理論力學(xué)12章動能定理

第十二章

動能定理§12-1力的功一、常力在直線運(yùn)動中的功二、變力在曲線運(yùn)動中的功元功記1.重力的功質(zhì)點(diǎn)系由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。得三、幾種常見力的功質(zhì)點(diǎn)2.彈性力的功彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力的功為得即彈性力的功也與路徑無關(guān)3.定軸轉(zhuǎn)動剛物體上作用力的功則若常量由從角轉(zhuǎn)動到角過程中力的功為4.任意運(yùn)動剛體上力系的功無論剛體作何運(yùn)動，力系的功總等于力系中所有力作功的代數(shù)和。對剛體而言，力系的簡化和等效原理對動力學(xué)也適用。將力系向剛體上任一點(diǎn)簡化，一般簡化為一個力和一個力偶。由力系的等效原理，這個力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面運(yùn)動剛體說明:1.對任何運(yùn)動的剛體,上述結(jié)論都適用;

2.C點(diǎn)不是質(zhì)心,而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論也成立3.計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不作功的力。

當(dāng)質(zhì)心由,轉(zhuǎn)角由時(shí),力系的功為思考：已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動,

f,初靜止。

求:

O走過S路程時(shí)力的功。

例12-1

F重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質(zhì)心簡化，得解：CFSPFNF§12-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能2.質(zhì)點(diǎn)系的動能1.質(zhì)點(diǎn)的動能（1）平移剛體的動能

即

（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

即

平面運(yùn)動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和.得速度瞬心為P（3）平面運(yùn)動剛體的動能對于任意質(zhì)點(diǎn)系（可以是非剛體）的任意運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)系在絕對運(yùn)動中的動能等于它隨質(zhì)心平移的動能與相對于質(zhì)心平移坐標(biāo)系運(yùn)動的動能之和。將兩端點(diǎn)乘,§12-3動能定理1.質(zhì)點(diǎn)的動能定理因此得質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。－－質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的某個過程中,質(zhì)點(diǎn)動能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功.2.質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系動能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和.

由得－－質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動過程中,起點(diǎn)和終點(diǎn)的動能改變量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和.3.理想約束及內(nèi)力的功

光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、不可伸長的柔索等約束的約束力作功等于零.稱約束力作功等于零的約束為理想約束.對理想約束,在動能定理中只計(jì)入主動力的功即可.內(nèi)力作功之和不一定等于零.當(dāng)輪子在固定面只滾不滑時(shí)，接觸處是否為理想約束？思考：為什么？已知:m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì).求:

例12-2

解:已知：輪O：R1

，m1

,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C

：R2

，

m2

，純滾動,初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程s時(shí)的速度和加速度例12-3輪C與輪O共同作為一個質(zhì)點(diǎn)系解:式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對t求導(dǎo),得求:沖斷試件需用的能量。已知:沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計(jì)，在時(shí)靜止釋放，沖斷試件后擺至例12-4得沖斷試件需要的能量為解:沖擊韌度：衡量材料抵抗沖擊能力的指標(biāo)。例12-5已知:均質(zhì)圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運(yùn)動,

f,初靜止。求:O走過S路程時(shí)ω，。圓盤速度瞬心為C

解:將式(a)兩端對t求導(dǎo),并利用得已知:,均質(zhì);桿m均質(zhì),=l

,M=常量,純滾動,處于水平面內(nèi),初始靜止.

例12-6求:轉(zhuǎn)過φ角的研究整個系統(tǒng)解:求導(dǎo)得注意:輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C是理想約束,其摩擦力Fs盡管在空間是移動的,但作用于速度瞬心,故不作功.已知:均質(zhì)桿OB=AB=l,m，在鉛垂面內(nèi);M=常量,初始靜止,不計(jì)摩擦.

求:當(dāng)A運(yùn)動到O點(diǎn)時(shí),例12-7解:提問：是否可以利用求導(dǎo)求此瞬時(shí)的角加速度？

§12-4功率、功率方程、機(jī)械效率1.功率：單位時(shí)間力所作的功.即:功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積.

由,得作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為單位W（瓦特）,1W=1J/S2.功率方程功率方程:即質(zhì)點(diǎn)系動能對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和.或車床3.機(jī)械效率機(jī)械效率有效功率多級傳動系統(tǒng)例12-8求:切削力F的最大值。已知:解:當(dāng)時(shí)已知:m，l0

，k，

R，J。求:系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。例12-9解:令為彈簧靜伸長，即mg=k

,以平衡位置為原點(diǎn)§12-5勢力場.勢能.機(jī)械能守恒定律1.勢力場勢力場(保守力場):力的功只與力作用點(diǎn)的始、末位置有關(guān),與路徑無關(guān).

力場:一物體在空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用.勢力場中,物體所受的力為有勢力.2.勢能在勢力場中,質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動到任意位置M0,有勢力所作的功為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對于M0的勢能.（1）重力場中的勢能（2）彈性力場的勢能

稱勢能零點(diǎn)（3）萬有引力場中的勢能取零勢能點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)系重力場（4）質(zhì)點(diǎn)系受到多個有勢力作用質(zhì)點(diǎn)系的零勢能位置:各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢能點(diǎn)的一組位置.質(zhì)點(diǎn)系的勢能:質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其零勢能位置的運(yùn)動過程中,各有勢力做功的代數(shù)和為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢能.已知:均質(zhì)桿l,m

,彈簧剛度系數(shù)

k,

AB水平時(shí)平衡，彈簧變形為.舉例:求:桿有微小擺角時(shí)系統(tǒng)勢能.

重力以桿的水平位置為零勢能位置,彈簧以自然位置O為零勢能位置:取桿平衡位置為零勢能點(diǎn):即質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動,有勢力功為對于不同的零勢能位置,系統(tǒng)的勢能是不同的.3.機(jī)械能守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動時(shí),機(jī)械能守恒.此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng).得機(jī)械能:質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動能和勢能的代數(shù)和.質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下,有非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的.已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力.例12-10卡住前

卡住后解:得即由有取水平位置為零勢能位置已知：m,,k，水平位置平衡，OD=CD=b。初角速度為。求：角速度與

角的關(guān)系。解:例12-114.勢力場的其他性質(zhì)：(1)有勢力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢能對于該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號。

（2）勢能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢能面。

（3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。系統(tǒng)有多個有勢力作用等勢能面不能相交。勢能等于零的等勢能面為零勢能面?！?2-6普遍定理的綜合應(yīng)用動量、動量矩

動能矢量，有大小方向內(nèi)力不能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時(shí)對之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時(shí)不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時(shí)，系統(tǒng)動量守恒當(dāng)外力對定點(diǎn)O或質(zhì)心的主矩為零時(shí)，系統(tǒng)對定點(diǎn)或者質(zhì)心的動量矩守恒。動量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動變化動量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的運(yùn)動變化。非負(fù)的標(biāo)量，與方向無關(guān)內(nèi)力作功時(shí)可以改變動能理想約束不影響動能在保守系統(tǒng)中，機(jī)械能守恒動能定理描述質(zhì)心運(yùn)動及相對質(zhì)心運(yùn)動中動能的變化。已知:均質(zhì)圓輪

m,r,R

,純滾動.求:輪心Ｃ的運(yùn)動微分方程.例1解:本題也可用機(jī)械能守恒定律求解.得已知:兩均質(zhì)輪m

,R

;物塊m,ｋ,純滾動,于彈簧原長處無初速釋放，輪與地面間無滑動.求:重物下降h時(shí),v，a及滾輪與地面的摩擦力.例2解:（a）將式（a）對t

求導(dǎo)得其中已知:

l,m，地面光滑.求:桿由鉛直倒下,剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力.例3解:時(shí)(a)(b)(c)已知:輪I:r,

m1;輪III:r,m3;輪II:R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度,物塊:mA;在輪I上作用有力偶M，摩擦力不計(jì).求:O1,O2處的約束力.例4其中解:其中研究I輪壓力角為研究物塊A研究II輪例5已知：塔輪質(zhì)量，大半徑，小半徑，對輪心C的回轉(zhuǎn)半徑，質(zhì)心在幾何中心C。小半徑上纏繞無重細(xì)繩，繩水平拉出后繞過無重滑輪B懸掛一質(zhì)量為的重物A。