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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.2.一個(gè)四面體所有棱長都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.3.已知,則的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.6.若集合,,則()A. B. C. D.7.為得到y(tǒng)=sin(2x-πA.向左平移π3個(gè)單位B.向左平移πC.向右平移π3個(gè)單位D.向右平移π8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.9.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.已知,則的取值范圍是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]11.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),滿足約束條件,若的最大值是10,則________.14.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從中任意摸取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等,則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.15.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊,某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響,承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失,現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示,估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為,中位數(shù)為n,則_________.16.展開式中的系數(shù)為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點(diǎn)為噴泉,圓心為的中點(diǎn),其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞.(1)若當(dāng)時(shí),,求此時(shí)的值;(2)設(shè),且.(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若對(duì)任意x0,f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1x2),證明:.20.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若的解集為,,求證:.22.(10分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.2、A【解析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.3、C【解析】
對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí),;為奇數(shù)時(shí),,則的值構(gòu)成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角式的化簡(jiǎn),誘導(dǎo)公式,分類討論,屬于基本題.4、D【解析】
根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類,利用則,列方程,化簡(jiǎn)后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因?yàn)?,所以函?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?,?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.5、A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.6、B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.7、D【解析】試題分析:因?yàn)椋詾榈玫統(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象,只需要將考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像變換.8、B【解析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因?yàn)闀r(shí),恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn),所以,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、D【解析】
設(shè),可得,構(gòu)造()22,結(jié)合,可得,根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè),則,,∴()2?2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又則[0,2].故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
畫出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).12、C【解析】
設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因?yàn)?則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn),取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個(gè)小球,有種情況,所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.15、360【解析】
先計(jì)算第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,,面積和超過0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解,然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,故;而,故.故答案為:360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征,考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
變換,根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為:,,取和,計(jì)算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)連接交于點(diǎn),連接,通過證,并說明平面,來證明平面(2)采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別表示出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)平面的一個(gè)法向量為,結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的和法向量,利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行求解即可【詳解】證明:如圖,連接交于點(diǎn),連接,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的重心,則,,,又平面,平面,平面;,,,,,,可得,又,則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則.直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理的使用,利用建系法來求解線面夾角問題,整體難度不大,本題中的線面夾角的正弦值公式使用廣泛,需要識(shí)記18、(1);(2)(i),;(ii).【解析】
(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,兩式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式,解不等式可得所求.【詳解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求關(guān)系式為,.(ii)當(dāng)觀賞角度的最大時(shí),取得最小值.在中,由余弦定理可得,因?yàn)榈淖畲笾挡恍∮冢?,解得,?jīng)驗(yàn)證知,所以.即兩處噴泉間距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,解題時(shí)要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角,然后借助正余弦定理進(jìn)行求解.解題時(shí)要注意三角形邊角關(guān)系的運(yùn)用,同時(shí)還要注意所得結(jié)果要符合實(shí)際意義.19、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即求的范圍;(2)由(1)可知,.對(duì)分和兩種情況討論,構(gòu)造函數(shù),利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論.【詳解】(1)由,得.令.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.對(duì)任意恒成立,.(2)證明:由(1)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.若,則,令在上單調(diào)遞增,,.又,在上單調(diào)遞減,.若,則顯然成立.綜上,.又以上兩式左右兩端分別相加,得,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.20、(1);(2);(3)【解析】
(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故,又點(diǎn)在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上,故,代入上式得:,所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實(shí)數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基
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