第八篇第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【2014年高考會這樣考】1．考查空間線面平行、垂直關(guān)系的判斷．2．考查空間線面平行、垂直關(guān)系與命題或充要條件相結(jié)合．考點(diǎn)梳理(1)公理1：如果一條直線上的_____在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過_______________的三點(diǎn)，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有_____公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．(4)公理2的三個推論：推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條_____直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條_____直線有且只有一個平面．1．平面的基本性質(zhì)兩點(diǎn)不在一條直線上一個相交平行2．空間中兩直線的位置關(guān)系平行相交任何銳角(或直角)(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于___________的兩條直線互相平行．②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角___________．(1)直線與平面的位置關(guān)系有_____、_____、________三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有_____、_____兩種情況．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系同一條直線相等或互補(bǔ)相交平行在平面內(nèi)平行相交一個理解異面直線概念的理解(1)“不同在任何一個平面內(nèi)”，指這兩條直線不能確定任何一個平面，因此，異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．兩種判定方法異面直線的判定方法(1)判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩直線異面．【助學(xué)·微博】A．空間中不同三點(diǎn)確定一個平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點(diǎn)能確定一個平面D．梯形一定是平面圖形解析空間中不共線的三點(diǎn)確定一個平面，A錯；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個平面，B錯；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面，C錯；故D正確．答案

D考點(diǎn)自測1．下列命題是真命題的是

(

)．A．異面

B．相交C．平行

D．異面或相交答案

DA．0 B．1 C．0或1 D．1或3答案

DA．60° B．120° C．30° D．60°或120°解析由等角定理可知β＝60°或120°.答案

D2．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是 (

)．3．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為 (

)．4．空間兩個角α，β的兩邊分別對應(yīng)平行，且α＝60°，則β為

(

)．5．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對．答案

24【例1】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證： (1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面； (2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．

考向一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 [審題視點(diǎn)](1)由EF∥CD1可得； (2)先證CE與D1F相交于P，再證P∈AD.證明

(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．

(1)證明點(diǎn)或線共面問題，一般有兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線問題，一般有兩種途徑：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個點(diǎn)共面的圖形是________．解析可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A1A和BC的中點(diǎn)為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面．答案①②③①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．[審題視點(diǎn)]還原成正四面體來判斷．考向二空間中兩直線的位置關(guān)系【例2】?如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個正四面體中，解析如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④

空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．【訓(xùn)練2】在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②、④中GH與MN異面．答案②④【例3】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1C1與B1C所成角的大??； (2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小．考向三異面直線所成角[審題視點(diǎn)](1)把A1C1平移到底面，再連AB1可求；(2)把A1C1平移到底面，連BD可求．解

(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.(2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°.

找異面直線所成的角的方法一般有三種找法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．【訓(xùn)練3】如圖，A是△BCD平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)． (1)求證：直線EF與BD是異面直線； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．

(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．【命題研究】通過近三年的高考試題分析，主要結(jié)合線線、線面和面面平行與垂直的判定和性質(zhì)考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，題目多為中、低檔題，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．熱點(diǎn)突破18——準(zhǔn)確判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【真題探究】?(2012·浙江)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面 (

)． A．若l∥α，l∥β，則α∥β

B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β [教你審題]根據(jù)空間線面、面面、平行判定性質(zhì)、垂直判定性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷．注意空間位置關(guān)系的各種可能情況．[解法]若l∥α，l∥β，則α，β可能相交，故A錯；若l∥α，則平面α內(nèi)必存在一直線m與l平行，又l⊥β，則m⊥β，又m?α，故α⊥β，故B對；若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C錯；若α⊥β，l∥α，則l與β關(guān)系不確定，故D錯．[答案]B[反思]對于空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定與應(yīng)用問題，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，特別是對于選擇題，顯得更為有效．①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若α∥β，m?α，則m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，則m⊥β.其中正確命題的