與圓有關的綜合問題

深化提能——與圓有關的綜合問題1．(2019·莆田模擬)已知圓O：x2＋y2＝1，若A，B是圓O上的不同兩點，以AB為邊作等邊△ABC，則|OC|的最大值是()2＋6B.3A.2C．2D.3＋1解析：選C如圖所示，連接OA，OB和OC.∵OA＝OB，AC＝BC，＝，∴△≌△，∴∠＝∠＝30°，在△中，OCOCOACOBCACOBCOOAC由正弦定理得OAOC，∴OC＝2sin∠OAC≤2，故|OC|°＝sin30sin∠OAC的最大值為 2，故選C.2．已知圓 C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切11線，若a，b∈R且ab≠0，則a2＋b2的最小值為()A．2B．4C．8D．9122＝4，其圓心為(－2a,0)，半徑為2解析：選D圓C的標準方程為(x＋2a)＋y2；圓C的標準方程為x2＋(y－)2＝1，其圓心為(0，)，半徑為1.因為圓1和圓2只有一條公切bbCC線，所以圓C1與圓C2相內切，所以－2a－2＋－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以1111(422b24a2b24a2b24a2222＋2＝2＋2a＋b)＝5＋2＋b2≥5＋2a2·b2＝9，當且僅當a2＝2，且4a＋bababab212111＝1，即a＝6，b＝3時等號成立．所以a2＋b2的最小值為9.3．(2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若―→―→―→)AP＝λAB＋μAD，則λ＋μ的最大值為(A．3B．22C.5D．2解析：選A以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線BD的方程為2x＋y－2＝0，點C到直線BD的距離為2222＝，2＋15所以圓C：(x－1)2＋(y－2)24＝5.因為P在圓C上，所以2525θ.P1＋cosθ，2＋sin551―→―→―→―→―→，又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)251＋5cosθ＝λ，255所以5λ＋μ＝2＋5cosθ＋5sinθ＝2＋sin(θ＋22＋5sinθ＝2μ，π＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.φ)≤3(其中tanφ＝2)，當且僅當θ＝24．(2019·拉薩聯(lián)考)已知點P在圓C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上運動，則點P到直線l：x－2y－5＝0的距離的最小值是()A．4B.5C.5＋1D.5－1解析：選D 圓C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝1，圓心C(2,1)，半徑為1，圓心到直線l的距離為|2－2－5|＝5，則圓上一動點P到直線l的距離的最小值12＋22是5－1.故選D.5．(2019·贛州模擬)已知動點A(xA，yA)在直線l：y＝6－x上，動點B在圓C：x2＋y2－2x－2－2＝0上，若∠＝30°，則xA的最大值為()yCABA．2B．4C．5D．6解析：選C由題意可知，當AB是圓的切線時，∠最大，此時||＝4.點A的坐標ACBCA滿足(x－1)2＋(y－1)2＝16，與y＝6－x聯(lián)立，解得x＝5或x＝1，∴點A的橫坐標的最大值為5.故選C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離．當θ，m變化時，d的最大值為()A．1B．2C．3D．4解析：選C由題知點P(cosθ，sinθ)是單位圓x2＋y2＝1上的動點，所以點P到直線x－－2＝0的距離可轉化為單位圓上的點到直線的距離．又直線x－－2＝0恒過點mymy(2,0)，所以當m變化時，圓心(0,0)到直線x－my－2＝0的距離d＝22的最大值為2，1＋m所以點P到直線x－－2＝0的距離的最大值為3，即d的最大值為3.my7．(2019·安徽皖西聯(lián)考)已知P是橢圓x2＋y2＝1上的一點，Q，R分別是圓(x－3)2＋16721221y＝4和(x＋3)＋y＝4上的點，則|PQ|＋|PR|的最小值是________．2解析：設兩圓圓心分別為M，N，則M，N為橢圓的兩個焦點，因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－112＋|PN|－2＝2a－1＝2×4－1＝7，即|PQ|＋|PR|的最小值是7.答案：78．(2019·安陽一模)在平面直角坐標系xOy中，點A(0，－3)，若圓C：(x－a)2＋(y－＋2)2＝1上存在一點滿足||＝2||，則實數(shù)a的取值范圍是________．aMMAMO解析：設滿足|MA|＝2|MO|的點的坐標為M(x，y)，由題意得x2＋y＋2＝2x2＋y2，整理得x2＋(y－1)2＝4，即所有滿足題意的點 M組成的軌跡方程是一個圓，原問題轉化為圓 x2＋(y－1)2＝4與圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交點，a2＋ a－ 2≥1，據(jù)此可得關于實數(shù) a的不等式組 解得0≤a≤3，a2＋ a－ 2≤3，綜上可得，實數(shù) a的取值范圍是[0,3] ．答案：[0,3]9．(2019·唐山調研 )已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．解：(1)設點P的坐標為(x，y)，則 x＋ 2＋y2＝2 x－ 2＋y2.化簡可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲線方程為 (x－5)2＋y2＝16.曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示．由題知直線 l2與圓C相切，連接 CQ，CM，2 2 2則|QM|＝ |CQ|－|CM|＝ |CQ|－16，當CQ⊥l1時，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，|5＋3|此時|CQ|＝ ＝4 2，故|QM|的最小值為32－16＝4.10．(2019·廣州一測 )已知定點 M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|＝ 2|PM|.求動點P的軌跡C的方程；若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點．設直線OA，OB，AB的斜率3分別為k1，k2，k.當k1k2＝3時，求k的取值范圍．解：(1)設動點P的坐標為(x，y)，因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝2|PM|，所以x－22＝2x－22＋y＋y.整理得，x2＋y2＝2.所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b.x2＋y2＝2，bkx＋b2－2＝0.(*)由y＝kx＋b消去y，整理得(1＋k2)x2＋2由＝(2bk)2－4(1＋k2)(2－2)＞0，得2＜2＋22.①bbk2bkb2－2由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝－1＋k2，x1x2＝1＋k2.②y1y2kx1＋bkx2＋b由k1·k2＝·＝·＝3，x1x2x1x2得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③22將②代入