理論力學(xué)12章動(dòng)能定理

第十二章

動(dòng)能定理§12-1力的功一、常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功二、變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功元功記1.重力的功質(zhì)點(diǎn)系由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。得三、幾種常見力的功質(zhì)點(diǎn)2.彈性力的功彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力的功為得即彈性力的功也與路徑無關(guān)3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛物體上作用力的功則若常量由從角轉(zhuǎn)動(dòng)到角過程中力的功為4.任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功無論剛體作何運(yùn)動(dòng)，力系的功總等于力系中所有力作功的代數(shù)和。對(duì)剛體而言，力系的簡化和等效原理對(duì)動(dòng)力學(xué)也適用。將力系向剛體上任一點(diǎn)簡化，一般簡化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。由力系的等效原理，這個(gè)力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面運(yùn)動(dòng)剛體說明:1.對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體,上述結(jié)論都適用;

2.C點(diǎn)不是質(zhì)心,而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論也成立3.計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不作功的力。

當(dāng)質(zhì)心由,轉(zhuǎn)角由時(shí),力系的功為思考：已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動(dòng),

f,初靜止。

求:

O走過S路程時(shí)力的功。

例12-1

F重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質(zhì)心簡化，得解：CFSPFNF§12-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能（1）平移剛體的動(dòng)能

即

（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

即

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和.得速度瞬心為P（3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能對(duì)于任意質(zhì)點(diǎn)系（可以是非剛體）的任意運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能等于它隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心平移坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。將兩端點(diǎn)乘,§12-3動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理因此得質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和.

由得－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中,起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和.3.理想約束及內(nèi)力的功

光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、不可伸長的柔索等約束的約束力作功等于零.稱約束力作功等于零的約束為理想約束.對(duì)理想約束,在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可.內(nèi)力作功之和不一定等于零.當(dāng)輪子在固定面只滾不滑時(shí)，接觸處是否為理想約束？思考：為什么？已知:m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì).求:

例12-2

解:已知：輪O：R1

，m1

,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C

：R2

，

m2

，純滾動(dòng),初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程s時(shí)的速度和加速度例12-3輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解:式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo),得求:沖斷試件需用的能量。已知:沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計(jì)，在時(shí)靜止釋放，沖斷試件后擺至例12-4得沖斷試件需要的能量為解:沖擊韌度：衡量材料抵抗沖擊能力的指標(biāo)。例12-5已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動(dòng),

f,初靜止。求:O走過S路程時(shí)ω，。圓盤速度瞬心為C

解:將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo),并利用得已知:,均質(zhì);桿m均質(zhì),=l

,M=常量,純滾動(dòng),處于水平面內(nèi),初始靜止.

例12-6求:轉(zhuǎn)過φ角的研究整個(gè)系統(tǒng)解:求導(dǎo)得注意:輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C是理想約束,其摩擦力Fs盡管在空間是移動(dòng)的,但作用于速度瞬心,故不作功.已知:均質(zhì)桿OB=AB=l,m，在鉛垂面內(nèi);M=常量,初始靜止,不計(jì)摩擦.

求:當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí),例12-7解:提問：是否可以利用求導(dǎo)求此瞬時(shí)的角加速度？

§12-4功率、功率方程、機(jī)械效率1.功率：單位時(shí)間力所作的功.即:功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積.

由,得作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為單位W（瓦特）,1W=1J/S2.功率方程功率方程:即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和.或車床3.機(jī)械效率機(jī)械效率有效功率多級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)例12-8求:切削力F的最大值。已知:解:當(dāng)時(shí)已知:m，l0

，k，

R，J。求:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。例12-9解:令為彈簧靜伸長，即mg=k

,以平衡位置為原點(diǎn)§12-5勢(shì)力場(chǎng).勢(shì)能.機(jī)械能守恒定律1.勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng)):力的功只與力作用點(diǎn)的始、末位置有關(guān),與路徑無關(guān).

力場(chǎng):一物體在空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用.勢(shì)力場(chǎng)中,物體所受的力為有勢(shì)力.2.勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中,質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任意位置M0,有勢(shì)力所作的功為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于M0的勢(shì)能.（1）重力場(chǎng)中的勢(shì)能（2）彈性力場(chǎng)的勢(shì)能

稱勢(shì)能零點(diǎn)（3）萬有引力場(chǎng)中的勢(shì)能取零勢(shì)能點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)系重力場(chǎng)（4）質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力作用質(zhì)點(diǎn)系的零勢(shì)能位置:各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置.質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能:質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其零勢(shì)能位置的運(yùn)動(dòng)過程中,各有勢(shì)力做功的代數(shù)和為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能.已知:均質(zhì)桿l,m

,彈簧剛度系數(shù)

k,

AB水平時(shí)平衡，彈簧變形為.舉例:求:桿有微小擺角時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能.

重力以桿的水平位置為零勢(shì)能位置,彈簧以自然位置O為零勢(shì)能位置:取桿平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn):即質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),有勢(shì)力功為對(duì)于不同的零勢(shì)能位置,系統(tǒng)的勢(shì)能是不同的.3.機(jī)械能守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí),機(jī)械能守恒.此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng).得機(jī)械能:質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動(dòng)能和勢(shì)能的代數(shù)和.質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢(shì)力作用下,有非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的.已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力.例12-10卡住前

卡住后解:得即由有取水平位置為零勢(shì)能位置已知：m,,k，水平位置平衡，OD=CD=b。初角速度為。求：角速度與

角的關(guān)系。解:例12-114.勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：(1)有勢(shì)力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢(shì)能對(duì)于該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。

（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢(shì)能面。

（3）有勢(shì)力方向垂直于等勢(shì)能面，指向勢(shì)能減小的方向。系統(tǒng)有多個(gè)有勢(shì)力作用等勢(shì)能面不能相交。勢(shì)能等于零的等勢(shì)能面為零勢(shì)能面。§12-6普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量、動(dòng)量矩

動(dòng)能矢量，有大小方向內(nèi)力不能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時(shí)對(duì)之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時(shí)不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)O或質(zhì)心的主矩為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。動(dòng)量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)變化動(dòng)量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化。非負(fù)的標(biāo)量，與方向無關(guān)內(nèi)力作功時(shí)可以改變動(dòng)能理想約束不影響動(dòng)能在保守系統(tǒng)中，機(jī)械能守恒動(dòng)能定理描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能的變化。已知:均質(zhì)圓輪

m,r,R

,純滾動(dòng).求:輪心Ｃ的運(yùn)動(dòng)微分方程.例1解:本題也可用機(jī)械能守恒定律求解.得已知:兩均質(zhì)輪m

,R

;物塊m,ｋ,純滾動(dòng),于彈簧原長處無初速釋放，輪與地面間無滑動(dòng).求:重物下降h時(shí),v，a及滾輪與地面的摩擦力.例2解:（a）將式（a）對(duì)t

求導(dǎo)得其中已知:

l,m，地面光滑.求:桿由鉛直倒下,剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力.例3解:時(shí)(a)(b)(c)已知:輪I:r,

m1;輪III:r,m3;輪II:R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度,物塊:mA;在輪I上作用有力偶M，摩擦力不計(jì).求:O1,O2處的約束力.例4其中解:其中研究I輪壓力角為研究物塊A研究II輪例5已知：塔輪質(zhì)量，大半徑，小半徑，對(duì)輪心C的回轉(zhuǎn)半徑，質(zhì)心在幾何中心C。小半徑上纏繞無重細(xì)繩，繩水平拉出后繞過無重滑輪B懸掛一質(zhì)量為的重物A。