第10章 圖像變換

第10章圖像變換22人類視覺所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問(wèn)題在頻域中討論時(shí)，有非常方便分析的一面。例如，空間位置上的變化不改變信號(hào)的頻域特性。問(wèn)題的提出3圖像變換(一)原則上，所有圖像處理都是圖像的變換。狹義上講，圖像變換特指數(shù)字圖像經(jīng)過(guò)某種數(shù)學(xué)工具的處理，把原先二維空間域的數(shù)據(jù)，變換到另外一個(gè)“變換域”形式描述的過(guò)程。如：傅立葉變換將時(shí)域或空域信號(hào)變換成頻域的能量分布描述。通常“另外一個(gè)變換域”更集中地代表了圖像中的有效信息，或者是更便于達(dá)到某種處理目的。44圖像變換的前提條件:首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說(shuō)，可以解決時(shí)域中難以解決的問(wèn)題。其次，變換必須是可逆的，可以通過(guò)逆變換還原回原時(shí)域中。常用的圖像變換包括：頻域變換（傅立葉變換，離散余弦變換）；圖像的時(shí)頻域變換（小波變換）；以及其他各種正交變換等。圖像變換(二)5本章內(nèi)容簡(jiǎn)介圖像的頻域變換—傅立葉變換傅立葉變換的應(yīng)用離散余弦變換（DCT）小波變換小波變換在圖像處理中的應(yīng)用6610.1圖像的頻域變換—傅立葉變換與前述各種圖象處理不同，傅立葉變換可以將時(shí)域信號(hào)變換到頻域中進(jìn)行處理，因此傅立葉變換在信號(hào)處理中有著特殊重要的地位。傅立葉（Fourier）變換以圖象中灰度的變化頻率為處理對(duì)象，是一種重要的圖象處理技術(shù)；實(shí)際計(jì)算中是采用數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算傅立葉變換的，稱為離散傅立葉變換（DFT）。具體算法則使用快速傅立葉變換（FFT）算法。除以上FT以外，圖象處理中還可使用沃爾什（Walsh）變換WT、余弦變換、小波變換等數(shù)學(xué)方法。7DFT的原理對(duì)于一個(gè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)，其DFT變換可表示為：其中：k=0，1，…，N－1；78DFT的運(yùn)算量假如x(n)為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X(m)的計(jì)算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法,一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)數(shù)加法。即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X(k)，即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N^2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要N^2=1048576次運(yùn)算。因此，在N較大時(shí)，計(jì)算量不可想象。89如何減小DFT的計(jì)算量分解N為較小值：把序列分解為幾個(gè)較短的序列，分別計(jì)算其DFT值，可使乘法次數(shù)大大減少；利用旋轉(zhuǎn)因子的周期性、對(duì)稱性進(jìn)行合并、歸類處理，以減少DFT的運(yùn)算次數(shù)。周期性：對(duì)稱性：歐拉公式：910FFT利用上述對(duì)稱性和周期性，可以簡(jiǎn)化DFT的運(yùn)算?？梢园演^多點(diǎn)的DFT分解為多個(gè)較少點(diǎn)的DFT運(yùn)算。由于DFT的運(yùn)算量與點(diǎn)數(shù)成正比，減少DFT的點(diǎn)數(shù)就能減少DFT的總運(yùn)算量。不斷地繼續(xù)分解得到的DFT，可以加快DFT的運(yùn)算過(guò)程，這種DFT的快速計(jì)算方法，我們稱為FFT。1011基2FFT算法FFT算法基本上分為兩大類：時(shí)域抽取法FFT(簡(jiǎn)稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(簡(jiǎn)稱DIF―FFT)。時(shí)域抽取法FFT的算法思想：將序列x(n)按n為奇、偶數(shù)分為x1(n)、x2(n)兩組序列；用2個(gè)N/2點(diǎn)DFT來(lái)完成一個(gè)N點(diǎn)DFT的計(jì)算。設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，且滿足：N=2M，M為自然數(shù)。(1)按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列1112基2FFT算法(二)(2)用N/2點(diǎn)X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N點(diǎn)DFTX(k)12偶數(shù)奇數(shù)注意：這里的k的取值范圍為0，1，…，N-113基2FFT算法(三)(3)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且,X(k)又可表示為:對(duì)上式的運(yùn)算用下圖所示的流圖符號(hào)來(lái)表示這樣將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT圖：蝶形運(yùn)算符號(hào)完成一個(gè)蝶形運(yùn)算需要一次復(fù)數(shù)乘和兩次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，經(jīng)過(guò)一次分解后，共需要復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加的次數(shù)為2(N/2)2+N/2和2(N/2)214N=8時(shí)域抽取基2FFT算法信號(hào)流圖1515二維離散傅立葉變換

——正變換設(shè)圖像大小為M*N，原圖為f(x,y)，其頻譜為F(u,v)，則：二維傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為兩次一維傅立葉變換。1616二維離散傅立葉變換

——反變換注：逆變換的系數(shù)不為1。1717二維離散傅立葉變換

——作用1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。1818二維傅立葉變換的應(yīng)用

——用于計(jì)算卷積從前面各章中學(xué)習(xí)的圖像處理算法中知道，如果抽象來(lái)看，其實(shí)都可以認(rèn)為是圖像信息經(jīng)過(guò)了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等）。如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是不可思議的。傅立葉變換可以把卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為點(diǎn)乘運(yùn)算，由此簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高計(jì)算速度。二維傅立葉變換的應(yīng)用

——用于計(jì)算卷積19202010.2傅立葉變換的應(yīng)用前面已經(jīng)提到了傅立葉變換有兩個(gè)好處，即：可以獲得信號(hào)的頻域特性；可以將卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算。因此二維傅立葉變換的應(yīng)用也是根據(jù)這兩個(gè)特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行的。212110.2.1圖像傅立葉變換后的頻率分布頻域上的高頻信息對(duì)應(yīng)著空域上變化比較劇烈的區(qū)域，而低頻信號(hào)對(duì)應(yīng)著空域上變化比較緩慢的區(qū)域。實(shí)際上變化比較劇烈的信號(hào)主要集中在不同景物的邊界上，而大部分信息主要集中在邊界內(nèi)部的非邊界景物信息之中。這樣，圖像的傅立葉變換的幅頻特性在其幅頻圖的四個(gè)角上比較亮，而在中心部分比較暗。為了方便觀察，通常是將幅頻圖進(jìn)行四個(gè)對(duì)角子塊的置換，這樣，低頻部分集中在圖像的中心部分，便于觀察。2222圖像傅立葉變換后的頻率分布綜上所述，就可以用“低頻部分反映圖像的概貌，高頻部分反映圖像細(xì)節(jié)”來(lái)總結(jié)頻域上的信息強(qiáng)度與空域上的像素特性之間的關(guān)系。根據(jù)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以獲得利用傅立葉變換后的幅頻特性進(jìn)行圖像的濾波處理。232310.2.2圖像的高通濾波圖像的頻域變換有一個(gè)非常突出的優(yōu)點(diǎn)，就是可以將信號(hào)的信息強(qiáng)度進(jìn)行重新分配。因?yàn)榫拔锏募?xì)節(jié)部分集中在高頻區(qū)段。因此，可以通過(guò)圖像高通濾波將圖像中景物的細(xì)節(jié)信息（邊界信息）提取出來(lái)。圖像的高通濾波，可以通過(guò)特定的濾波器(如Butterworth高通濾波器)來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以簡(jiǎn)單地將頻譜圖中的低頻分量強(qiáng)制為0。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進(jìn)行傅立葉逆變換，就可以得到圖像高頻部分。242410.2.3圖像的低通濾波圖像經(jīng)傅立葉變換之后，將景物的概貌部分集中在低頻區(qū)段。故可通過(guò)圖像低通濾波將其中景物的概貌信息提取出來(lái)。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，與高通濾波類似，可以借助特定的濾波器，也可以將頻譜圖中的高頻強(qiáng)制為0，就相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器作用在圖像上。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進(jìn)行傅立葉逆變換，就可以得到圖像概貌部分。252510.2.4傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用圖像信息在空域中是依據(jù)景物的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分布的。因其信息強(qiáng)度的不集中，故不易壓縮。如果對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換，則圖像信息在頻域中大多集中在低頻部分。充分利用這一特點(diǎn)，則可進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。人在觀察圖像時(shí)，圖像的概貌可以達(dá)到理解圖像內(nèi)容的目的。因此，在不苛求圖像的再現(xiàn)質(zhì)量的場(chǎng)合下，可以通過(guò)只對(duì)圖像傅立葉變換后頻譜的低頻部分進(jìn)行編碼的方法，達(dá)到減少圖像數(shù)據(jù)量的目的。262610.3離散余弦變換（DCT）傅立葉變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。2727離散余弦變換（DCT）正變換：逆變換：其中：2828離散余弦變換（DCT）

——應(yīng)用余弦變換實(shí)際上是利用了傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分構(gòu)成的變換。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國(guó)際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。即高頻部分壓縮多一些，低頻部分壓縮少一些。2910.4小波變換傅立葉變換可以使信號(hào)分析在頻域上進(jìn)行。但傅立葉變換有一個(gè)嚴(yán)重的不足，即做變換時(shí)丟掉了時(shí)間信息，無(wú)法根據(jù)傅立葉變換的結(jié)果判斷一個(gè)特定的信號(hào)是在什么時(shí)候發(fā)生的。傅立葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域里的定位是完全準(zhǔn)確的（即頻域分辨率最高），而在時(shí)域無(wú)任何定位性（或無(wú)分辨能力）。30小波變換對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，傅立葉變換的這一缺點(diǎn)也許不是很重要。然而實(shí)際中大多數(shù)信號(hào)均含有大量的非穩(wěn)態(tài)成分，例如突變、偏移、趨勢(shì)、事件的起始與終止等情況，而這些情況往往是相當(dāng)重要的，反映了信號(hào)的重要特征。如：音樂(lè)信號(hào)、語(yǔ)音信號(hào)、探地信號(hào)等，它們的頻域特性都隨時(shí)間而變化。對(duì)這一類時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分析，通常需要提取某一時(shí)間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。因此，需要尋求一種具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的基函數(shù)來(lái)分析時(shí)變信號(hào)。小波的特性小波（Wavelet），即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限，平均值為0的波形。它有兩個(gè)特點(diǎn)：一是“小”，即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的“波動(dòng)性”，也即直流分量為零?？梢杂眯〔ê透盗⑷~分析用的正弦波做個(gè)比較，如3232傅立葉分析所用的正弦波在時(shí)間上沒有限制，從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對(duì)稱。傅立葉分析是將信號(hào)分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過(guò)平移與尺度伸縮得來(lái)的。用不規(guī)則的小波函數(shù)來(lái)逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)來(lái)逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)要好。傅立葉變換與小波變換小波的多尺度分解小波多分辨圖像分解，就是利用由一個(gè)小波函數(shù)經(jīng)過(guò)平移和伸縮生成的一系列小波基函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行變換，并將圖像分解為一組具有不同空間分辨率、不同頻率特性和方向特性的圖像近似分量的過(guò)程。這些近似分量也被稱作小波子帶。經(jīng)過(guò)一級(jí)小波分解后可以生成由4個(gè)原圖像1/4大小的系數(shù)數(shù)組構(gòu)成系數(shù)矩陣。這里，LL代表圖像的低頻分量，可看作原圖的縮略圖。HL體現(xiàn)了圖像的垂直邊緣特征；LH代表了圖像的水平邊緣特征；HH表示圖像對(duì)角線方向的細(xì)節(jié)信息。343410.5小波變換在圖像處理中的應(yīng)用10.5.1小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用我們從傅立葉變換得到啟示，就是圖像的數(shù)據(jù)信息大多集中在低頻部分，而高頻部分的信息很弱，對(duì)人眼視覺的影響也小。一幅圖像經(jīng)過(guò)小波變換之后，概貌信息大多集中在低頻部分，而其余部分只有很弱的表示細(xì)節(jié)的信息。為此，如果只保留占總數(shù)據(jù)量1/4的低頻部分，對(duì)其余三個(gè)部分的系數(shù)不存儲(chǔ)或傳輸，在解壓時(shí)，這三個(gè)子塊的系數(shù)以0來(lái)替代，則可得到較好的效果?？梢钥吹绞÷粤瞬糠旨?xì)節(jié)信息之后，畫面的效果與原圖相比，差別不是非常大。3510.5.2小波變換在邊界檢測(cè)中的應(yīng)用經(jīng)過(guò)小波變換之后，圖像中的景物邊界這類細(xì)節(jié)信息存在于三個(gè)非低頻子塊中。為了方便后面的敘述，在這里將對(duì)圖像進(jìn)行行低通、列低通濾波后得到的LL子塊定義為低頻子塊；將行低通、列高通LH濾波后得到的子塊定義為次低頻子塊；將行高通、列低通的HL子塊定義為次高頻子塊；將行高通、列高通的HH子塊定義為高頻子塊。對(duì)原圖進(jìn)行小波變換后，對(duì)次高頻、次低頻兩個(gè)子塊進(jìn)行二值化處理之后所得到的邊界檢測(cè)結(jié)果。3610.5.3小波變換在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用小波變換用于圖像增強(qiáng)的原理是，對(duì)原圖像進(jìn)行小波變換，得到的小波變換系數(shù)矩陣分別表示的是不同的頻率特性。為此，一個(gè)簡(jiǎn)單的圖像增強(qiáng)方法是，對(duì)低頻、次低頻、次高頻、高頻四個(gè)子塊以不同的增強(qiáng)系數(shù)進(jìn)行處理，再進(jìn)行小波逆變換之后，就可以達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的。例如，對(duì)低頻子塊以大于1的增強(qiáng)系數(shù)相乘，則可以提高圖像的總體亮度；對(duì)其他三個(gè)子塊進(jìn)行增強(qiáng)，則可以增強(qiáng)圖像的細(xì)節(jié)信息，由此可獲得清晰化圖像的效果。3710.5.4小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用利用小波變換去除噪聲的原理是：噪聲大多屬于高頻信息，因此，當(dāng)進(jìn)行小波變換之后，噪聲信息大多集中在次低頻、次高頻、以及高頻子塊中。經(jīng)過(guò)小波變換之后，將高頻子塊置為0，對(duì)次低頻和次高頻子塊進(jìn)行一定的抑制，則可以達(dá)到一定的噪聲去除效果0。為了使噪聲去除的效果更好，可以對(duì)不同尺度小波變換下的次低頻、次高頻、高頻子塊進(jìn)行抑制，保留低頻子塊的信息不改變，便可以對(duì)圖像噪