)傅立葉變換的結(jié)果判斷一個特定的信號是在什么時候發(fā)生的。傅立葉變換只是一種純頻域的分析方法,它在頻域里的定位是完全準(zhǔn)確的(即頻域分辨率最高),而在時域無任何定位性(或無分辨能力)。30小波變換對于平穩(wěn)隨機(jī)信號,傅立葉變換的這一缺點(diǎn)也許不是很重要。然而實際中大多數(shù)信號均含有大量的非穩(wěn)態(tài)成分,例如突變、偏移、趨勢、事件的起始與終止等情況,而這些情況往往是相當(dāng)重要的,反映了信號的重要特征。如:音樂信號、語音信號、探地信號等,它們的頻域特性都隨時間而變化。對這一類時變信號進(jìn)行分析,通常需要提取某一時間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。因此,需要尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時變信號。小波的特性小波(Wavelet),即小區(qū)域的波,是一種特殊的長度有限,平均值為0的波形。它有兩個特點(diǎn):一是“小”,即在時域都具有緊支集或近似緊支集;二是正負(fù)交替的“波動性”,也即直流分量為零??梢杂眯〔ê透盗⑷~分析用的正弦波做個比較,如3232傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制,從負(fù)無窮到正無窮,但小波傾向于不規(guī)則與不對稱。傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加,同樣小波分析是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加,而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好,同樣,信號局部的特性用小波函數(shù)來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)要好。傅立葉變換與小波變換小波的多尺度分解小波多分辨圖像分解,就是利用由一個小波函數(shù)經(jīng)過平移和伸縮生成的一系列小波基函數(shù)對圖像進(jìn)行變換,并將圖像分解為一組具有不同空間分辨率、不同頻率特性和方向特性的圖像近似分量的過程。這些近似分量也被稱作小波子帶。經(jīng)過一級小波分解后可以生成由4個原圖像1/4大小的系數(shù)數(shù)組構(gòu)成系數(shù)矩陣。這里,LL代表圖像的低頻分量,可看作原圖的縮略圖。HL體現(xiàn)了圖像的垂直邊緣特征;LH代表了圖像的水平邊緣特征;HH表示圖像對角線方向的細(xì)節(jié)信息。343410.5小波變換在圖像處理中的應(yīng)用10.5.1小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用我們從傅立葉變換得到啟示,就是圖像的數(shù)據(jù)信息大多集中在低頻部分,而高頻部分的信息很弱,對人眼視覺的影響也小。一幅圖像經(jīng)過小波變換之后,概貌信息大多集中在低頻部分,而其余部分只有很弱的表示細(xì)節(jié)的信息。為此,如果只保留占總數(shù)據(jù)量1/4的低頻部分,對其余三個部分的系數(shù)不存儲或傳輸,在解壓時,這三個子塊的系數(shù)以0來替代,則可得到較好的效果??梢钥吹绞÷粤瞬糠旨?xì)節(jié)信息之后,畫面的效果與原圖相比,差別不是非常大。3510.5.2小波變換在邊界檢測中的應(yīng)用經(jīng)過小波變換之后,圖像中的景物邊界這類細(xì)節(jié)信息存在于三個非低頻子塊中。為了方便后面的敘述,在這里將對圖像進(jìn)行行低通、列低通濾波后得到的LL子塊定義為低頻子塊;將行低通、列高通LH濾波后得到的子塊定義為次低頻子塊;將行高通、列低通的HL子塊定義為次高頻子塊;將行高通、列高通的HH子塊定義為高頻子塊。對原圖進(jìn)行小波變換后,對次高頻、次低頻兩個子塊進(jìn)行二值化處理之后所得到的邊界檢測結(jié)果。3610.5.3小波變換在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用小波變換用于圖像增強(qiáng)的原理是,對原圖像進(jìn)行小波變換,得到的小波變換系數(shù)矩陣分別表示的是不同的頻率特性。為此,一個簡單的圖像增強(qiáng)方法是,對低頻、次低頻、次高頻、高頻四個子塊以不同的增強(qiáng)系數(shù)進(jìn)行處理,再進(jìn)行小波逆變換之后,就可以達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。例如,對低頻子塊以大于1的增強(qiáng)系數(shù)相乘,則可以提高圖像的總體亮度;對其他三個子塊進(jìn)行增強(qiáng),則可以增強(qiáng)圖像的細(xì)節(jié)信息,由此可獲得清晰化圖像的效果。3710.5.4小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用利用小波變換去除噪聲的原理是:噪聲大多屬于高頻信息,因此,當(dāng)進(jìn)行小波變換之后,噪聲信息大多集中在次低頻、次高頻、以及高頻子塊中。經(jīng)過小波變換之后,將高頻子塊置為0,對次低頻和次高頻子塊進(jìn)行一定的抑制,則可以達(dá)到一定的噪聲去除效果0。為了使噪聲去除的效果更好,可以對不同尺度小波變換下的次低頻、次高頻、高頻子塊進(jìn)行抑制,保留低頻子塊的信息不改變,便可以對圖像噪
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